2022年全国数学新高考Ⅰ卷的特色与启示

2023-07-23陈香君叶华明赵思林

数学之友 2023年2期

陈香君叶华明赵思林

摘要：2022年全国数学新高考Ⅰ卷具有“五反”特色，这里的“五反”是指反“解题套路”、反“浅层教学”、反“低阶思维”、反“童子功”差、反“机械刷题”．“五反”特色对引导教学和改进教学都有诸多启示．提出了面向新高考的教学建议：发掘教材功能，淡化教辅资料；适当引入真题，培养思维品质；聚焦核心素养，发展创新能力．

关键词：高考数学；新高考Ⅰ卷；创新能力；教学启示

1新高考Ⅰ卷的“五反”特色及整体评价

2022年全国数学新高考Ⅰ卷（以下简称“Ⅰ卷”）是一套体现了“五反”特色的试卷，这里的“五反”是指反“解题套路”、反“浅层教学”、反“低阶思维”、反“童子功”差、反“机械刷题”．这里的“五反”是对数学教学题型化、解题教学套路化、学生学习机械化、巨量刷题记忆化的一次成功阻击．数学教育理论研究与教学实践反复表明，采用题型套路、机械刷题、题海战术的数学教学是培养不出数学创新人才的，更培养不出菲尔玆奖获得者．因此，Ⅰ卷的“五反”特色是我国高考数学命题的一次有益探索，值得研究与教学反思．

教育部教育考试院的权威报告认为，2022年高考数学全国卷“深化基础考查，突出思维品质，充分发挥教育评价育人功能和积极导向作用，服务‘双减'工作落实落地，引导学生德智体美劳全面发展．”［1］教育部教育考试院还认为，2022年高考数学全国卷“试题设置反映我国优秀传统文化、科技发展成果的真实情境，深化基础性考查，注重数学的本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，发挥数学科考试的选拔功能”［2］，并“发挥高考对课程教学改革的导向和推动作用”［2］．其中的“注重数学的本质与创造性思维”“深入考查核心素养和关键能力”“发挥数学科考试的选拔功能”等评价对Ⅰ卷来说是很准确的，特别是“注重数学的本质”和“创造性思维”的考查是非常到位的．Ⅰ卷很多题目新颖独特，如第4、5、7、11、12、14、18、20、22等题；一些题目的情境、问题与知识的组合搭配自然协调，如第4、9、10、11、12、14、18、20、22等题；一些题目的知识交汇和综合方式新奇有趣，如第5、12、22等题；一些题目富含数学美育因素，如第6、8、9、10、11、12、14、17、18、20、22等题；“在考查内容的选取上更加全面和灵活”［2］，如第4、5、18、20、21题分别考查了一些比较冷僻的知识点如“棱台的体积”“互质”“正切的半角公式”“条件概率”“双曲线”；教育部高考全威专家提出：第7、12、18、20、22等题的解答需要学生具备创造性思维能力，这些题目充分体现了“考查创新能力是时代对高考的要求，是高考选拔性考试特点的重要体现，也是今后高考改革的重要内容［3］”的新时代诉求．

2“五反”特色及案例评析

2.1反“解题套路”

Ⅰ卷第7题“三数比较大小”，考生对此题型非常熟悉．但a=0.1e0.1，b=（1 9），c=-ln0.9三数形式各异，不能直接比较，由于b确定但a，c是涉及2种超越运算的非特殊数值，凭经验可先采用“估算法”，与特殊值比较来试试，但估算发现三者均接近于0.1；直接通过作差（商）法比较大小，显然也行不通，因此需另寻他法．构造函数求导、利用函数的单调性比较大小是第三种思路，但如何构造函数？回到a，b本身分析其结构：比较a=0.1e0.1與b=（1 9），即10a=e0.1与10b=（10 9）（化小数为整数），即lne0.1=0.1与ln（10 9）（同时取对数），又考虑0.1与（10 9）的关系，即比较0.1=1-（9 10）与ln（10 9）（消元），于是构造函数f（x）=lnx-（1-（1 x）），x>0．求导可知f（x）min=f（1）=0，所以lnx>1-（1 x），进而比较它们的大小．

回顾思路，已有经验“频频失效”的原因在于，本题虽是常见题型，但解题思路是非常规的，其难度远比平时做的题更难．“估算”，或“精算”，或直接作差（商）法等“套路”皆用不上；需要构造的函数也超乎寻常，如0.1、（1 9）、0.9三者之间的“函数关系”也不是显而易见的．本题探寻函数结构的难点在于，几个不同数值分别隐藏在指数、对数两种超越函数中，用“化繁为简”原则（即化小数为整数，取对数等）化简后需比较0.1与ln（10 9）的大小，这是两个离散的常数，需先变为连续的变量，于是将1-（9 10），ln（10 9）中的（10 9）看成x，得到函数f（x）=lnx-（1-（1 x）），这是“特殊→一般”的过程；由导函数性质知f（x）>0后得lnx>1-（1 x），随之再代入x=（10 9）得到a，b的大小关系，这是“一般→特殊”的过程．整个解题的思维需经历“特殊→一般→特殊”的过程，对思维灵活性、创新性提出了较高的要求．解答此题若缺乏创新思维能力，则是比较困难的．此题的思路宽，解法多达10余种，有利于考查学生的发散思维．因此，本题是一道考查创新思维能力的好题目．

2.2反“浅层教学”

Ⅰ卷第4题以水库蓄水的实际问题为背景，学生需先抽象出其中的数学问题：求棱台的体积．题目虽难度不大，但因近10年来全国卷鲜少考查“棱台体积”，使教学与练习均成盲点，致使学生心理感到很别扭．这是典型的“若不考，则不教且不学”的“浅层教学”的真实表现．但需知道“棱台体积公式”是“柱体体积公式”“锥体体积公式”的统一形式（统一美）．若只教“柱体体积公式”和“锥体体积公式”，学生则容易认为“柱体体积公式”和“锥体体积公式”是两个没有内在联系的“孤魂野鬼”．那么，学生要理解“柱体体积公式”和“锥体体积公式”之间的内在关系就很困难了，可能只好“死记硬背”了．因此，只教“柱体体积公式”“锥体体积公式”而不教“棱台体积公式”的教学是浅层教学．

又如，第18题是三角函数解答题，题干中（cosA 1+sinA）=（sin2B 1+cos2B）的分式结构在高考和教辅中都未出现过，其右边是正切的半角公式模型，由正切半角公式可得（sin2B 1+cos2B）=tanB，但其左边不能直接使用正切半角公式，需先用诱导公式变形再运用正切的半角公式可化为tan（（π 4）-（A 2））．从而得到，tan（（π 4）-（A 2））=tanB，进而得到（π 4）-（A 2）=B．得到了这个关系之后，解答就比较容易了．本题所涉及到的正切半角公式是源于人教A版教材“三角恒等变化”之“练习”中的第1题：证明tan（α 2）=（sinα 1+cosα）=（1-cosα sinα）．如果对教材中这个特别的“练习”题采用深度教学，那么学生可能对这个18题的形式和其解答就不会感到生疏．

再如，第20题第二小问，要求证明条件概率相关公式再运算，出乎意料．

2.3反“低阶思维”

Ⅰ卷第14题求圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的一條公切线的方程，首先计算两圆心距离等于半径之和，二者是外切关系，应有三条公切线，有以下思路：讨论切线斜率是否存在，设出方程，通过圆心到切线距离为半径求参数，即最易想到的“硬算”法；考虑到两条外切线关于两圆心所在直线对称，结合直线的两点式方程，采用“特殊点对称”法；转化过点的圆的切线，可采用“向量”法．以上思路易想到，但思维层次较低，运算量较大．试想：若本题变成求其两条公切线的方程，那难度陡增．实际上，通过画图观察就立刻得一条切线x=-1，不需计算；那第二条呢？两相交圆的方程相减得到的是公共弦的方程，而“相切”是“相交”一种特殊形式，或者说是极限形式，因此，两圆虽是外切关系，但相减仍能得“公共弦”，即两圆的内切线3x+4y-5=0．由此，本题重在考察学生对于数学本质的深层理解而非计算能力．又如第15题，曲线y=（x+a）ex有两条切线，求a的范围，常规求导、设切点坐标（x0，（x0+a）ex0），由切线方程过原点得x20+ax0-a=0，再由Δ>0求a的范围计算量较大．那能否优化呢？回到直线斜率的表示：两点求斜率公式或求出导函数代入切点横坐标，二者是等价的，即有（（x0+a）ex0-0 x0-0）=（x0+a+1）ex0，易得x20+ax0-a=0．

学生“拿到题就开始算”是常态，而“为什么这样做”“有无更简单的解法”这些直击知识本质的问题易受忽略．新高考考查重深层思维，轻低阶思维，要跳出“套路”，通过“多想少算”培养学生理解数学本质的高阶思维，在复杂形式中能快速分析出问题的实质，是创新人才须具备的能力．

2.4反“童子功”差

数学运算素养被喻为数学的“童子功”（章建跃），不可谓不重要．但新课改实施之后，小学、初中和高中的数学教学目标都明显降低了对数学“童子功”的训练要求，从而导致很多学生对数学运算的实际状况是不想算、不敢算、不会算，甚至是害怕算、算易错等不良后果．2017年版的高中数学课程标准把“数学运算”作为六大核心素养之一，明确和强调“数学运算”的“童子功”作用是非常必要的．

Ⅰ卷第8题是正四棱锥的外接球问题，难度不大，其思路较为常规：首先运用直观想象得到大致图形，再借助勾股定理得到侧棱l与高l1的关系，实现多元向一元的转化，然后得到正四棱锥体积的一个三次函数，最后利用导数法或三元均值不等式求出函数的最值．整个解题过程对思维的灵活性、创新性要求并不是太高，学生的计算能力若能过关，则本题就能迎刃而解．第16题是圆锥曲线的常见题型，结合等边三角形、垂直平分线的性质等表示出直线DE的方程，再与椭圆联立化简，利用韦达定理、椭圆的弦长公式，求出椭圆的标准方程，最后再根据椭圆的定义，即可求解．本题主要考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题，需要学生有较强的计算能力．第21题考查双曲线相关性质，求直线l的斜率采用常规计算：显然点A的坐标满足双曲线方程（x2 2）-y2=1，设l：y=kx+m（易见直线l的斜率存在），这两个方程联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，即可解出参数k．这个求解方法属于通性通法，学生都很熟悉，但学生的运算能力若不过关则会出现“眼高手低”的失分实况．

2.5反“机械刷题”

中共中央国务院关于《深化新时代教育评价改革总体方案》提出：“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题'现象”［4］．死记硬背题型套路、“机械刷题”和机械学习是我国当下基础数学教育的顽疾，很有必要好好“医治”．针对第4、5、18、20、21题，这些考查比较冷僻的知识点如“棱台的体积”“互质”“正切的半角公式”“条件概率”“双曲线”的题目“靠死记硬背，靠刷题熟练”是不会奏效的；针对考查创新思维能力的题目如第7、18、20、22等题，“靠死记硬背，靠刷题熟练”更不会奏效．这些反套路设计的题目对反“机械刷题”是有效的和成功的，对中学教学有良好的导向作用．

3教学启示

3.1发掘教材功能，淡化教辅资料

当下的数学教学，很多学校都以所谓的导学案为主甚至把教材放在一边基本不用，师生过度依赖于所谓的导学案，忽视导学案所存在的“缺乏合法性、造成巨大浪费和环境污染、不完全符合‘立德树人'的原则等深度问题”［5］，造成数学教学舍本逐末（舍课本、逐教辅）的不良倾向，造成师生负担过重．所谓的导学案为了吸引眼球、博得卖点，东拼西凑一些偏怪难题，严重挫伤学生学习的自信心，学生学习特别是练习缺乏甚至没有“成功体验”；很多所谓的导学案的模式为：题型—方法（套路）—题目—答案—解析，缺乏对考点、背景、拓展等进行深层次分析与探究，让数学核心素养的培养时机消失在“题型套路”和“题海战术”之中．这就背离了“数学是学习、培养理性思维的一个主要途径［6］”的教学理念．

科学知识向学科课程知识转化，形成了“教材”，这是广大学科专家和课程开发专家的努力结果［7］，具有很高的专业性、科学性．可以说，教材是“教学的心脏”．这一转化为第二层转化提供了载体和条件：把学科课程知识转化为学生知识．这就依靠广大一线教师，实际教学中脱离教材搞教学，以教辅资料为主要教学资源搞教学等不正常现象［8］应予以纠正，“快餐式”的教学使得学生的数学基础知识和基本技能没有打牢，数学思想方法、数学活动经验未充分积累，“四基”尚未筑牢，何谈能力、品质、素养等的生成．如上述的Ⅰ卷第4题类似于2019人教版高中数学教材A版必修2第120页的第3题（如下），是第3题的一个“简化版”．

如图，一个三棱柱容器中盛有水，侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好经过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少？

随着新教材出炉，各校的教师团队应着力研究教材，进而研究教法，集中精力研究教材的脉络，知识点，教学特别是新授课要多关注教材练习、习题，以科学、高效且不失“数学味”的方式帮助学生理解掌握，进而内化为自身知识，锻炼数学能力，发展数学核心素养．

3.2适当引入真题，培养思维品质

培养学生优良的思维品质是数学教学的核心目标．而一些优秀的高考真题是培养学生优良思维品质的重要载体，这是由于一些优秀的高考真题是以考查学生的优良思维品质立意的．数学优良思维品质的外延包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性、独创性等品质［9］．如Ⅰ卷中的第7、8、12题考查了思维的深刻性，第5、14、16题考查了思维的敏捷性、灵活性，第9、11、22题考查了思维的批判性、独创性．

新授课阶段应以教材练习、习题为主，此时学生刚接触新知，经历认知的“同化”过程，教材习题于知识点而言有较强的针对性，能让学生“即学即用”，且难度较小，学生易获得很好的“成功体验”，有信心开展后续学习任务．待学生已熟悉新学知识点和教材相关题目后，可稍引入一两个难度较小的高考真题，让学生感知本节知识点的重要程度及高考的常见考查方式．如第1、2、3、5、8、13等难度较低的题可在相应知识点学完后介绍给学生．由于高考真题具有新颖性、综合性、独创性等特點，因此在章节复习、期末复习或高三复习阶段，可适当选择一些富含数学思想方法和训练思维品质的高考优秀真题，开展数学探究学习或研究性学习．如第1—6、8—12、14—18等题均可在复习课中使用．

3.3聚焦核心素养，发展创新能力

以数学核心素养立意，考查数学创新能力是今后高考命题的基本原则．由此，数学教学应牢固树立“为数学核心素养而教”“为数学核心素养而学”“为数学创新思维而教”“为数学创新思维而学”的教育教学理念．数学核心素养是个体在理解数学、应用数学、思考数学、发现（创造）数学等活动中对数学感悟、反思和体验的结果［9］，即学有所悟．“悟”的过程又需要学生具备一定的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识和创新意识．数学教学聚焦六大数学核心素养和七大数学关键能力的生成是重要的，因为数学知识和方法可以教会，但数学思想、数学创新能力和数学经验等是不容易教会甚至是教不会的，它们更需要靠学生自己去“做”“会”“思”“悟”．学生通过“做”一道题，“会”一类题的数学方法，“思”隐藏在其中的数学本质和规律，“悟”蕴涵在其中的数学思想与智慧．从而，达到举一反三、以一当十、以一当百、以一当千的高效学习效果，真正让“双减”政策落地．发展创新能力是数学教育培养学生核心素养的最高目标．特别是受当下我国“芯片”之痛和“搞芯片需要‘砸'数学家、物理学家、化学家和材料科学家（任正非语）”的双重启示，通过激发学生的数学创新意识、帮助学生掌握数学创新方法、提升学生创新思维能力、完善学生的创新人格来培养和发展学生的数学创新能力，是极其紧迫任务．高斯在高三时解决了正17边形的尺规作图（属千年难题）、伽罗华大约在18岁时创立“群论”、华罗庚在18岁时写出第一篇数学论文等事实均表明，高中学生蕴涵数学创新能力，因此数学教学如果真在聚焦了核心素养并采用单元整体教学，那么就可以节约出不少时间去培养和发展学生的数学创新能力．

参考文献：

［1］教育部教育考试院.2022年高考全国卷命题基本原则和总体思路［EB/OL］.2022-06-08.

［2］创设情境发挥育人作用深化基础考查核心素养——2022年高考数学全国卷试题评析［J］.中国考试，2022（7）：14-19.

［3］任子朝，陈昂，单旭峰.高考加强创新能力考查的研究［J］.教育理论与实践，2017，37（1）：29-32.

［4］中共中央国务院印发《深化新时代教育评价改革总体方案》［A/OL］.2020-10-13.

［5］包悦玲，赵思林，刘艺.导学案存在问题的深度分析与消解［J］.教学与管理，2021（24）：84-86.

［6］陈昂，任子朝.突出理性思维弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透［J］.中国考试，2015（3）：10-14.

［7］刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题［J］.数学通报，2017，56（5）：1-5.

［8］章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考［J］.课程·教材·教法，2016，36（7）：44-49.

［9］赵思林.数学核心素养的培养策略［J］.数学通报，2019，58（5）：28-32.

［10］黄健.基于测试分析视角透析数学高考改革方向——以2020年新高考全国卷为例［J］.数学通报，2022，61（9）：11-16.

［11］黄健.高中数学试题命制的视角分析——基于新课标、新高考背景［J］.数学通报，2022，61（4）：53-57+63.