基于一维原子链对量子固体氦基态的讨论

白建会

关键词：量子固体；基态；Lennard-Jones势

氦是最轻的单原子分子，与其他元素不同，在常压下，即使温度降到绝对零度，氦仍然为液态。形成固态氦需要1.00～1.50 K［T（K）=273.15+t（℃）］的低温，且需2.5 MPa左右的压强。这是量子效应的直接影响，具体而言，就是系统的零点能太高，不允许原子“冻结”，即固定在格点位置附近，固体氦被称作“量子固体”。不论是从理论方面还是实验方面，量子固体氦都是一个有趣且具有挑战性的研究课题。液体氦可以形成超流体，而超流体可以无摩擦地流动，是一种集体的物质波，原子是非定域化的。本研究基于对稀有气体双原子分子和一维原子链的分析，对量子固体氦的基态进行讨论。

1 稀有气体双原子分子存在束缚态的条件

在Born-Oppenheimer近似下，研究分子内部结构，即讨论原子核的相对运动，不考虑转动的情况，求解振动方程，可得到分子的基态。双原子分子在平衡位置附近振动的Schr?dinger方程如下：

原子核间的有效势取为Morse势。一方面，对Morse势求解Schr?dinger方程有解析解，方便分析问题，与Lennard-Jones势相比更为简易；另一方面，Morse势包括键的断裂，也就是反键态的存在，因此比量子谐振子模型更加真实，能描述非谐效应，对于分子振动的细微结构有良好的近似[1]。Morse势的形式如下：

表1列举了各种稀有气体双原子分子判断束缚态存在条件的特征量λ的值。对于双原子Ne分子、Ar分子、Kr分子和Xe分子，λ都大于1/2；He分子的λ略小于1/2，表明通常条件下存在稳定的双原子Ne分子、Ar分子、Kr分子和Xe分子，但不存在稳定的双原子He分子。表1数据还表明，元素的质量越大，λ的值越大，所以质量是决定分子行为的一个重要因素。非极性双原子分子是否存在束缚态不仅与原子的质量有關，还对相互作用势的宽度和深度有限制，这在某种程度上说明了He的量子特性。

2 一维氦原子链的基态

本研究所述He是具有满壳层结构的惰性气体元素。除He以外的惰性气体元素固体是典型的范德瓦尔斯结合。范德瓦尔斯结合是一种瞬时的电偶极矩感应作用，原子间相互作用的有效势形式通常采用Lennard-Jones势。对于一般的经典固体，其零点能很小，对结合能的影响自然也很小。所以处理结合问题的方法一般如下：首先，根据内能极小值条件确定晶体的平衡体积，即确定平衡晶格常数，并将相应内能的负值近似为结合能；其次，根据以上确定的平衡晶格常数，由晶格振动理论计算出晶体的零点能，对结合能进行修正。本研究先用这种经典的方法计算各种稀有气体元素一维原子链的结合能W与零点能Ez。

表2列举了各种稀有气体元素一维原子链的结合能W与零点能Ez，可以看出，质量越小的原子，振动零点能对结合能的修正越重要。采取这种方法的结果是氦原子链的零点能比结合能大一倍，显然这种基态分析方法不适用于量子固体氦。

为了找到对量子固体氦基态的合理解释，本研究在晶化假设的前提下分析原子间相互作用势的性质。只考虑最近邻原子间的相互作用，不同晶格常数对应的一个原子受到的相互作用势能如图1所示。其中，横坐标r表示这个原子与左边近邻原子的距离。两个4He原子间相互作用的平衡距离re为2.869 ?，姑且将晶化假设下近邻原子间距离定义为“晶格常数”，记为A。当A逐渐增大时，第n个原子受到的作用势能逐渐由对称的“单阱”变为对称的“双阱”，且“双阱”的相对深度（阱底极小值与两阱间极大值之差）逐渐增大。

表3中面心立方结构的固体氦的近邻原子间距离A是根据不同温度压强下固体的密度估算出来的。由表3数据可以看出，实验中得到的4He固体的近邻原子距离A在3.500～3.700 ?，本研究得到的一维4He原子链的近邻原子距离A为3.670 ?。

3 结语

在Morse势模型下，双原子分子振动的Schr?dinger方程有严格解，但双原子分子存在束缚态是有条件的，对原子的质量、势能的阱深和阱宽有一定的限制条件。通过对稀有气体双原子分子的分析，Ne、Ar、Kr、Xe双原子分子都存在束缚态，但He恰好不存在。通过与半无限深势阱中的粒子对比，定义了Morse势的有效宽度。

本研究采用Lennard-Jones势模型分析了一维4He原子链的基态，在晶化假设下直接计算原子链的结合能，根据不确定性原理估算零点能修正，得到了一维固体4He的基态能量和晶格常数。利用不确定性原理估算零点能，关键是对原子的振动范围，即位置上的不确定度的估算。只有当原子链的近邻原子距离在适当范围内，原子受到的相互作用势能才是图2中的“平滑”双阱，也就是两阱底中间的势垒比较浅，此时才有。形成固态氦需要1.00～1.50 K的低温，并且要2.5 MPa左右的压强。压强的作用就是压缩原子间距离，使原子间近的邻距离由液态时的特征范围减小到固态时的特征范围，使氦原子受到的相互作用势能为“平滑”的双阱或多阱，固态下的氦原子振动范围比经典固体原子大得多，具有明显的量子特性。