托尔斯泰小说中的数学故事

蔡天新

俄国大文豪列夫·托尔斯泰是一位数学爱好者，喜欢将数学问题融入文学创作。他写过一篇《一个人需要多少土地》的小说，在文中巧妙地运用数学知识，对贪婪的主人公进行了绝妙的讽刺。读到最后，还能感受到一丝悲剧的味道。

小說的主人公名叫帕霍姆，他遇到一个奇特的卖地者：不论是谁，只要交1000卢布，就可以在草原上，从日出走到太阳落山，只要在天黑之前回到出发点，他走过的路线所围起来的土地就都属于他。但如果没回到出发点，那么他一点儿土地也得不到，1000卢布就打了水漂。

帕霍姆交了1000卢布后，天一亮就开始大步行走。他先沿着一条直线走了10俄里（1俄里约等于1.0668千米），然后垂直左转，又走了相当一段距离，再次垂直左转，走了两俄里。这时他发现天色已经不早了，于是向着起点狂奔，跑了15俄里之后，他终于赶在日落时分回到了起点。帕霍姆双腿一软，栽倒在地，口吐鲜血，一命呜呼了。

这篇小说实际上出了一道并不难的几何题：帕霍姆走过的路线构成了一个上底为2、下底为10、斜腰为15（单位均为俄里）的直角梯形，这个梯形的周长是多少？面积又是多大？学过勾股定理的读者应该会计算梯形的高和面积。如果帕霍姆活着，他就可以得到约86.6平方千米的土地！

有趣的是，如果我们计算一下这个直角梯形的周长，就会得到39.7俄里的结果，约为42千米，这与马拉松赛跑的距离大致相等！公元前490年，古希腊士兵菲迪皮茨在他们战胜波斯帝国的军队以后，从马拉松跑回雅典传捷报，结果喊了一声“我们胜利了”，就倒地而亡，帕霍姆也是在完成这样一段距离后累死的。这就是贪婪者的下场。

看来托尔斯泰不仅构思巧妙，数学修养也不赖。如果帕霍姆不跑直角梯形，而是采取別的什么路线，应该可以少走很多路而得到同样大小的土地。答案是圆。类似的问题有，用什么形状的容器可以容纳尽可能多的液体或气体？答案是，球。还有，如果帕霍姆当初走的路线是一个圆，那么圈住86.6平方千米土地只需要走33千米左右，他可能不会被累死。

（常鑫摘自《数学的故事》 图/雨田）