挖掘内隐性课程资源，提高课堂教学效率

万卫平

［摘  要］ 内隐性课程资源对数学教学有着举足轻重的影响，挖掘并整合内隐性课程资源，是促进学生知识自主建构的根本. 文章以“空间几何体的表面积”教学为例，提出几点实施措施：挖掘环境资源，激发学生情感；挖掘过程资源，发现知识来源；挖掘思想资源，实现知识迁移；挖掘联系资源，完善知识体系；挖掘拓展资源，灵活应用提升.

［关键词］ 内隐性资源；课堂教学；效率

喻平教授提出：数学课程资源有内隐性与外显性两类. 外显性资源主要是指看得见、摸得着的课程资源，如教材、讲义、课件、多媒体等；内隐性资源包含素材性与条件性两类. 内隐素材性资源主要指潜藏于显性知识内层的隐性内容，如知识的文化、过程、逻辑与背景等元素；内隐条件性资源主要指教师对课程资源的理解程度，它与外显条件性资源一起构建出适宜学习的环境，帮助学生构建智力与非智力因素［1］.

随着新课改的推进，如今的数学课堂更关注学生数学核心素养的培养. 究竟如何将它落实在实践层面呢？实践证明，真正高品质的课堂，不仅要利用好各种外显性资源，还要充分挖掘内隐性资源，引导学生积极主动地参与教学活动，提升对知识的理解程度、思考力与创新意识.

本文以“空间几何体的表面积”教学为例，具体谈谈内隐性资源的挖掘与应用，对课堂有效生成产生的正面影响.

挖掘环境资源，激发学生情感

孟母三迁的故事，人皆知晓. 环境对教育的影响，从古至今都受到人们的重视. 良好的环境可以让人心情舒畅，提高办事效率，同样良好的教学环境也利于学生的学习与成长. 反之，嘈杂、喧闹、不愉快的教学环境，会让学生心烦意乱，难以集中注意力，干扰学习成效.

在课堂教学中，教师应充分挖掘内隐性环境资源，结合学生的生活实际，让学生获得身临其境之感，从而产生积极、良好的情感体验，为更好地接纳知识奠定情感基础. 如本节课，笔者就从学生熟悉的校园出发，挖掘出其中隐含的课程资源，以激发学生对知识的探究热情，为课堂的有效生成奠定基础.

师：咱们教室西侧的那座楼，因年代久远，外墙涂料出现了脱落的现象，若想将这座楼的外墙粉刷一遍，我们该怎样估算所需的材料？

生1：首先要明确外墙的表面积是多少.

师：大家先观察一下它的形状.

生2：此楼的底端为六棱柱，顶端是六棱锥，我们需要弄清楚它们的表面积.

师：非常好！这就是我们这节课将要研究的主要问题：几何体表面积的计算.

教师从学生的生活实际出发，用肉眼可见的外显性资源（学校建筑）作为情境创设的素材，让学生探讨、分析素材内隐的教学意义. 挖掘环境资源的教学功能，成功地吸引住了学生的注意力，不仅顺利地引入了本节课的教学主题，还有效地激发了学生的探究欲，为接下来的教学铺设了台阶.

挖掘过程资源，发现知识来源

知识的形成与发展都需要经历一个过程，教师若直接将知识的结论与内涵呈现给学生，只会让学生机械记忆，难以从真正意义上理解知识. 而挖掘教学过程资源，能让学生明晰知识的来龙去脉，从而对知识产生深刻理解，为解题夯实基础.

师：现在我们先从棱柱开始分析，如图1所示，我们能否从某种属性出发，将它们分为两类？

生3：可将①②归为三棱柱一类，③④归为四棱柱一类.

生4：可将①③归为一类，②④归为一类，因为①③两个棱柱的侧棱都不与底面垂直，而②④两个棱柱的侧棱都与底面垂直.

师：都有道理. 我们将侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，如果直棱柱的底面恰好是正多边形，那么我们就称这个直棱柱为正棱柱. 例如图1中的棱柱②，如果它的底面为正三角形，那么该棱柱则为正三棱柱. 我们再回头看粉刷的那幢楼，楼底端就是一个典型的正六棱柱. 现在我们一起来分析直棱柱的每个侧面，它們是什么图形？理由是什么？

生5：是矩形，因为直线与底面是垂直的关系，因此与底面内的任意直线都是垂直的关系.

师：不错！我们先一起来看看直三棱柱的表面积，它具体包括哪些面？

生6：应该是三个侧面以及两个底面.

师：从我们原有的认知结构出发，底面积很容易就能求到，但侧面积该怎么求呢？

生8：矩形的面积公式与此式类似，矩形的长与棱柱底面的周长对应，矩形的宽与棱柱的高对应.

师：非常好！若将棱柱体转化为矩形，可以怎么操作？

生9：只要沿着一条侧棱剖开，再展开即可.

师：很好，这个思路适合应用到四、五、六……n棱柱吗？

（学生沉默）

师：大家看我这里从超市买回来的巧克力（学生瞬间来了精神），现在我将它分发到各组，大家一起观察一下它的形状，并想办法完整地打开它的“外衣”.

巧克力为正五棱柱形状，两底面包裹着稍硬的纸，侧面包裹着金箔纸，各组学生细心地用小刀划开它的侧面，展开后得到一个矩形. 最后各组总结、归纳，汇报如下：①直棱柱完全展开后，可得一个矩形；②展开直棱柱，即将一个立体图形转化成一个平面图形；

随着过程资源的开发，学生因亲历了知识形成的过程，对直棱柱的侧面积有了更加形象、具体的认识. 若教师在此环节中，直接将这个公式传授给学生，学生虽然能记住，但对于公式的由来缺乏直观的认识，当实际应用时，只能生搬硬套. 而经历了公式形成的过程，则能熟练、灵活地应用该公式，为解决综合性问题夯实了基础.

挖掘思想资源，实现知识迁移

学教学不仅仅是知识与技能的教学，更重要的是数学思想方法的渗透. 教师在教学活动实施中，应深层次地剖析教材与学生，把握好教材蕴含的内隐性资源（数学思想方法），帮助学生更好地实现知识的迁移，为学生建构完整的知识体系提供帮助［2］.

生10：把棱柱的一个底面收缩成一点，就形成棱锥了.

师：若收缩正棱柱的上底面，到达什么位置时，所获得的棱锥视觉效果最好？为什么？

生11：收缩到正中心处视觉效果最好，因为此时的棱锥具有对称美.

师：将收缩到正中心处的顶点与下底面的中心点连接起来，所得到的直线与下底面是怎样的位置关系？

生12：应该是线面垂直的关系，且垂线段的长就是棱锥的高（h）.

师：若一个棱锥的底面为正多边形，顶点在底面的正投影位于中心位置，则此棱锥为正棱锥. 咱们教室旁边的这幢楼的顶端就是一个典型的正六棱锥. 现在我们一起来分析正棱锥有哪些性质，表面积应该怎么计算.

例1 已知一个正三棱锥的底面边长为2 m，高为1 m，则该正三棱锥的表面积是多少？

师：想要求解本题，需要经历哪些过程？

生13：先要求出三个侧面（等腰三角形）的面积，其底边上的高是必备条件.

师：为了区别棱锥的高，我们将侧面三角形的高称为斜高（h′），斜高该怎么求呢？一般解决空间几何问题，会涉及哪些数学思想方法？

生14：最常用的是转化思想方法，即将空间几何问题转化为平面几何问题进行解决.

师：本题该从什么角度进行转化呢？

师：太棒了！分析得很到位. 通过本题，我们一起来总结一下正棱锥的性质，以及表面积的计算方法、公式等.

经过师生沟通与交流，梳理出以下结论：

类比正棱柱，正棱锥具备的性质有：①正棱锥的每个侧面均为一样大的等腰三角形；②正棱锥的斜高h′、高h、中心点到边的距离（底面内切圆的半径）r可构成一个直角三角形；③正棱锥的高、侧棱以及底面的外接圆半径也可以构成直角三角形；

类比正棱锥，师生又共同总结出了正棱台的相关定义与性质：①正棱台的侧面为全等的等腰梯形；②正棱台的斜高h′、高h，上、下底面内切圆的半径r、r′可构成直角梯形；③正棱台的侧棱、高、两个底面外接圆的半径也可构成直角梯形；分别为两底面的周长与侧面斜高），侧面展开图即各个侧面形成的n个梯形.

转化、类比等思想的应用，让学生对知识产生了更为清晰的认识，并通过自主探究与合作交流，主动获得了正棱锥与正棱台的性质. 这是数学思想方法对知识迁移产生的正向影响，学生所学的知识，随着时间的推移有可能被遗忘，但所获得的数学思想方法，却根植于学生的思維中，会让学生形成受益终身的能力［3］.

挖掘联系资源，完善知识体系

数学是一门系统性学科，知识间有着密切的联系. 教学时，教师应引导学生深入到隐性的知识联系资源中，帮助学生厘清知识间的关系，形成良好的思维导图，为建构完整的认知结构奠定基础.

师：通过以上分析，谁来说说正棱柱、正棱锥、正棱台三者的侧面积公式间存在着怎样的联系？

生16：若正棱台的上底面不断缩小，直至成为一点时，就形成了正棱锥；若正棱台的上底面不断扩大，直至与底面相同时，就形成了正棱柱. 当然，侧面积公式会随着图形的变化而改变.

师：不错，从这两种变化来看，正棱台的侧面积公式更具一般性，而数形间的变化也是相辅相成的关系. 那么，圆柱、圆台与圆锥的侧面积公式，该怎么获得呢？

这个问题把课堂推向了一个新的高潮，有学生认为可以将圆柱、圆台与圆锥的侧面积对应地转化为正棱柱、正棱台与正棱锥的侧面积去分析，也有学生不能理解这种转化方法. 随即，教师提出了刘徽的“割圆术”，即将正n边形的n值无限放大，n值越大，正n边形与圆越接近，那么正n边形的面积也就越接近圆的面积. 同理，分别无限放大正n棱柱、正n棱台与正n棱锥的n值，其侧面积就接近圆柱、圆台与圆锥的侧面积.

这种无限接近，以直代曲的数学思想，在后期的学习中会不断涉及，所以教师在此加以渗透，既深化了学生对本节课知识的理解，又加强了知识间的联系，渗透了数学思想方法，为学生建立完整的认知体系奠定了基础.

挖掘拓展资源，灵活应用提升

任何知识的掌握程度，都在实际应用中得以体现. 本节课至此，学生对几个公式的由来已经有了明确的认识，并进行了横向拓展，厘清了相关知识间存在的联系. 接下来，教师与学生一起探讨公式的实际应用与拓展.

例2 若要建造一个正四棱锥形的塔顶，塔高为0.8 m，底面的边长为1.2 m，求建造塔顶所需材料的面积.

分析 结合勾股定理，可获得塔顶的斜高h′为1 m，运用公式计算，建造塔顶所需材料的面积为2.4 m2.

当学生顺利解决此题后，教师带领学生回到课堂初始问题——计算教室旁边那座楼的外墙面积.

例3 如图2所示，在正三棱锥P－ABC中，已知侧棱的长为2，∠BPA=30°，点D，E分别为侧棱PB，PC上的点，求△DEA的最小周长值.

分析 利用代数法解决本题，难度较大，若用展开思想就简单多了. 沿侧棱AP剪开、展开、铺平，获得图3所示的图形，借助勾股定理，可得△DEA的最小周长值为2.

师：若已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，根据这两个条件，请大家编拟一道和例3相似的试题，并作答.

这是一个典型的开放性问题，对学生的思维有较大的挑战. 大部分学生都乐于解决这样的问题，编拟出来的试题也是五花八门、丰富多彩，让整个课堂充满了生命力.

随着知识实际应用的探索，学生对本节课教学内容有了更深层次的理解. 随着问题的逐渐复杂，学生的思维也拾级而上，尤其是开放性问题的设置，让不少学生对知识的拓展与应用产生了浓厚的兴趣，此过程有效地提升了学生的解题能力与思维能力.

总之，课程内隐性资源有很多，除了本文涉及的实际环境、知识形成过程、逻辑关系与思想方法等因素外，还包括教师的业务水平、学生的认知情况、实际教学方法等. 作为一线数学教师，应不断提升自身的业务能力，用与学生认知水平相匹配的教学手段开展教学活动. 不断开发内隐性课程资源，将外显性课程资源与内隐性课程资源有机地结合起来，能有效促进学生的自我建构.

参考文献：

［1］ 喻平.论内隐性数学课程资源［J］. 中国教育学刊，2013（07）：59-63.

［2］ 布鲁纳. 教育过程［M］. 邵瑞珍，译. 北京：文化教育出版社，1982.

［3］ 曹才翰，章建跃. 数学教育心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2006.