随机格板方程的后向紧随机吸引子①

韩凯利， 李扬荣

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

文献[1-3]对随机格系统做了深入的研究, 文献[4-6]对吸引子的存在性和后向紧性做了研究并建立了相对完善的理论体系, 文献[7-9]对格点方程的后向紧随机吸引子进行了研究, 文献[10-11]对板方程吸引子的存在性和连续性做了研究, 文献[12]对带有非线性噪音的格板方程做了研究, 本文将在文献[10,12]的基础上, 研究带有乘法噪音的非自治随机格板方程的后向紧随机吸引子.

1 随机格板方程

本文将在空间l2上讨论带有乘法噪音的非自治随机格板方程

(1)

接下来做一些假设:

(Ⅰ)fi∈C1(R, R)且对所有的s∈R,i∈Z满足:

|fi(s)|≤γ1|s|p-1+φ1,iφ1={φ1,i}i∈Z∈l2

(2)

fi(s)s≥γ2Fi(s)+φ2,iφ2={φ2,i}i∈Z∈l1

(3)

Fi(s)≥γ3|s|p-φ3,iφ3={φ3,i}i∈Z∈l1

(4)

|f′i(s)|≤γ4|s|p-2+φ4,iφ4={φ4,i}i∈Z∈l∞

(5)

(6)

(Ⅱ)φi∈C1(R, R), 存在正数α1和α2, 使得

φi(0)=0α1≤φ′i(s)≤α2∀s∈R,i∈Z

(7)

(8)

为了将方程(1)化简, 定义从l2到l2上的算子如下:

(9)

且对于u=(ui)i∈Z∈l2和v=(vi)i∈Z∈l2, 有

‖A2u‖≤16‖u‖ (A2u,v)=(Au,Av)

(10)

为了证明随机方程(1)产生一个随机动力系统, 我们将其转化为l2×l2上的一个随机微分方程, 令

θtω(·)=w(·+t)-w(t)

则

是方程dz+kzdt=dW(t)的一个路径解.

从文献[13]可知, 随机变量|z(ω)|是缓增的, 且满足

(11)

则方程(1)可以重新改写成具有随机系数但没有乘法噪音的等价方程

(12)

令E=l2×l2, 且有范数

其中‖·‖表示l2范数, 为了后续计算, 当λ+k2-α2k>0时, 定义一个新的范数‖·‖E:

容易验证范数‖·‖E与范数‖·‖l2 ×l2是等价的, 且方程(1)的解产生的动力系统与通过方程(12)获得的是一样的, 因此我们只需要考虑方程(12)的解产生的动力系统.通过文献[14]中关于解的存在性和唯一性的经典理论方法可以得到, 在假设(Ⅰ)下, 方程(12)在E上存在唯一的连续依赖于初始值的解

(u(t,ω,uτ),v(t,ω,vτ))T∈C([τ, +∞),E)

Φ(t,τ,ω,(uτ,vτ))=(u(t+τ,τ,θ-τω,uτ),v(t+τ,τ,θ-τω,vτ))

在下文中,D是E中所有后向缓增集构成的集族, 集合D={D(τ,ω)}∈D当且仅当

2 解的估计

引理1若假设(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 则对任意后向缓增集D∈D, ∀τ∈R,ω∈Ω,Ys-t∈D, 存在T=T(τ,ω,D,η)≥0, 使得

其中对∀τ∈R,ω∈Ω, 有

证对任意固定的τ∈R,ω∈Ω,(us-t,vs-t)∈D, 将方程(12)中第二个等式与

v(r)=v(r,s-t,θ-sω,Ys-t)s≤τ

作内积, 有

αz(θr-sω)(3k-αz(θr-sω))(u,v)-(φ(v+αuz(θr-sω)-ku),v)+(g(r),v)

(13)

且有

v=ut-αuz(θr-sω)+ku

(14)

当α1-k>0时, 根据拉格朗日中值定理、假设(Ⅰ)-(Ⅱ)和Young不等式, 有

(15)

αz(θr-sω)(3k-αz(θr-sω))(u,v)-(φ(v+αuz(θr-sω)-ku),v)≤

(16)

(17)

利用(6),(10),(14)式, 并将(15)-(20)式带入(13)式, 整理有

(18)

其中

对(18)式利用Gronwall不等式, 计算可得

(19)

由文献[10]可知, 当

时, 存在T1, 使得对∀r≤-T1有

(20)

又因为|z(θrω)|是缓增的, 通过(7)式和(20)式, 可知

是收敛的.

因为D∈D,(us-t,vs-t)∈D(s-t,θ-tω),l2⊂lp, 则通过(6),(20)式, 对∀t≥T1, 有

(21)

对(19)式关于s∈(-∞,τ]取上确界, 对∀τ∈R,ω∈Ω,Ys-t∈D, 存在T=T(τ,ω,D,η)≥0, 当t≥T(≥T1)时, 有

(22)

推论1若假设(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 且满足引理1, 则由文献[7,15]中拉回一致吸收集存在的条件可知, 协循环{Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D, 其中

K0为拉回随机吸收集.

引理2若假设(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立,(us-t,vs-t)∈D(s-t,θ-tω),τ∈R,ω∈Ω,D∈D, 则对∀η>0, 存在

T=T(τ,ω,D,η)>0N=N(τ,ω,η)≥1

使得对∀t≥T, 方程(12)的解满足

证定义一个光滑函数ρ, 当s∈R时, 有0≤ρ≤1, 且当|s|≤1时,ρ=0; 当|s|≥2时,ρ=1.则存在常数μ1, 对∀s∈R, 有|ρ′(s)|≤μ1.

令

u=(ui)i∈Zv=(vi)i∈Z

将方程(12)中的第二个等式与ρv作内积, 有

αz(θr-sω)(3k-αz(θr-sω))(u,ρv)-(φ(v+αuz(θr-sω)-ku),ρv)+(g(r),ρv)

(23)

当α1-k>0时, 通过Young不等式以及(14)式, 有

与文献[12]的方法类似, 通过(9),(10),(14)式可知

(27)

将(24)-(27)式带入(23)式, 并根据假设(Ⅰ),(Ⅱ), 整理有

(28)

对(28)式利用Gronwall不等式, 并取上确界, 计算可得

与(21)式类似, 可得

(29)

根据z(θrω)的缓增性和(11)式可知, 对∀ε>0, 存在C=C(ε,ω), 使得

(30)

则通过(8),(20),(30)式可知, 存在常数M和T(≥T1), 当t>T时, 有

(31)

(32)

ηMC(ω)(1+R(τ,ω))≤η

(33)

所以通过(6),(29),(31)-(39)式, 对∀η>0, 存在

T=T(τ,ω,D,η)>0N=N(τ,ω,η)≥1

使得对∀t≥T, 有

引理3若假设(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 则协循环{Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向渐进紧的.

Yk=Φ(tk,τk-tk,θ-tkω,Yτ, k)=Y(τk,τk-tk,θ-τkω,Yτ,k)

下证{Yk}在E上是预紧的.由引理2可知, 存在K,N, 使得当k≥K时, 有

(34)

由引理1可知, {Yk}在E中是有界的, 因此{(Yk,i)|i|≤N}k在R2N+1中有界, 所以{(Yk,i)|i|≤N}k在R2N+1中有一个有限的ε-网, 结合(34)式可以得到{Yk}在E中有一个有限的2ε-网, 所以{Yk}在E中是预紧的, 进而{Φ(t)}t≥0在吸收集K上是后向渐进紧的.

3 后向紧随机吸引子

定理1若假设(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)成立, 则方程(1)生成的动力系统存在后向紧随机吸引子.

证由推论1和引理3可知, 协循环{Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集且在吸收集上是后向渐进紧的, 因此满足文献[15](定理3.9)中拉回吸引子的存在性条件, 因此方程(12)生成的非自治随机动力系统Φ(t)存在唯一的后向紧D-拉回吸引子A∈D和唯一可测的D0-拉回吸引子A0∈D0.再根据文献[16](定理6.1)可知A=A0, 所以吸引子A也是随机的, 因此Φ(t)存在唯一的后向紧D-拉回随机吸引子A∈D, 从而方程(1)存在后向紧随机吸引子.