求空间几何体外接球半径的两种措施

王旭东

空间几何体的外接球半径问题侧重考查圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球等简单空间几何体的结构特征、性质、体积公式的应用，这类问题对同学们的数学运算、逻辑推理和空间想象能力都有着较高的要求.如何选用一种适合的方法，简单便捷地求得外接球的半径，也是我们需重点关注的.本文主要探讨一下求空间几何体外接球半径的两种措施.

一、采用转化法

转化法是解答高中数学问题的一种常用方法.在求空间几何体外接球的半径时，可将空间中的点、半径、线段等看作某一个平面图形上的点、半径、线段，采用转化法，将复杂的空间几何体外接球的半径问题转化为简单的平面距离问题.再在各个平面内，根据勾股定理、正弦定理、余弦定理等平面几何知识求解.这样便可将复杂的问题简单化.

例1.

解：

通过分析题目中所给的条件，可发现只要构造 Rt△OO1A ，就可以利用直三棱柱的性质，将直三棱柱外接球的半径看作 Rt△OO1A 中的 OA 长.这样利用勾股定理和正弦定理求出 OA 的长度，即可求得直三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的半径.

二、利用定义法

球的半径是球心到球面上各个点的距离.在求空間几何体外接球的半径时，可根据球的定义，将问题转化为求空间几何体外接球的球心到几何体各个顶点的距离.因此只要能够确定几何体外接球球心的位置，求得球心到几何体各个顶点的距离，问题就能够迎刃而解.

例2

解：

解答本题，需根据球的定义以及三棱锥 P - ABC 的特征，明确直线 l 上的点到 A、B、C 的距离均相等，且直线 l 与 O1O2 交于 O1 ，进而确定三棱锥 P - ABC 外接球的球心就是 O1 ，O1C 即为球的半径.

总之，求空间几何体外接球的半径，需把握球的定义以及空间几何体的特征，灵活运用定义法和转化法，将问题简化为空间距离和平面距离问题来求解.