巧构圆，妙解解析几何题

李丹

解析几何问题通常较为复杂，解题过程中的运算量较大.在解题时，我们通常要采用各种不同的手段，如构造几何图形、运用曲线的定义、设参等来简化运算，提升解题的效率.有些解析几何问题中会涉及隐圆，如何挖掘出有关隐圆的信息，巧妙构造出圆，运用圆的性质或者方程来解题呢？下面结合实例进行探讨.

一、根据圆的性质构造圆

圆的性质很多，如：（1）圆是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（4）直径所对的圆周角为直角.在解答解析几何问题时，我们可以寻找与圆的性质相关的几何关系，如对称、互补、垂直等，以构造出圆，运用圆的性质、方程来解题.

例1

解：

我们根据题意可判定∠OAP 与∠OBP 互补，那么就可以根据圆的性质：圆内接四边形的对角互补，判定 A，O，B，P 这四个点就在同一个圆上，这样就构造出一个新圆，确定圆的圆心和半径，即可求得问题的答案.

例2

解：

解答本题的关键是根据PA?PB = 0（PA ⊥ PB） ，以及圆的性质：直径所对的圆周角为直角，判定动点 P 的轨迹是圆.确定了圆的圆心坐标和半径，即可求得圆的方程，再根据点到直线的距离公式进行求解即可.

二、根据圆的定义构造圆

我们知道，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，这是圆的定义.在解答解析几何问题时，我们要注意寻找“定点”“定长”这样的隐含信息，并将其与圆的定义关联起来，求得圆的方程，利用據圆的性质和方程来解题.

例3

解：

此题侧重于考查同学们对圆的定义的理解.命题者将有关圆的信息隐藏在题目中，如果我们没有发现的话解题的计算量就会很大.我们根据圆的定义求得新圆的方程，即可将问题转化为两圆的位置关系问题.

例4

解：

我们将O视为定点，将 |OM | = 1视为定长，即可根据圆的定义确定点 M 的方程，将求 | |PA +PB 的最小值转化为求直线 x + y - 4 = 0 上任意一点到圆 x 2 + y2 = 1上任意一点的距离的最小值.

三、根据圆的方程构造圆

圆的标准方程为 （x - a） 2 +（y - b） 2 = r 2 ，其中圆的圆心为 （a，b） ，半径为r.在解答解析几何问题时，若根据题意可得到形如 （x - a） 2 +（y - b） 2 = r 2 ，（x - a） 2 +（y - b） 2 的式子，我们就可以将其视为圆的方程，构造出圆，根据圆的性质、定义来解题.

例5

解：

由 x 2 + y2 = λ + 1，我们可以联想到圆的方程，于是构造以（0，0）为圆心、半径为 λ + 1 的圆，将问题转化为圆 x 2 + y2 = λ + 1与线段 AC 有两个交点问题来求解.

例6

解：

由 |PA| 2 + |PB| 2 为定值，可以得出 x 2 + y2 = m2 ，显然该方程为圆的方程，则可以判定点 P 的轨迹是圆，那么只需要根据圆与圆的位置关系解题即可.

在解答解析几何问题时，要仔细挖掘隐含条件，将问题与圆的方程、性质、定义关联起来，构造出圆，利用圆的方程、性质、定义，根据直线与圆、圆与圆之间的位置关系来解题.