Heisenberg模顶点代数的单商代数

李思佳

（黑龙江工业学院）

1 引言与预备知识

素特征域上的顶点代数也称为模顶点代数.目前对于素特征域上的顶点代数的研究较少.文献［1］和文献［2］分别对素特征域上顶点代数的零化子和幂零元的性质进行了研究.文献［3］研究了素特征域上Heisenberg 顶点代数及其不可约表示.文献［4］研究了素特征域上一类顶点代数的对称不变双线性型，给出了H－模顶点代数的定义.H－模顶点代数是一类重要的顶点代数.该文在文献［3］和文献［4］的基础上研究了素特征域上Heisenberg 顶点代数，证明了Heisenberg模顶点代数的单商代数是H－模顶点代数并且存在唯一的非退化对称不变双线性型.

则A是H－模李代数.

2 主要结果

设H是域F上具有非退化双线性型〈·，·〉的有限维向量空间，把H 上看成交换李代数，则〈·，·〉是H的非退化不变双线性型.于是有仿射李代数H＾＝H ⊗F［t，t－1］⊕Fk，其中k 是中心元，并且对任意的m，n ∈Z，α，β ∈H，满足李乘关系

引理1对于任意的r ∈N，n ∈Z，α ∈H，定义

由文献［4］的命题5.2可得：

命题1顶点代数（l，0）是H－模顶点代数.

令J (l，0 )是由

生成的VH＾(l，0 )的理想.

引理2令α ∈H，k，r ∈N，n ∈Z＋.则

证明因是交换李代数，所以

因此，当płk时，

当p ｜k时，假设k ＝rp，由费马小定理可得

同理可证得：

引理3令α ∈H ⊗，k，r ∈N，n ∈Z＋，则当płk时，

当k ＝rp时，

命题2J (l，0 )是(l，0 )的H－子模.

证明令α ∈H，k，r ∈N，n ∈Z＋.当p ｜k时，由引理1可知

由引理2和引理3可知，当płk时，有

另一方面，当p ｜k时，令k ＝rp，有

当płk时，有

定理1（l，0）是H－模顶点代数.

由文献［4］中的命题5.3和推论4.11可知：

推论1（l，0）上有唯一的对称不变双线性型(·，·)使得(1，1) ＝ 1，并且双线性型(·，·)非退化.