TPACK视角下的初中数学专题复习课教学探究*

朱宸材|江苏省无锡市侨谊实验中学

复习课是数学教学的主要课型之一，教师需要根据不同主题的特点，进行结构化的设计，形成高于日常教学的视角和观点，体现数学知识、思想方法的整体性和系统性.TPACK是整合技术的学科教学知识（Technological Pedagogical Content Knowledge）的简称，其三大要素TK（技术知识）、PK（教学法知识）和CK（学科内容知识）共同作用、相互影响.TPACK视角下的初中数学专题复习课综合性强、思维要求高，需要教师掌握完整的数学知识体系及一定的信息技术能力，并能以TPACK为指导对专题复习课进行剖析.

一、基于TPACK框架提炼初中数学专题复习课教学的分析维度

1985年，舒尔曼提出了PCK，试图从专业能力维度给出教师专业发展的一些重要指标.2005年，科勒与米什拉引入技术知识，指出需要结合特定的教学情境来理解教师的发展，特别强调了信息技术的重要作用［1］.由此，TPACK框架成型，它将学科知识、课程知识、教学知识与信息技术相融合，形成了理论与实践相结合的研究体系，并主要分布在理解性知识、教学目的与策略、教学内容的理解与设计、教学评价与反馈四大块，其各组成结构之间的关联如图1所示［2］.

图1 TPACK各组成结构之间的关联

从中国知网上的相关论文可知，我国对TPACK研究涉及的主要领域有TPACK视域、教师专业成长、信息化教学能力、教师信息化教学能力和提升策略、教学设计与信息技术融合、整合技术的学科教学知识等.根据这些研究，为进一步增强实效，笔者以《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“《课程标准》”）为依据，从“为什么进行教学”出发，提炼出TPACK视角下的初中数学专题复习课教学的“3W+3H+2T”八个分析维度：教育价值（Why），即教学内容指向的教育目的；教学目标（Where），即教学要达到的目标；教学内容（What），即教什么；学情分析（How），即学生的实际能力起点；教学策略（How），即怎么教；教学评价（How），即教学效果如何实现；技术—教学法（TPK），即数据收集并进行教学研究；技术—学科（TCK），即学科内容的互动呈现.

结合复习课的特点与教学设计的分析要素，笔者又将TPACK的八个维度细分为下列关注点.

教育价值（Why）：关注对复习内容必要性的认识，涉及数学需要和现实需要两方面.

教学目标（Where）：以《课程标准》为依据，根据近年来的中考考查情况进行设定.

教学内容（What）：进行知识结构设计安排，复习内容既要关注横向联系，也要关注纵向联系；确定教学重、难点，围绕数学思想方法及本质特点展开.

学情分析（How）：包括学生已有基础（对生活中相关事实的认识，对数学内容前后联系的掌握）、学生知识掌握特点、学生思维形成特点、学生存在的困惑（由知识内容本身比较抽象、深奥以及学生认知能力不足造成）四个方面.

教学策略（How）：包括教学重点如何实施、教学难点如何突破、根据学生特点如何实施教学策略、复习效果如何达成四块内容.

教学评价（How）：通过区域智慧平台实施教学的前测与后测，根据学生的学情特点和掌握情况进行综合性评价.

技术—教学法（TPK）：整合技术于专题复习，形成结构化的整体认识及学生在学习中对认知与技术使用的反馈.

技术—学科（TCK）：产生对课程基于教育技术的认可，使用技术表征学科核心内容；通过提升学习的品质来促进技术进阶和升级，从而更好地服务学科发展.

二、TPACK视角下的“概率”专题复习课解析

统计与概率是义务教育阶段数学学习的重要领域之一，在初中阶段，概率主要是揭示随机现象的统计规律，《课程标准》特别强调数据观念，指出教学要使学生对数据的意义和随机性有比较清晰的认识.根据以上分析，笔者对“概率”专题复习课进行TPACK内涵解析，集中研究以下五个问题.

（1）“概率”专题复习的价值体现在哪里？

（2）中考专题复习涉及哪些具体的内容？

（3）学生学习的起点在哪里？会遇到哪些学习障碍？要如何解决？

（4）如何通过现代信息技术进行有效融合？主要的连接点有哪些？

（5）如何有效地进行复习课的组织？如何体现专题课的教学效果？

下面，笔者基于TPACK，对随机现象的可能性进行深入的可行性分析与内涵研究.

（一）教育价值（Why）

在苏科版义务教育教科书《数学》（以下简称“苏科版教材”）中，统计与概率部分的内容是分年级按螺旋式上升结构编排的，点多面广，亟须通过专题复习将这些散落的知识进行串联，形成知识学习的结构.教师要结合解题方法的归纳及数学思想方法的提炼和总结，发展学生分析、处理数据的意识和能力，培养学生对概率的应用意识及数学推理能力.

（二）教学目标（Where）

目前的中考趋向将毕业和升学合并考查，它以学业达标为主，兼顾高一层级学校选拔.同时，中考命题以各学科的课程标准为依据.因此“概率”专题复习课的教学应基于《课程标准》，综合考虑中考的考查和选拔要求.

1.以《课程标准》为依据深化目标

《课程标准》指出，要“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率”，并“通过大量重复试验”，借助其发生频率的稳定性，会用频率估计概率.当前，大量的重复性试验完全可以借助现代技术模拟进行.教师要通过数据的随机性以及概率与统计的关系，发展学生的数据意识和模型观念，使其能以统计与概率的模型和思维来解决生活中的实际问题.

2.以中考试题为依据细化目标

近七年无锡市中考数学试卷对概率类问题的考查具有较强的稳定性，多以解答题的形式出现，分值在8分左右，考点也以随机概率为主，要求结合实例用列表或树状图进行求解，其考查情况如表1所示.

表1 2016—2022年无锡市中考数学试卷对概率类问题的考查情况

（三）教学内容（What）

由《课程标准》可知，概率是研究与揭示随机现象统计规律的工具，其重要作用是帮助进行决策.“概率”专题复习，涵盖概率的意义、事件的描述与分类、随机事件发生的概率求解、日常生活中对随机概率问题的补充与延伸、通过简单概率模型解决生活中的实际问题等.从对立统一的观点来看，概率中的必然与偶然会产生一对辩证关系，而通过对概率本质的研究，可发展学生的逻辑推理能力.利用现代教育技术可更大程度地打开想象空间，有利于将一些碎片化的知识进行结构化的整体呈现，体现苏科版教材螺旋上升的编排特点.此外，若能联系统计的相关知识，将概率与统计知识打通并进一步梳理，则有利于学生进入高中以后对概率内容的进一步学习.

（四）学情分析（How）

初中阶段，学生已经学习了概率的意义，能理解生活中的简单随机概率，会用列表或画树状图的方法计算随机事件的概率，对频率与概率的关系有了感性的认知.初三学生逻辑思维能力渐趋成熟，具备一定的推理归纳能力，但在全面性和深刻性等方面仍有欠缺，需要进一步提升，在理解概率中的公平问题时也存在一定的障碍.因此在专题复习课教学中，教师需要通过问题情境的方式循序渐进地提出问题，形成问题链或问题群，引导学生进行有效的发散思维和收敛思维训练，让学生能通过实例判断事件的公平性.

（五）教学策略（How）

1.突出重点

以问题链的形式展开教学，突出研究的主问题.教师可通过技术平台整合大数据，推出“分总式”或“总分式”结构的问题串.前者先提出一系列子问题，再归总至主问题；后者先提出主问题，再发散出一系列子问题.

2.突破难点

教师可通过数据平台等关联中考真题，对学生在问题解答过程中出现的集中错误进行大数据分析，归纳主要的错误原因，然后以此为依据，引导学生探索三步概率的解法，逐层释疑，分步推进，在突破难点的同时，帮助学生形成如图2所示的概率知识结构网络.

图2 概率知识结构网络

（六）教学评价（How）

《课程标准》指出，教学评价有育人和导向作用，主要分为课堂评价和学业水平评价.教师需要通过维度多元、主体多样的教学评价，对专题复习课进行教后反思与再认识，进而实现教学质量的不断提升和教学效果的有效监测.在TPACK视角下的“概率”专题复习课中，教师呈现结果，提炼思想方法，帮助学生提升与再构建整体思维能力，可使其在理解概率的基础上形成技能，并进一步内化为能力.同时，教师借助现代教育技术将相关知识直观呈现并使之系统化，可实现从课堂评价向学业水平评价的自然过渡［3］.

（七）技术—教学法（TPK）

张景中等学者将TPACK分成“识别、接受、调整、探究和推进”五个发展水平，认为进行各发展水平之间的融合是TPACK的主要任务，教师要从整体性和系统性上来考虑教学中的各个因素，细化教学流程，有效促进教学水平的提升［4］.

（八）技术—学科（TCK）

教师要有效实施课堂教学，就要在合适的时间和节点引入信息技术，促进教学与信息技术的实时整合.TPACK的发展是动态演变的，教师越能灵活地借助信息技术改进学科教学，就越能对教学内容产生清晰的理解，从而不断更新现有的教学理念，紧跟未来教学的发展.这样的作用必然是相互的，学科融合能力也因此迭代更新.

三、TPACK视角下的“概率”专题复习课教学设计及反思

（一）教学环节

【环节一】识别——创设情境，引发兴趣促思考

问题1：“清明时节雨纷纷”中蕴含了什么数学知识？

设计意图：通过学生熟悉的诗句导入课堂，以其中蕴含的数学知识为载体，引发学生思考并回忆不确定事件与确定事件的概念，激发学生内在的学习需求.

问题2：举出现实生活中必然事件、不可能事件、随机事件的例子.

问题3：对这些事件发生可能性的大小，我们是如何描述的呢？

设计意图：从学情出发，以现实生活问题切入，让学生感受生活与数学之间的紧密联系，自然地引出概率知识.

【环节二】接受——载入问题，提炼方法现观点

［例1］（2015年浙江省湖州市中考题）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球为黑球的可能性为多大？随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，计算两次摸出的球都是黑球的可能性.

问题4：回忆一下，我们用什么概念来描述事件发生可能性的大小？

［例2］（2021年江苏省无锡市中考题）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率.（请用画树状图或列表等方法写出分析过程）

（1）取出的2张卡片数字相同.

（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”.

问题5：一般用什么方法求解概率？

设计意图：遵循抽象与具体相结合的数学教学原则，通过具体的题目总结知识点，关联中考，以知识点将题目分类.例1第1问为求解一步概率的问题，学生在解题过程中需回忆概率的定义；例1第2问与例2均为求解两步概率的问题.待学生完成这两道题后再引导学生总结求解概率的一般方法：求解一步概率用列举法，求解两步概率用列表与画树状图法.

【环节三】调整——辨析试题，寻找规律出结论

［例3］（2022年江苏省无锡市中考题）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1、A2、A3、A4，女生分别记为B1、B2、B3.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.

（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是多少？

（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率.（请用画树状图或列表等方法写出分析过程）

问题6：基于例3中的问题，思考如何修改游戏规则实现等概率事件.

问题7：公平就是事件发生的概率为二分之一吗？请说明理由.

设计意图：通过练习巩固求解概率的方法.以判断事件是否公平的例子，引导学生理解事件发生的概率相等才能判断公平，而不能以事件发生的概率为二分之一作为判断的标准，从而突破这节课的教学难点.

【环节四】探究——深入剖析，区分差异思考点

［例4］在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验，统计发芽种子数，获得如表2所示的频数分布，请由表格估计该麦种的发芽概率是多少.

表2 种子发芽实验记录

问题8：概率与频率有什么关系？

设计意图：加深对频率与概率的理解、会用频率估计概率是专题复习的重点之一，因此以例4引导学生回忆频率与概率的关系，并构建如图3所示的知识框架.

图3 频率与概率的知识框架

【环节五】推进——反思提升，形成结构化理念

问题9：例4中包含了哪些我们学过的知识点？三步概率也可以用列表或画树状图的方法求解吗？

设计意图：引导学生结合具体实例寻找知识之间的联系，边分析题目边从横、纵方向构建知识框架.遵循启发式教学原则，自然地创设问题情境，启发学生思考三步概率应该如何求解.

［例5］小花、小绿、小牛通过“石头、剪刀、布”猜拳的方式决定谁去拿快递，问在一个回合中只有一个人胜出的概率是____________.

设计意图：求解复杂事件的概率是这节课的难点之一.遵循理论与生活相结合的数学教学原则，以游戏为情境吸引学生，使其主动探索三步概率的解法，从而突破难点.

（二）教学反思

上述教学环节的设计从TPACK的五个发展水平出发，环环紧扣、思路清晰，既能让人了解每一环节从哪里入手、如何实现教学目标的有效达成，也能结合技术手段的融合和多元的评价方式，解决常态化专题复习课所存在的问题.可见，以TPACK指导数学复习课教学，具有较强的系统性和易操作性，能给综合性较高的专题复习课提供可借鉴的范式.

综上，笔者立足于“概率”知识，对TPACK视角下的初中数学专题复习课进行了必要的解析和设计，限于篇幅，仅进行了定性分析，定量研究仍显不足.当前，为跟进新课程的理念，现代信息技术与数学课程正深度融合，广大教师需要持续而深入地进行探究，以使现代信息技术能更加有效地融入数学教学发生和发展的全过程.