VTHL运载器再入返回预设时间滑模控制

2023-06-28徐世昊关英姿浦甲伦韦常柱

航空学报 2023年7期

徐世昊，关英姿，浦甲伦，韦常柱

哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001

垂直起飞水平着陆（Vertical Takeoff Horizontal Landing，VTHL）可重复使用运载器因其低成本、高效天地往返的优势，得到了世界各航天强国的高度重视及广泛研究，迎来了快速发展的契机［1］。再入飞行段作为VTHL运载器任务流程中的重要环节，是保证可控回收、重复使用的关键，而姿态控制系统是安全可靠完成再入飞行的重要保障。VTHL运载器再入返回初始条件散布大，且再入过程需经历大幅姿态调整，对控制系统的收敛时间及动态响应特性提出了较高要求。运载器模型存在较强的非线性与耦合特性、模型参数不确定性强［2］，且再入飞行环境复杂、内外扰动大［3］，因而控制系统需具备强抗干扰能力与鲁棒性。

针对运载器再入返回姿态控制问题，增益调度［4］、反步［5-6］、轨迹线性化［7］、自抗扰［8］、滑模［9］等线性/非线性控制方法已得到了广泛应用。其中滑模控制因其响应速度快、控制精度高、鲁棒性强等优势，是解决参数不确定性与扰动影响下运载器再入姿态控制问题行之有效的途径之一［10］。

传统线性滑模控制仅能保证系统状态在无穷时刻收敛，难以满足模型参数不确定性与扰动影响下运载器姿态控制误差收敛速度与精度需求。因此收敛时间有界的滑模控制方法更适用于运载器的再入姿态控制。文献［11］设计了二阶滑模控制律，实现了再入姿态控制误差在有限时间内收敛。文献［12］考虑干扰力矩，设计了多变量自适应Super-twisting有限时间滑模控制律。文献［13］采用有限时间扩张状态观测器对再入过程中扰动量观测补偿，减弱了滑模控制的抖振问题。文献［14］基于新型快速终端滑模面，设计内外回路有限时间控制律，并引入一阶滤波器避免控制量奇异。上述有限时间滑模控制（Finite Time SlidingMode Control，FTSMC）方法虽可实现系统的收敛时间有界，但收敛时间上界仍与系统的初始状态相关。而VTHL运载器主动段制导控制累积误差易造成再入初始条件较大散布，导致系统收敛时间不可控，一定程度上限制了其应用。

为使收敛时间上界与系统初始状态无关，即实现固定时间收敛，文献［15］基于非奇异终端滑模及分数阶状态反馈设计控制律，使姿态控制误差在固定时间内收敛。文献［16］利用加权齐次性方法构造双幂次自治系统，基于此系统设计固定时间再入姿态控制律。文献［17］在滑模控制中引入固定时间收敛观测器（Fixed-Time Extended State Observer，FxTESO），在保证固定时间收敛的同时减弱了控制量的抖振。文献［18］采用精确鲁棒微分器与终端滑模方法设计固定时间控制律，并引入补偿函数避免控制量出现奇异。然而上述固定时间滑模控制（Fixed-Time Sliding Mode Control，FxTSMC）方法作用下，系统收敛时间上界由多个控制参数组成的复杂函数决定，难以由简单的函数关系直接确定，为设计工作带来了困难。

上述提到的滑模控制方法虽可实现系统收敛时间可控，但其上界仍未完全与系统初始状态无关，且与各控制参数间的关系不够明晰。然而对于VTHL运载器再入飞行过程，控制系统收敛时间的设计至关重要：过小的收敛时间易引发执行机构饱和，并易激发弹性振动等附加动力学行为；过大的收敛时间将影响系统动态响应性能，易造成控制误差累积，甚至影响水平着陆精度。因此，如何在模型参数不确定性与扰动影响下，使VTHL运载器姿态控制误差收敛时间上界与初始状态无关，形式简单且可由具明显意义的控制参数预先设定，即实现预设时间收敛，是一个值得研究的问题。

基于上述分析，本文重点研究VTHL运载器水平再入返回过程中，存在模型参数不确定和外部干扰的预设时间滑模控制（Predefined-Time Sliding Mode Control，PTSMC）方法，使得姿态角控制误差在预设时间内收敛，设计了一种新型预设时间滑模面，并在此基础上结合预设时间扩张状态观测器，设计VTHL运载器预设时间滑模控制律。基于Lyapunov理论证明闭环控制系统的预设时间稳定性，最后通过对比仿真验证所提方法的有效性。

1 VTHL运载器动力学与控制模型

VTHL运载器的动力学模型包括质心与绕质心的运动方程，其中质心运动方程可参见文献［19］，绕质心转动的动力学方程为

式中：ωb为姿态角速率向量，ωb=[p，q，r]T，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速率；ω×b为ωb的叉乘矩阵；Mc为气动舵面与反作用控制系统共同产生的控制力矩；ΔM为运载器本体产生的气动力矩及外部干扰力矩；I=ˉ+ΔI为转动惯量矩阵ˉ及ΔI分别为其标称与不确定部分。

绕质心转动的运动学方程为

式中：α、β、σ分别为攻角、侧滑角和倾侧角；γ为飞行路径角；ψ为航向角；θ和ϕ分别为经度和纬度；ωe为地球自转角速率。

将式（2）改写为

式中：姿态角向量为Ω=[α，β，σ]T；F的表达式可由（2）直接得出，在此省略；

对式（3）求导得：

定义姿态指令为Ωc=[αc，βc，σc]T，姿态控制误差为，则可得到误差动力学系统为

定义H=F1+ΔD-Ω̈c，建立控制模型为

假设1系统（6）中总扰动H的一阶导数Ḣ有界，且满足

本文目标为设计控制量Mc，使得在模型参数偏差及外界干扰影响下，姿态角Ω在预设时间Tp内跟踪制导指令Ωc，即

2 预备知识

2.1 符号说明

本文中，R表示实数集合，R+表示正实数集合，Rn和Rn×n分别表示n维实向量空间和n×n阶实矩阵集合；‖·‖表示向量的Euclidean范数，λmin(·)表示矩阵的最小特征值，min{·}表示给定集合中的最小值。

对于任意的a∈R+和x∈R，定义函数siga(x)=sign(x)|x|a，sign(x)表示符号函数，|·|表示绝对值。对于向量ν=[ν1，ν2，…，νn]T，定义signa(ν)= [signa(ν1)，signa(ν2)，…，signa(νn)]T，siga(ν)=[siga(ν1)，siga(ν2)，…，siga(νn)]T，Arctan(v)=[arctan(v1)，arctan(v2)，…，arctan(vn)]T，νa=

2.2 稳定性定义与引理

考虑自治系统：

式中：x∈Rn为状态变量，初值为x0=x(0)∈Rn；代表自治系统中可调参数；f：Rn→Rn为非线性函数。假设系统（8）的解为Φ(t，x0)，且平衡点为原点。

定义1若系统（8）的原点是全局渐进稳定的，且Φ(t，x0)在有限时间内到达平衡点，即Φ(t，x0)=0，∀t≥T(x0)，T(x0)：Rn→R+{0}为收敛时间函数，那么系统（8）的原点是全局有限时间稳定的［22］。

定义2若系统（8）的收敛时间函数T(x0)有上界，即∃Tmax＞0：∀x0∈Rn：T(x0)≤Tmax，那么系统（8）的原点是固定时间稳定的［23］。

定义3若系统（8）是固定时间稳定的，且存在参数̂及常数T＞0，使得∀x0∈Rn：T(x0)≤T，那么系统（8）的原点是预设时间稳定的，T为预设的收敛时间［24-25］。

定义4向量A=[a1，a2，a3]T与B=[b1，b2，b3]T的Hadamard积为

引理1针对系统（8），若存在一个径向无界且正定的Lyapunov函数V(x)满足如下关系：

式中：T＞0；0＜p＜1；aˉ＞0；＞0；k＞1；ζ=(k-1)/k。则系统（8）的平衡点是全局预设时间稳定的，且预设收敛时间为T。

证明考虑如下微分方程：

式中：ο＞0。

将式（11）转化为

对式（12）两侧同时积分，可得系统（8）的收敛时间函数为

引理2针对系统（8），若存在一个径向无界且正定的Lyapunov函数V(x)满足关系［26］：

式中：c＞0；0＜a＜1。则系统（8）的平衡点是有限时间稳定的，且收敛时间函数为

3 VTHL运载器预设时间滑模控制

基于姿态控制误差动力学系统（6），本节控制律的设计思路为：首先基于反正切函数设计新型滑模面，使状态量x1、x2在滑模面上预设时间收敛；随后设计预设时间观测器对扰动量H进行观测与补偿，以提高系统鲁棒性并减弱控制抖振；最终结合滑模面S与扰动观测值Z3设计控制律Mc，使滑模面在预设时间内到达，姿态控制误差x1、x2在预设时间内收敛。本文控制律的结构如图1所示。

图1 VTHL可重复使用运载器预设时间滑模控制框图Fig.1 Schematic diagram of PTSMC for VTHL reusable launch vehicle

3.1 预设时间滑模面设计

为使状态量x1、x2在滑模面上的收敛时间不依赖于初始状态，可由单一参数调节且滑模面对时间的一阶导数中不出现奇异项，设计预设时间滑模面为

定理1如果滑模面S=0，x1、x2将在预设时间Ts内收敛至原点。

证明不失一般性，考虑Si=ξ1i+由文献［27］，Si=0时有：

定义Lyapunov函数V1=，对其求导有

3.2 预设时间扩张状态观测器设计

传统滑模控制的抖振问题，是鲁棒增益项ηsign(S)引起的，该项可消除扰动量H的影响，但扰动越大时η设计得越大，控制量抖振越严重。本文采用预设时间扩张状态观测器（Predefined-Time Extended State Observer，PTESO）对H观测与补偿，此时ηsign(S)项仅需补偿PTESO对H的观测误差。PTESO设计合理时观测误差足够小，因此η也可以足够小，从而削弱控制量的抖振。同时PTESO可使观测误差在预设时间TE收敛，保证了控制系统整体的预设时间收敛性。

设计的PTESO为

式中：TE＞0为PTESO的预设收敛时间；ϖ(t，TE)为切换函数，0≤t＜TE时ϖ(t，TE)=1；t≥TE时ϖ(t，TE)=0；hi、gi(i=1，2，3)分别为0≤t＜TE及t≥TE时的修正项。

定义观测误差e1=Z1-x1，e2=Z2-x2，e3=Z3-H，则观测误差的动力学方程为

当0≤t＜TE时，PTESO的修正项设计［28］为

式中：μ=的选择需保证矩阵是Hurwitz的。hi(i=1，2，3)项可使ei(i=1，2，3)在0＜t≤TE内有界，并在预设时间TE收敛至0。

当t≥TE时，PTESO的修正项采用Levant的精确鲁棒微分器［29］：

定理2对于系统（6），采用式（19）所示PTESO，观测误差ei(i=1，2，3)在0＜t≤TE内有界，在t→TE时收敛至0，并在t≥TE内保持为0。对于0≤t＜TE及t≥TE内PTESO收敛性的证明，可分别参见文献［28-29］。

注1虽然观测器修正项g3中包含sign离散项，但后续在控制律设计中用于扰动补偿的信号为Z3，这一项是连续的。

3.3 预设时间滑模控制律设计

为利用引理1使滑模面在预设时间内到达，且避免控制量的奇异，基于滑模面（16）及观测器（19）设计VTHL运载器预设时间滑模控制律为

正弦补偿函数μι(x)表达式为

式中：ι＞0为小常数；易知μι(x)的引入可避免控制量的奇异。

注2由μι(x)的定义可知0时消除了Mc2中的负幂次项从而避免了ξ2=0且S≠0时控制量Mc的奇异问题。

定理3针对VTHL运载器控制模型（6），采用式（23）所示的控制律，姿态控制误差x1、x2将在t≤TE+Ts+Tc+ε(ι)内收敛，ε(ι)表示与ι相关的最小时间区域，且

证明t≤TE时，由定理2可知PTESO的观测误差是有界的，因而系统状态亦是有界的。t＞TE时Z3=H，定义Lyapunov函数V2=，对其求导并将式（23）代入可得

当S≠0时，将ξ1，ξ2∈R3构成的状态空间划分为2个区域：

当(ξ1，ξ2)位于R1时，从而式（25）为

进而由引理1知系统状态将在预设时间Tc+TE内到达S=0或进入区域R2。

当(ξ1，ξ2)位于R2时，由式（25）知S=0仍为系统的一个吸引子，仅需证明ξ2=0上除原点外的其他点均不是吸引子。

当ξ2=0时x2=0，且Λ为零矩阵，此时控制律（23）变为

对ξ2求导，并将控制律（28）代入可得

综上所述，S=0将在t≤Tc+TE+ε(ι)内到达，随后x1、x2将沿着滑模面（16）在t≤Ts+Tc+TE+ε(ι)内收敛至原点，定理3得证。考虑到，在ι设置为小量时，忽略(ξ1，ξ2)穿越R2的时间ε(ι)具有实践意义［30］，从而t≤Ts+Tc+TE。

3.4 控制参数设计方法

控制参数按作用机理可分为两类：一类影响姿态控制误差收敛时间，包括Ts、Tc和TE；另一类影响姿态控制误差收敛动态过程，包括滑模面（16）中κ、γ1、γ2，观测器（19）的li、ki(i=1，2，…，3)及L、v，控制律（23）的与η。

第1类参数设计方法，Ts决定姿态控制误差x1、x2在滑模面的收敛时间上界，Tc决定滑模面S趋近于0的时间上界，而TE决定观测误差Z3收敛至H的时间，三者之和决定x1、x2的收敛时间上界。选取较小的Tc与Ts虽有利于x1、x2的快速收敛，但控制量的需求较大；选取较小的TE虽可使扰动观测误差快速收敛，但会加剧观测器的“峰值效应”。此类参数应综合考虑以上因素适当选取。

第2类参数的设计方法，根据控制器的结构分为3个方面：

1）滑模面的设计参数：γ1、γ2均为正奇数且γ1＜γ2＜2γ1；γ1/γ2与辅助变量ξ1，ξ2在滑模面上的收敛速度正相关；在ξ1，ξ2动态特性相同时，增大κ可提高x1、x2的收敛速度。但收敛速度的提升会增大控制量，故需适当选取。

2）观测器的设计参数：li(i=1，2，3)与v的值越大，0＜t＜TE内观测器的“峰值效应”越显著，故需在满足观测器收敛条件的前提下减小这些参数。而t≥TE时观测器切换为Levant的鲁棒精确微分器，其参数L与ki(i=1，2，3)的选取规律可参考文献［29］。

3）控制律的设计参数：增大p与k可改变Mc2中幂次系数1-2ξp与1+2ξp，提高滑模面趋近速度；而αˉ、βˉ可改变幂次项前的比例系数，αˉ/βˉ的大小与滑模面趋近速度正相关，但趋近速度的提升会增大控制量，故需适当选取；ι可在避免控制量奇异的前提下设计为小常数；η可补偿有限采样频率下扰动的观测误差，可根据PTESO稳态观测精度设计。

4 仿真分析

运载器总体及气动参数见文献［31］。选取典型再入返回轨迹仿真分析：再入初始速度2 914 m/s，高度61.2 km，经度108.85°，纬度39.31°，弹道倾角-18°，航向角为107.44°；再入过程中运载器改变攻角调节升力，保持侧滑角为0，并适时翻转倾侧角调节侧向力改变航向，以调整轨迹实现再入返回。0～30 s攻角指令αc=(45-t/2)°，30 s后αc=30°；侧滑角指令βc=0°；倾侧角指令在0～20 s及30 s后为σc=0°，20～30 s为σc=5°，采用传递函数1/(0.01s+1)3的滤波器对αc、σc平滑处理。

仿真中设置运载器转动惯量偏差10%，大气密度偏差20%；外界干扰力矩的各分量均为(1+sin(t))×104N·m［32］。

4.1 控制律预设时间收敛性

以运载器俯仰通道为例，验证控制律的预设时间收敛特性。设定3组预设时间参数，分别为Tc=2 s、Ts=1 s，Tc=1 s、Ts=1 s及Tc=1 s、Ts=2 s，其他控制参数见表1。针对6组初始再入姿态角α0仿真，α0设置见表2，仿真结果如图2～图4所示。图中星形标记代表攻角误差α-αc的预设收敛时间Ts+Tc+TE；三角形标记代表俯仰通道滑模面的预设收敛时间Tc+TE。

表1 PTSMC参数值Table 1 Parameter values of PTSMC

表2 再入姿态角初始条件Table 2 Initial conditions for attitude angles in reentry phase

图2 Tc=2 s，Ts=1 s时仿真结果Fig.2 Simulation results with Tc=2 s，Ts=1 s

综合以上仿真结果，在不同α0的设定情况下，滑模面均可在Tc+TE内收敛，姿态控制误差与角速率均可在Tc+TE+Ts内收敛。对比图2和图3仿真结果，对参数Tc的调节可改变滑模面到达时间；对比图3与图4仿真结果，对参数Ts的调节可改变姿态控制误差与角速率在滑模面上的收敛时间，从而验证了本文控制律的预设时间收敛特性。

图3 Tc=1 s，Ts=1 s时仿真结果Fig.3 Simulation results with Tc=1 s，Ts=1 s

图4 Tc=1 s，Ts=2 s时仿真结果Fig.4 Simulation results with Tc=1 s，Ts=2 s

4.2 控制性能对比

为进一步验证将本文所提出控制律的性能，与文献［32］中基于鲁棒自适应增益的FTSMC及文献［17］中基于FxTESO的FxTSMC进行对比仿真。VTHL运载器姿态角初值设置为α0=47°，β0=2°，σ0=2°，姿态角速率初值均为0(°)/s。综合考虑控制力矩幅值与姿态控制误差收敛时间要求，设置Tc=2 s，Ts=2 s，其他控制参数见表1。调节FTSMC与FxTSMC控制律参数使得3类控制律的收敛时间相近，具体参数设置见表3。为抑制FTSMC的抖振现象，采用双曲正切函数代替sign函数。

表3 FTSMC与FxTSMC参数值Table 3 Parameter values of FTSMC and FxTSMC

评估3类控制律性能的指标及选取依据为

1）均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）指标可评估再入飞行时间段内的平均控制误差：

2）时间绝对误差积分（Integral Time Absolute Error，ITAE）指标再入过程中VTHL运载器可用的修航时间逐渐缩短，姿态控制误差x1对终端精度的影响逐渐提高。ITAE指标考虑了以上关系，将时间τ作为|x1i(τ)|(i=1，2，3)的权重，以评估再入飞行时间段内的累积控制误差。

6自由度对比仿真结果如图5～图11所示，图中，对比方法1代表FTSMC，对比方法2代表FxTSMC。

图5 不同控制律作用下姿态角变化曲线Fig.5 Time histories of attitude angles with different controllers

由图5中姿态角变化曲线及图6中姿态角速率变化曲线可知，相较于其他两类控制方法，PTSMC作用下姿态控制系统响应速度更快且无振荡，姿态控制误差收敛时间约3 s。由图7可知PTSMC的滑模面收敛速度更快，收敛时间约2 s。说明PTSMC可通过幂次反馈项Γ1、Γ2加快滑模面与姿态控制误差收敛速度；并利用PTESO对扰动的观测与补偿，避免鲁棒自适应增益系数调节过程导致的响应振荡，使控制系统动态性能更佳。

图6 不同控制律作用下姿态角速率变化曲线Fig.6 Time histories of attitude angle rates with different controllers

图7 不同控制律作用下滑模面变化曲线Fig.7 Time histories of sliding mode surfaces with different controllers

由图8中扰动观测值与观测误差曲线，观测误差可在TE=1 s时收敛，且观测误差的“峰值效应”较FxTESO小。说明了PTESO可利用修正项hi(i=1，2，3)实现观测误差的预设时间收敛，并减小FxTESO幂次修正项切换带来的观测误差超调，从而进一步提升了控制系统动态性能。同时观测误差稳态值可由修正项gi(i=1，2，3)保持在0附近，保证了控制系统的稳态。

图8 扰动观测值与观测误差变化曲线Fig.8 Time histories of disturbance observation values and observation errors

由图9中控制量变化曲线，PTSMC的控制量没有出现奇异，说明了正弦补偿函数的有效性。FTSMC在滑模面未到达时（0～2 s），鲁棒自适应增益的调节使控制量抖振；在滑模面到达后为克服外部扰动，鲁棒自适应增益仍较大，导致控制量抖振依然较PTSMC明显，说明了PTESO对扰动的观测与补偿可减弱控制量抖振。