纸张对折的计算

陈新龙

一張纸可以对折多少次呢？是否可以无限对折下去？相信很多同学可能都会有这样的疑惑，其实早在2011 年，美国得克萨斯州圣马克中学的师生们将一张近4 公里长的厕纸对折了13次，为完成实验，他们把场地定在了麻省理工大学200多米长的走廊里，经过四个多小时对折13 次后，厕纸达到了8192 层。

纸张是有厚度的，在折叠一定次数后，纸的厚度会超过宽度，这时纸张就无法继续折叠了。每次对半折叠使得纸的厚度加倍，所以厚度为t 的一张纸折叠n 次的厚度是2nt。与此同时，每折叠两次都会使宽度减半，因此，n 次折叠后，宽度从原来的w减少到（1/2）^（n/2）w。当纸的总厚度等于它的宽度时，就不能再折叠。实际生活中，一张A4 纸在对折6 次以后就难以继续对折了。

假设有一张无限大且可以无限折叠的纸，通过数学计算来分析这张纸对折以后的厚度变化。纸张厚度为0.1 毫米，对折一次以后厚度0.2 毫米，对折两次0.4 毫米。由于纸张厚度较小，要对折15 次才能突破3 米。但是随着对折次数的增加，厚度增加的速度也变得越来越快，对折20 次厚度超过100 米。到27 次时超过13000 米，轻松超越了珠穆朗玛峰的高度。达到37 次时达到13742 千米，这就超过了地球的直径。一张纸经过不断的对折，就能够突破人类已知宇宙的边界，这就是指数爆炸的魔力。

下面通过Scratch 来模拟纸张对折的数据，看看需要对折多少次可以超过地月的距离38 万千米。

为了能够更加直观地查看统计，创建三个列表，分别是“对折的次数”“纸张的厚度”“对折后的高度”。每对折一次，对折次数加1，纸张的厚度翻倍（2^n）。假设纸张的高度为0.1毫米=0.0001米，那么对折的高度也就是纸张的厚度乘0.1毫米。第一次对折，高度为0.0002，第二次对折，高度为0.0004，第三次对折，高度为0.0008，在对折15 次后，纸张的高度可以达到3 米以上了，如果可以对折42 次，其高度近似等于43 万千米，就可以到达月球了（如图1）。

设置三个变量用于存储对折次数、纸张厚度，以及对折后的高度，并赋予初始值，当程序开始运行后，首先是删除三个列表中的所有数据，其次询问用户想达到的高度（单位是米），然后程序进入重复循环的过程，直到对折后的高度超出了用户输入的高度结束循环。在循环过程中，会依次向三个列表中逐行添加数据，对折次数逐步递增（1，2，3，4，5……），纸张厚度是成倍数递增（2，4，8，16，32，2^n）。

Scratch 中不能直接表示2^n，要借用e^ 和in 转换一下（如图2）。

大家可以回忆一下棋盘麦子、汉诺塔等，在算法上有哪些相似的地方。