大胆猜想，小心求证

潘越

摘 要：在从数学史、数学经典问题中找寻猜想验证的素材时，发现了“莫比乌斯环”。它是一种典型的拓扑图形，学生对其剪、裁、折之后的状态较难想象，必须通过实验来求证自己的猜想，从而经历猜想、求证、反思、提升的全过程。基于素材本身的特性，以及求证的方式契合小学生的思维水平，设计了《莫比乌斯环》拓展课，展示猜想与求证的思维力量。

关键词：小学数学；猜想；求证；莫比乌斯环

弗赖登塔尔说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维作出各种猜想，然后加以证实。”在课堂中，教师也常引发学生提出猜想并尝试求证，可有时发生得并不自然：学生往往已知结果，要么假装猜想，要么佯装举几个例子，这样少了猜想的兴趣，也没了求证的惊喜。在实践中，如何寻找到一个合适的内容，既可以充分激起学生猜想的欲望，又便于开展求证的活动，这是困扰一线教师的难题。基于此，我们专门设计了一节《莫比乌斯环》拓展课。

一、课前思考

在从数学史、数学经典问题中找寻素材时，发现了“莫比乌斯环”。它制作简单，就是把一根纸条一端翻转180°后，两端粘接起来做成的纸带圈，但它有着神奇的特性，并在生活和生产中广泛应用。这恰好为学生的大胆猜测提供了可能。莫比乌斯环是一种典型的拓扑图形，学生对其剪、裁、折之后的状态较难想象，必须通过实验来求证。

学生的猜想和求证过程如果不够顺利、难以精彩，很大一部分原因是受限于他们的思维水平。在整个小学阶段，学生逐步从形象思维过渡到抽象思维，但仍具有很大的“具体性”，要开展抽象的演绎推理是比较困难的。于是，就有了课堂中大量通过举例来验证的合情推理。关于“莫比乌斯环”的猜想，都可以通过实验来求证，方便操作又直观可见。

二、课堂实录

【片段1】 尝试与感受：初识莫比乌斯环的形態

（出示小蚂蚁在普通纸环中吃面包的视频。）

师 小蚂蚁如果在纸环上一直爬，在不翻过边缘的情况下能吃到面包吗？

生 当然不能，小蚂蚁和面包在不同的面上。

生 蚂蚁在外面，而面包在里面，不翻过边缘肯定吃不到。

师 你能制作一个纸环，让小蚂蚁在不翻过边缘的情况下吃到面包吗？

生 普通的纸环，就是两头对接。我就先做一个普通纸环，然后把纸条的一端拧一圈（翻转180°）再对接，蚂蚁就能吃到面包了。

生 我在两端对接的时候，把蓝色面和白色面接到一块儿，这样就把两个面打通了，蚂蚁就能吃到面包了。

师 真厉害！刚刚就有同学说了，我们制作的环叫作“莫比乌斯环”。它是由德国数学家莫比乌斯发现的。一天，他在玉米地里，看到了玉米叶的旋转曲线，按照这样的曲线做成了纸带，就有了莫比乌斯环。今天，我们就一起来探索它的神奇。

［教学思考：本节课从小蚂蚁吃面包的情境引入，提出一个挑战，充分引起了学生研究的兴趣。学生在动手操作中初识莫比乌斯环。积累的活动经验，为之后的学习打下基础。］

【片段2】 比较与深思：理解莫比乌斯环的特征

（学生4人小组合作完成任务。内容如图1所示。）

做一做：制作普通纸环和莫比乌斯环各一个。

想一想：两种环有什么区别？在莫比乌斯环中，蚂蚁为什么能吃到面包？

1.在对比中理解两个面如何变为一个面

生 我们制作了普通纸环和莫比乌斯环。它们的制作过程不同：普通纸环直接将两端粘上，莫比乌斯环是将纸条旋转了一圈之后粘上的。

生 我们发现普通纸环有两个面，而且它们没有交集。但我们在莫比乌斯环上画了蚂蚁吃到面包的轨迹，蚂蚁先在白色的面上爬，爬着爬着，到了交界处就会爬上蓝色的面，这两个面是联通的。

生 我想给大家总结一下：普通的纸环有两个面，而莫比乌斯环把两个面变成了一个面。

师 只有这一种做法吗？

生 我感觉莫比乌斯环有很多很多种，不管怎么拧，只要蓝色的面和白色的面相接就可以了，拧三圈、五圈、七圈……只要是奇数圈就可以。

生 对。我们组尝试了拧两圈的，白色面就又和白色面相接了。这样，蚂蚁还是只能爬一个面。拧三圈可以是因为蓝色面和白色面又相接了。

师 讨论得真充分！是的，只要是奇数圈，都符合莫比乌斯环的定义，它的本质就是将两个面联通。我们完成了一个看似不可能完成的挑战！

［教学思考：莫比乌斯环的神奇源自它的特征——只有一个面。在这个环节中，学生通过做、画、比等方式，充分经历、体验、感受、理解这一特征。］

2.在生活中寻找莫比乌斯环的影子

师 刚刚有一个同学提到，生活中好像做不出来莫比乌斯环，但我们就真实地做出了这样的纸环。生活中有莫比乌斯环的应用吗？

生 我们在游乐场中玩的过山车会做成莫比乌斯环，这样比较刺激！

生 莫比乌斯环有旋转，所以更刺激。但我想，这不仅仅是因为刺激，莫比乌斯环能转完一圈之后又回到起点，下一次可以接着玩，比较省事。

生 我不同意。那做成普通环，像小蚂蚁爬的那样，也能回到起点呀！

生 我觉得做成莫比乌斯环比较划算：都能回到起点，普通环只走了一面的路程，但莫比乌斯环能绕两面的路程。用同样的材料，莫比乌斯环能走的路程是普通环的两倍。

师 “划算”这个词用得真好！（出示图2）不仅仅是过山车，还有工厂中传送用的皮带也会做成莫比乌斯环。

生 这样可以提高传送带的使用寿命。普通环只能磨损一面，很快就坏了，莫比乌斯环能让两面均匀磨损，使用寿命是普通环的两倍。

生 我还发现，如果这样看，莫比乌斯环特别像数学中“无限”的符号。如果小蚂蚁在这个环里一直爬，会无穷无尽地一直循环。

师 真好！看来我们的生活中到处都充满了数学的元素。（出示图3）“可回收”的标志我们也随处可见，你现在能在其中看到莫比乌斯环的影子吗？

……

［教学思考：学生在一开始交流莫比乌斯环在生活中的应用时，话题是狭窄、单一的。当对过山车做了充分的讨论之后，他们豁然开朗：数学就在身边。这是拓展课可以带给学生的新视角。学生在讨论中，也进一步理解了莫比乌斯环只有一个面的特点。］

【片段3】 探究与深化：感受莫比乌斯环的神奇

1.尝试大胆猜想与小心求证

师 将莫比乌斯环沿着中线剪开，会怎样？

生 我猜会变成两个环。

生 我感觉应该变成一个更大的莫比乌斯环。

生 我想可能是两个套在一起的环。

生 我感觉很难想象，我们可以动手去求证一下。

（学生动手求证并交流。）

生 真的是一个大的莫比乌斯环。

生 我怎么感觉不太像莫比乌斯环呢？旋转得有点多，有点像我们之前研究的拧两圈后的环。

师 那怎么可以验证它是不是莫比乌斯环？

生 我们可以从一个点画起，看能不能绕完一圈。

生 我验证过了，可以从一个点画完回到这个点。而且，我看这个接口也是蓝色和白色接在一起的。所以，应该就是莫比乌斯环。

生 我也验证了。但大家看，虽然从一个点画了一圈又回到了这个点，但把纸条翻一下，我们可以看到有一个面没有画到。而且，这个时候不能再看接口了：被剪开之后，有两个接口，不准确了。

生 和我们刚刚的猜想都不一样，太神奇了。

［教学思考：对一个较为经典的拓扑模型，学生依据经验与感觉提出了不同的猜想。此时，学生是主动要求并且迫切想要动手求证的。剪开莫比乌斯环后，学生又一次根据经验进行猜测，求证后纷纷惊叹，看着像莫比乌斯环的纸带竟然只是多拧了一圈的普通纸环。猜想与求证的过程一波三折，结果更是大相径庭。这给学生带来较强的冲击，为建立科学严谨的“猜想—求证”思维模式打下了很好的基础。］

2.在反思中开启更为丰富的探索

师 同学们，再一次感叹莫比乌斯环的神奇之后，我们简单回顾一下这节课的探索。从开始尝试制作到了解莫比乌斯环，寻找生活中的应用，随后又进行实验，能聊聊你的收获吗？

生 我觉得刚刚的实验太让我印象深刻了，猜想之后一定要通过实验来求证。

生 对，尤其是最后证明它根本就不是一个莫比乌斯环。我们的求证要严谨，不能根据感觉，而要有理有据。

生 我之前一直以为莫比乌斯环是一个离生活很远的模型，没想到它竟然有这么多的应用。我感觉数学和生活的联系很紧密。

师 是呀！其实我们的学习就是这样，从猜想开始，再去求证，然后反思，就有了提升，又可以开始新的猜想，就像莫比乌斯环一样不断地前进。下课铃声响起不是我们研究的终点，甚至可以说只是我们研究的起点。关于神奇的莫比乌斯环，你还想提出什么样的猜想？

生 把一分为二得到的大环再一分为二呢？

生 如果把莫比乌斯环沿着三等分线剪开呢？

生 四等分线呢？

生 什么情况下能剪出莫比乌斯环，什么情况下会剪出普通环，有规律吗？

生 将多个莫比乌斯环连在一起，一块儿剪，会得到什么？

……

［教学思考：适时停下回顾反思，学生的感悟是充分的，收获是巨大的。将研究和学习的过程嵌入莫比乌斯环，帮助学生建立“猜想—求证—反思—提升”的研究范式。］

三、课后反思

（一）鼓励大胆猜想：乐于猜、敢于猜、善于猜

猜想是创造性思维的起点，基于已有的经验提出合理的猜想，能够提升学生的数学思维和创造力。本节课给予学生充分的猜想空间，每一个环节的活动都从学生的猜想开始。

尝试与感受环节，引导学生思考：小蚂蚁在不翻过边缘的情况下，能吃到面包吗？鼓励学生借由对普通纸环的认识突破常规思维，改变纸环的形状。学生的思维得以发散，一些有趣的想法由此产生。

比较与深思环节，基于已经制造成功的莫比乌斯环，引导学生猜测：要使小蚂蚁吃到面包，只有一种做法吗？促使学生萌生“拧两圈”“拧三圈”甚至“拧更多圈”的想法，从而更加深刻地理解莫比乌斯环将两个面合成一个面的特征。基于研究的经验，畅想“生活中有莫比乌斯环的应用吗”。学生的生活经验被激活，思维火花被点燃，创新的热情也随之唤醒。

探究与深化环节，提出：将莫比乌斯环沿着中线剪开，会怎样？学生在感悟莫比乌斯环的神奇后，提出了不同的猜想，乐于猜，敢于猜，也更善于猜。在猜想的同时，早已按捺不住想要求證的欲望。

猜想活动贯通整个课堂，研究的知识与方法旁通曲畅。课堂的最后，学生意犹未尽，他们的猜想将从课堂延伸至课后。

（二）引导小心求证：勤动手、讲依据、会推理

小学阶段对莫比乌斯环奥秘求证的方法，基本离不开动手操作。本节课提供给学生动手实验的纸条是教师精心设计的：纸条的两面是不同的颜色，一面是蓝色，另一面是白色，面包和小蚂蚁分别在正反两面。这为学生提供了研究的抓手以及语言描述的辅助。普通环的接口处，蓝色面和蓝色面对接，白色面和白色面对接，故有正反两个面；而莫比乌斯环，蓝色面和白色面交叉连接，打通两个面的过程在学材中有了直观的体现。也正是因为学具提供的抓手，学生才自发有了对莫比乌斯环的拓展研究，意识到拧奇数圈都可以将纸环的两个面打通。这就是莫比乌斯环的本质。

随后求证将莫比乌斯环沿中线剪开的过程，更是一波三折。剪开后的图形看起来像是一个新的莫比乌斯环。但到底是不是呢？在大胆猜想的引领下，学生动手操作，将上一个环节现场习得的方法迁移至此；小心求证的过程讲依据，随后通过推理发现这个图形是拧了两圈的纸环，不符合莫比乌斯环的特征。学生经历了完整的猜想、求证的过程，积累了数学活动的经验，体验了数学学习的思想与方法，自然地树立了“大胆猜想，小心求证”的科学探究态度。

本节课的探索与深化环节，既形成了一次具体的“猜想—求证”实验范式，同时引导学生停下来回顾反思，将研究和学习的过程嵌入莫比乌斯环中，感悟学习的过程常常是从猜想开始再去求证，在此基础上反思、提升。

一节课的学习绝不是研究的终点，甚至应是研究的起点。这一节课对莫比乌斯环的研究也只是打开了一个大门。课后，鼓励学生以小组为单位提出个性的猜想，记录小组的研究过程并形成研究报告，在班级中汇报展示。从这节课不难看出，学生已经初步树立了“大胆猜想，小心求证”的科学探究态度，也逐步形成了“总想发现点什么”的创新意识与科学探究的习惯。拓展课甚至每一节数学课，都应该带给学生想要钻研、热爱思考的习惯，促进他们更有力地学。17-18，24-25，27-31，33，35-36，39，51，69，75，78-79，83-85