非均布质量对偏心旋转环状周期结构自由振动的影响

王世宇，王一凡，朱殿华，魏振航

非均布质量对偏心旋转环状周期结构自由振动的影响

王世宇1, 2，王一凡1，朱殿华1，魏振航1

(1. 天津大学机械工程学院，天津 300350；2. 天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300350)

工程实际中的各类旋转机械广泛应用旋转环状周期结构．为了提升动力学性能，该类结构通常采用对称构型设计．但是，由于存在制造和安装误差，对称设计的周期结构通常呈现偏心形式的非对称状态，从而降低旋转机械性能．本文研究了该类结构的质量周期分布特征对固有频率分裂和动力稳定性的影响．为此，首先建立了惯性坐标系和结构随动坐标系，计算了该结构在自转和公转情形下的能量，利用Hamilton原理得到解析形式的动力学方程；然后，采用Galerkin方法和经典振动理论获得特征方程以及特征值，根据特征值预测了质量个数以及振动波数等不同基本参数组合对动力学特性的影响，揭示了基本参数与固有频率分裂及动力稳定性之间的映射关系；最后，给出了附加质量拓扑结构对固有频率分裂影响的数值算例，然后分别在稳定域和不稳定域中选取计算参考点，利用数值计算求解了时域响应，根据响应的特征验证了稳定性预测结果特别是解析结果的正确性．结果表明：当采用不同附加质量拓扑结构时，固有频率分裂和稳定性规律发生明显的变化；当质量分布参数与振动波数满足所提解析关系时，可有效抑制固有频率分裂，且调整基本参数组合可有效改善系统的动力稳定性．研究结果为该类旋转环状周期结构的振动控制提供了一定的借鉴．

旋转环状周期结构；偏心运动；特征值；固有频率；稳定性

为了实现传动、驱动、承载和能量转换等功能，工程实践中广泛应用各类旋转部件，例如齿轮传动、滚轮轴承和旋转电机等．该类部件通常使用对称设计的定轴旋转环状构件，因而具有结构稳定、受载均匀和视觉美观的特点[1]．但考虑应用场合对运动形式的特殊要求[2]以及难以避免的制造和安装误差，该类结构不再做理想的定轴转动，而呈现偏心运动状态．在高速工况下，偏心旋转产生显著的离心力，进而引发振动和噪声，降低工作效率，甚至缩短服役寿命．本文以质量周期分布的偏心旋转环状周期结构为对象，研究不同参数组合下的固有频率分裂及稳定性规律．

在早期研究中通常假定环状周期结构做理想的定轴转动．Xi等[3]研究了圆柱壳振动陀螺的稳定性，并分析了固有频率分裂对振动偏移量的影响．针对由多个正交弹簧和圆环形成的周期结构，Wu等[4]采用微元法建立了数学建模，研究了弹簧刚度、数量及分布位置对固有频率的影响．Yoon等[5]研究了微型圆环陀螺振子的动力学特性，分析了结构参数与振动模态及输出特性之间的关系．Huang等[6]基于行波法深入研究了平面旋转圆环的自由振动特性．Zhang 等[7]研究了均布质点环状结构的面内振动问题，探讨了模态阶数、波数与质点相对位置等参数与固有频率分裂及振型耦合之间的关系．林杰等[8]利用波动法研究了加速旋转薄壁圆环的线性振动特性．

为准确描述旋转部件的动力学行为，还有文献研究了偏心运动对振动行为的影响．Wu等[9]在考虑离心力与科氏力的同时，计入偏心旋转产生的不均匀初始应力，深入研究了圆柱薄壳的颤振失稳现象．Liu等[10]采用多尺度法研究了偏心旋转复合材料层合圆柱壳的非线性振动，揭示了偏心率等几何参数对动力学行为的影响规律．林远东[11]针对高速偏心机械系统进行了振动分析，揭示了系统参数对结构振动的影响规律．应当指出的是，迄今关于偏心旋转环状周期结构方面的研究，还鲜有文献提及．

本文研究了偏心运动对非均布附加质量旋转环状周期结构的动力学特性的影响．首先利用Hamilton原理及Galerkin方法建立无量纲动力学方程；然后采用经典振动理论求解特征值，分析不同参数组合对固有频率分裂及稳定性的影响规律；最后，采用数值计算验证解析结果的正确性．

1 数学建模

1.1 模型描述

在坐标中，假设第1个附加质量的角坐标1,1＝0，即该质量位于轴上，则第组第个附加质量的角坐标可表示为θ,＝＋(－1)，其中＝ 2π(－1)/1．

图1 非均布附加质量偏心旋转环状周期结构

根据运动学关系可知，周期结构的自转与公转速度满足

式中为偏心率．

将附加质量视为质点，因此分布规律可描述为

式中：0为单个附加质量大小；1为分组数；2为每组个数．

1.2 能量表达

1.2.1 应变能

该结构做偏心旋转运动时产生的势能包括离心力引起的应变能和弹性振动引起的应变能．为求解这两种势能，可将点处产生的自转和公转离心力表示为

式中为环状结构的横截面积，＝．

根据三角函数关系，点的切向与径向合力分别为

轨道对环状结构的支反力为

对环状结构上某点施加径向、切向载荷后，引起的切向内力分布[12]分别为

基于叠加原理，将圆环的离心力分为(0，)和(，2π)两类，则点的切向内力分布可表示为

式中F、F、sv分别表示径向离心力、切向离心力和轨道支反力引起的切向内力分布，即

联合式(2)～(7)可得

在平面应变状态下，点的切向应变[13]可表示为

式(9)可整理为

由此可得离心力及轨道支反力引起的应变能为

圆环弹性振动引起的应变能为

式中为主惯性矩，＝3/12．

综上所述，系统的总应变能为

1.2.2 动 能

在图1所示坐标系下，点的位置矢量可表示为

地方政府官员开通微博，往往面对着个人行为和公职身份之间的矛盾，基于对这种身份特殊性的顾虑，许多官员在微博上不敢说话，不敢发表太多个人意见，怕被网友批评指责。但这种态度更容易引起人们的不满。在网民心中，说总比不说要强。有人指出，“党政机关和官员微博的开设，就说明了相关机构和领导愿意将自己的信息公开于网上，这本身就会赢得网民的好感。”[7]

式中

点的绝对速度可表示为

式中：c为点相对随动坐标系的速度(相对速度)；r为随动坐标系相对惯性坐标系的速度(牵连速度)．经计算可得

联合式(16)、(17)可得

因此环状周期结构的动能为

式中ρ＝＋/()．

对于薄环有≈，因此式(19)可改写为

2 数学模型

将式(13)、(20)代入式(21)中

其中

根据奥斯特洛格拉斯基方程，上述变分极值问题满足

其中

3 模型求解

式中x()、y()、x()和y()均为关于时间的实 函数．

定义内积运算

将式(26)代入式(25)中，然后与einθ做内积并分离实、虚部．由于本文仅考虑自由振动，因此忽略方程的右端项，经整理可得

其中

式中：为质量矩阵；为陀螺矩阵；为刚度矩阵．且有

根据三角级数以及等差数列的求和特点，可对2和3的取值进行分类讨论，具体结果如表1所示.

表12和3在不同参数组合下的取值

Tab.1 C2and C3for different parameter combinations

为预测参数与动力学特性之间的映射关系，可利用式(29)计算特征值．首先假设

则有

假设()＝e，其中为系统的特征值，为特征向量．由此可知特征方程为

表2给出了环状周期结构的基本参数，利用式(32)及表1中的参数组合，可分析不同质量分布对偏心旋转环状结构的动力学特性的影响．如下文未特别说明，偏心率均取＝4/3，质量比均取*＝0.1．

表2 环状周期结构基本参数

Tab.2 Specifications of a ring-shaped periodic structure

由于参数组合影响式(29)中的2和3的取值，因此会影响动力学方程的具体形式，同时必然影响动力学特性．根据经典振动理论，当特征值实部为0时，系统保持稳定；当特征值实部大于0时，将出现不稳定现象，若同时虚部为0，系统呈现发散不稳定状态；若同时虚部不为0，则系统出现颤振不稳定．因自转和公转速度影响固有频率分裂，为单独考虑附加质量拓扑结构、排除转速的影响，本文着重讨论零转速时附加质量的拓扑结构对固有频率分裂的影响．下面根据表1中的3种情形分析基本参数对动力学特性的影响．

4 结果分析

根据表2中的基本参数，可以计算系统的特征值，如图2～7所示．图中不同线型表示不同含义，其中带标记的实线为特征值的虚部，无标记实线为特征值的实部．此外，图中固有频率较低的一阶模态为 系统的弯曲振动，固有频率较高的二阶模态为延展 振动，且两种模态在转速不为0时均会产生前后 行波[16]．

4.1 情形1(2n/N1≠整数，C2＝0，C3＝0)

图2描述了波数和周期分布参数对固有频率分裂及稳定性的影响．可以看到，当2/1≠整数，两种模态的固有频率在转速为零时均不分裂．

图2 2n/N1≠整数时特征值随公转转速变化规律

对于稳定性，因2和3取值的限制，附加质量的组间夹角不影响频率分裂及稳定性，因此可整体考虑12的影响．当波数为1时，不论12如何变化，整个转速区间特征值的实部均为零，如图2(a)所示．因此，＝1时系统保持稳定，且稳定性与附加质量的个数无关．但是，根据振动理论可知，随着附加质量个数的增加，二阶模态固有频率逐渐减小，到达临界点需要的转速越来越低，这就解释了图2(b)中二阶模态前行波折点相对图2(a)发生前移的原因．当波数为2时，系统在高、低转速区均出现小范围的发散不稳定域，且随着附加质量数增加，不稳定域缩小，同时向较低转速区转移．当波数取3时，也有类似情况．表明当波数取2和3时，增加附加质量个数可有效抑制系统的发散不稳定．

4.2 情形2(2n/N1＝整数，nφ＝k1π，C2＝m*N1N2， C3＝0)

这种情形与2/1≠整数时类似，因此无需讨论附加质量组间夹角的影响，只要满足分布要求即可，12可整体讨论．

1)＝0，＝0，2/1＝0

当波数为0时，圆环呈现延展振动形态，此时2/1恒为整数，且恒为0．根据图3可知，当转速为0时，二阶模态固有频率发生分裂．当附加质量个数逐渐增加时，不稳定域向低转速区收缩，一阶模态的前后行波发生交叉重合现象，即在该交叉点对应转速下，固有频率不产生分支．由图3(c)和(d)可知，当*＝0.05且附加质量个数较少时，一阶模态的前后行波呈现发散状态，不发生交叉现象，且中低转速不稳定域相对于*＝0.1有所扩大．当附加质量个数增大到一定程度(12＝16)时，一阶模态的前后行波再次发生交叉现象．

图3 n＝0时特征值随公转转速变化的规律

经对比可知，一阶模态的前后行波是否交叉及不稳定域大小与总附加质量有关，即与1、2和*均相关．当＝0时，随着12和*不断增大，交叉点对应的转速逐渐降低，同时中低转速不稳定域逐渐 缩小．

2)＝π/3，＝3，＝π

根据此时的参数条件，有(12)max＝2π/＝6，且同时存在延展和弯曲振动．由图4可知，系统在转速为零时，两种固有频率均发生分裂，同时在整个转速区间几乎不存在稳定域．

图4 n＝3时特征值随公转转速变化的规律

4.3 情形３(2n/N1＝整数，nφ≠k1π，C2＝X，C3＝Y)

在这种情况下，根据式(29)可知，附加质量的组间夹角可能影响固有频率分裂及稳定性规律．下面根据组间夹角，讨论不同周期参数组合下系统的动力学特性．

4.3.1 组间夹角保持不变

讨论波数取2、3和4时附加质量的分组数1和每组个数2对频率分裂和稳定性的影响，取＝π/24，则(12)max＝2π/＝2π/(π/24)＝48．

图5 φ＝π/24时特征值随公转转速变化的规律

如图6所示，取更高波数时，仍有与＝2时相同的稳定性规律．对比图6(a)、(b)可知，当分组数相同时，波数越高，稳定域发生突变所需的附加质量总数越少．另外值得注意的是，若取稳定域发生突变时的参数组合，在转速为零时两种固有频率均发生分裂，且波数越高分裂越明显．

图6 较高波数时特征值随公转转速变化的规律

图7描述了对于特定的波数和分组数，每组个数对固有频率分裂和稳定性的影响．随着每组个数的逐渐增加，分裂程度呈现类周期特征．进一步分析可知，当2＝1π/时固有频率不分裂，且在这些特殊位置，系统在转速较低时的稳定性最好．进一步计算可知，该现象在波数取3和4时表现得更为显著，系统在2＝1π/时的稳定域扩展到整个转速区间．因此，在工程实际中应优先选用这些位置处的参数组合，这为达到稳定域突变条件后2的选取提供了参考．

图7 不同N2下系统的动力学特性

下面以参数组合{＝3，1＝3，2＝4，＝π/24}为例研究偏心率、转速和单个附加质量大小对系统稳定性的影响，将特征值实部大于零的区域投影到-av平面坐标系中绘制出二维图，具体结果如图8所示．可以看出，以附加质量等于1为分界线，两侧出现相似的不稳定域分布规律．当附加质量小于1时，系统在较高偏心率、中高转速区保持稳定，而且不稳定域主要集中在低转速区．进一步分析可知，当偏心率大于一定数值时，低转速区开始出现稳定域并逐渐扩散到更广的转速区，这是因为偏心率的增大导致自转速度v(v＝av)增大，自转引起的刚化效应有效抑制了不稳定性；另外，随着单个附加质量大小的增加，自转产生的刚化效应增强，系统在整个转速区间的稳定域逐渐扩大．特别地，当附加质量等于1时，根据前文无量纲赋值可知，此时单个附加质量大小等于圆环质量，由图8(c)可以看出，取较高偏心率时，不稳定域几乎遍布整个转速区间且占比较大，因此工程实际中应避免这类参数组合．当附加质量大于1时，如图8(d)、(e)和(f)所示，系统呈现与*＜1时相似的规律，在取较高偏心率、中高转速的参数组合时保持稳定，且随着附加质量增加该类稳定域扩张到更小偏心率和更低转速的参数组合处．

图8 不同偏心率下不稳定域随公转转速变化规律

4.3.2 组间夹角变化

取基本参数{＝3，1＝3，2＝4}，讨论组间夹角发生变化时系统的动力学特性．此时组间夹角需满足≤2π/12＝2π/12＝π/6．

图9 不同φ下系统的动力学特性

图10 φ对系统稳定性的周期性影响

对于稳定性而言，当2/1≠整数时，在整个转速区间的稳定性明显优于2/1＝整数时，此时增大附加质量可有效抑制不稳定性；当2/1＝整数且＝1π时，仅在波数为0时具有较好的稳定性；当2/1＝整数且≠1π时，若组间夹角固定，不同波数下系统的稳定性规律相似，选取合适的附加质量分组数及每组个数可提高稳定性；若组间夹角在一定范围内递减，系统不稳定性将出现周期变化，此时选取合适的组间夹角可有效抑制不稳定性．

5 数值验证

5.1 固有频率分裂抑制实例

表3给出了附加质量分组数、每组个数、组间夹角及波数等不同参数匹配下周期结构静止状态的固有频率．可以看到，各类参数组合下固有频率分裂情况均符合第4节得到的规律，改变附加质量拓扑结构及特征参数可有效抑制固有频率分裂．

表3 偏心旋转环状周期结构固有频率

Tab.3 Natural frequencies of the eccentric rotating ring-shaped periodic structure

5.2 不稳定域数值验证

为验证不稳定域及其类型判断的正确性，本节以图8(c)为例，分别在稳定与不稳定域中选取计算参考点，计算时域响应，具体如图11所示．根据前文描述的固有频率特性可知，区域1、4、6为稳定域，区域2、5为颤振不稳定域，而区域3为发散不稳定域．

采用变步长Runge-Kutta法分别求解上述各参考点处的时域动态响应，如图12所示．其中，1((av，)＝(4.0，1.2))为图11区域1中的参考点，此时的时域响应呈现周期稳态特征；2((av，)＝(2.7，3.0))为图11区域2中的参考点，时域响应呈现颤振不稳定特征；3((av，)＝(7.0，2.4))为图11区域3中的参考点，响应呈现发散不稳定特征；4((av，)＝(20.0，2.0))为图11区域4中的参考点，响应呈现周期稳态特征；5((av，)＝(40.0，5.0))为图11区域5中的参考点，响应呈现颤振不稳定特征；6((av，)＝(80.0，5.0))为图11区域6中的参考点，响应呈现周期稳态特征．显然，数值计算与理论预测结果一致．

图11 数值验证参数取点

图12 参考点时域动态响应

6 结 论

本文主要研究了计入质量周期分布特征的偏心旋转环状结构的固有频率分裂及稳定性规律，主要结论如下．

(1)采用Hamilton原理和Galerkin方法得到了偏心旋转环状周期结构的动力学模型，应用经典振动理论求解了特征值，并据此预测了不同参数组合下系统的固有频率分裂与动力稳定性规律．

(2)揭示了系统转速为零时附加质量的拓扑结构对固有频率分裂的影响．结果表明：若2/1≠整数，无论参数如何选取，固有频率均不分裂；若 2/1＝整数，则固有频率是否分裂取决于周期分布参数的匹配关系．

(3)研究了附加质量分组数、每组个数和组内夹角等基本参数对系统稳定性的影响，具体分析了3种情形下的动力稳定性规律，揭示了上述参数与稳定性之间的映射关系，并提出抑制不稳定的参数组合原则.

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Influence of Non-Uniformly Distributed Particles on the Free Vibration of Eccentric Rotating Ring-Shaped Periodic Structures

Wang Shiyu1,2，Wang Yifan1，Zhu Dianhua1，Wei Zhenhang1

(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China；2. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300350，China)

Rotating ring-shaped periodic structures are widely used in various rotating machinery in engineering. Although symmetric topologies are adopted to improve the dynamic characteristics，these structures are subjected to eccentric loading in practice due to manufacturing and installation errors，which degrade their dynamic performance. In this paper，the influence of the periodic particles distribution on natural frequency splitting and dynamic stability was investigated. To this end，inertial coordinates and coordinates fixed relative to the structure were established，and the energy of the structure was calculated during rotation and revolution. The governing equations of motion were formulated using Hamilton’s principle. The characteristic equation and its eigenvalues were obtained by Galerkin method and classical vibration theory. The eigenvalues were used to predict the influence of different parameter combinations on the dynamic behavior. The relationships between the particle count，wavenumber，and the natural frequency splitting and stability were determined. A numerical example of the effect of added particle topology on natural frequency splitting was provided，and the dynamic responses at some reference points within the stable and unstable regions were determined using numerical methods，which verified not only the stability but also the analytical predictions. The results show that the rules of natural frequency splitting and stability vary significantly for different particle topologies. Natural frequency splitting can be effectively suppressed when the particle distribution and the wavenumber satisfy the aforementioned relationship. The system stability can be dramatically improved by adjusting the basic parameter combinations. The study offers a reference for vibration control in rotating ring-shaped periodic structures.

rotating ring-shaped periodic structure；eccentricity；eigenvalue；natural frequency；stability

10.11784/tdxbz202207001

TH113.1

A

0493-2137(2023)09-0961-12

2022-07-02；

2022-09-10．

王世宇（1974— ），男，博士，教授．Email：m_bigm@tju.edu.cn

王世宇，wangshiyu@tju.edu.cn．

国家重点研发计划资助项目(2018YFB2001300)；国家自然科学基金资助项目(52175109，51721003)．

the National Key Research and Development Program of China(No. 2018YFB2001300)，the National Natural Science Foundation of China(No. 52175109，No. 51721003).

(责任编辑：王晓燕)