解答平面向量最值问题的三种路径

张子超

平面向量最值问题主要考查平面向量的公式、定理的应用，对同学们的计算能力与综合分析能力都有较高的要求，此类问题的常见命题形式有：（1）求某个向量的模的最值；（2）求某两个向量数量积的最值；（3）求某个代数式的最值，本文以几个题目为例，详细介绍解答平面向量最值问题的几个路径．

一、运用坐標系法

若平面向量最值问题中涉及的图形为规则图形，就可以根据图形的特征，寻找相互垂直的两条直线，将其视为x轴与y轴，建立平面直角坐标系．求得各个点的坐标与线段的方向向量，并将其代人目标式，即可将问题转化为求某个代数式的最值．运用坐标系法解题比较直观、便捷，

运用坐标系法解题的关键在于建立合适的平面直角坐标系，这里以O为原点，以OA为x轴的正方向，垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设∠AOC=a，便能根据题意快速求得A、B、C三点的坐标以及x+y的表达式，最后根据正弦函数的有界性就能求出最值．

二、采用基底法

基底法是求解平面向量最值问题的重要方法．我们知道，平面内的任意一个向量都可以用一组基底来表示．那么在求解平面向量最值问题时，可将目标向量用一组合适的基底表示出来，通过基底之间的数乘、加减运算以及数量积公式求得最值．

解答该题，需注意将数形结合，根据图形明确各个点的位置关系，选取合适的基底PO和OB，并用基底来表示出PA+PB+PC，最后利用绝对值不等式的性质求得最值．

三、利用函数性质法

有些平面向量最值问题中的目标式较为复杂，很难快速求得最值，此时不妨选取合适的变量，根据目标式的特征构造函数模型，将平面向量最值问题转变成函数最值问题，利用函数的图象与性质求最值．

解答本题，要先根据平面向量的共线定理，引人参数t，求得OP·AP的表达式；然后将其视为关于t的函数式，对其配方，根据二次函数的性质求得最小值，

求解平面向量最值问题的路径很多，在遇到不同题目时，可以从多个方面进行考虑，根据题意和解题经验选择最合适的、最简单的路径求解，有时也需综合运用多个路径来解题