求解平面向量最值问题的几个途径

杨彦明

平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等．解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题，与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想，那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明．

一、根据三角函数的有界性

对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式．此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题，通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值．在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性．

根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC的三角函数式；然后确定∠AOC的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值．

二、利用平面几何图形的性质

对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值，

我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P点的坐标，求得各个向量的坐标以及丽+tDE、PE+（t - 1）DE的表达式，即可根据其几何意义，将求|丽+DE+|PE+（t -1）DE的最小值转化为求点H（3 - 2t，2一2t）到G（2，2）、P（x，y）的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定日的位置，即可求得最小值，

根据题意和向量的几何意义作山几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定ICI取得最大值的情形：O，M，G，C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值．

三、利用二次函数的性质

在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式．最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值，由于∠BAD=60°，AB=6，所以以向量AB，AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN·MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题．通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值．

由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的結构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题．