如何解答平面向量最值问题

李喜春

平面向量最值问题具有较强的综合性，侧重于考查向量的线性运算、向量的基本定理、两个向量的位置关系、向量的数量积公式等．这类问题的难度通常较大，需灵活运用数形结合思想、函数思想、转化思想来辅助解题．本文主要谈一谈下列三类平面向量最值问题的解法，

一、求参数的最值

有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不等式、函数的性质来求最值．还可以根据题意和向量加减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画出相应的几何图形，此时需认真观察图形中点、线的位置关系，合理添加辅助线，寻找参数取得最值的临界情形，再运用数形结合思想求得参数的最值．

由BM=xBA+yBD联想到平面向量的共线定理，而M为圆上的动点，于是添加辅助线DE；再设BM=λ丽，由M的运动轨迹求出λ的范围；最后运用平面向量的共线定理来解题．

二、求向量的模的最值

一般地，若a=（X，Y），则|a|=x2+y2，|a|表示向量a的模，即向量a所在线段的长，可以利用向量的线性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求该表达式的最值，即可求得向量的模的最值．还可以根据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最值的情形，根据三角形、四边形的性质来求得向量的模的最值．

例3．已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2， BC=1，P是DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为_______．

我们根据直角梯形的特征建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标并求得各个点的坐标、各条线段的方向向量，即可求得|PA+ 3PB|的表达式，最后运用基本不等式求得向量的模的最值．

于n是 e1、e2表示的，所以需重点研究元的取值范围．恒成立，进而根据二次方程的根的判别式得出|n|的取值范围，最后根據余弦函数的定义求e1、e2的最小值，解答这类问题，同学们需熟记并灵活运用两个向量的夹角公式和余弦定理．

可见求解平面向量最值问题，需注意以下几个问题：

第一、熟练运用平面向量的运算法则、几何意义、共线定理及向量的基本定理；

第二、将向量最值问题与函数、方程、不等式、解三角形知识关联起来，灵活运用数形结合思想、转化与化归思想，函数思想等辅助解题；

第三、研究一些常见的、典型的题目，总结这类题目的通性通法，积累解题经验．