谈谈三类排列组合问题的解法

房琴芳

高考试题命题者通常会在知识的交汇处命题，这就要求我们熟悉一些综合题目，并熟练掌握一些常用的解题方法和技巧．下面主要介绍一下与立体几何、集合、数列有关的排列组合问题的解法．

一、与立体几何有关的排列组合问题

此类题目主要考查立体几何中的点、线、面的位置关系，空间几何体的结构特征，以及分步、分类计数原理．首先要明确几何图形的结构特征，弄明白几何图形中有哪些点，哪些棱，哪些面，并搞清楚立体图形中的点、线、面之间的关系；再把几何问题抽象为组合问题，利用分步、分类计数原理来求解．

例1．给一个四棱锥P一ABCD的顶点染色，且一个顶点只染一种颜色，要求同一条棱的两端染不同颜色．现在有4种颜色可供使用，那么共有X种染色的方法．如果有5种颜色可供使用，那么有y种染色方法，则 y-x的值是____．

解：如果有4种颜色可供使用，需分两种情况讨论：若C点与A点同色，则P点的染色方法有C4种，A点的染色方法有C1种，B点的染色方法有C1种，C点的染色方法有1种，D点的染色方法有C：种．共有C4．C3·2·C2染色方法；

若C点与A点不同色，则P点的染色方法有C4种，A点的染色方法有C3种，B点的染色方法有C2种，C点的染色方法有C{种，D点的染色方法有C{种．共有C4·C3·C种染色方法．则x=C1．C3．2.C21+C4．C3．C2=48 +24 = 72．

如果有5顏色可供使用，需分两种情况：

若B与D同色，则P点的染色方法有C1种，A点的染色方法有C4种，B点的染色方法有C3种，C点的染色方法有1种，D点的染色方法有C3种．共有C5．C4·C3·1·C3染色方法；

若B与D不同色，则P点的染色方法有C5种，A点的染色方法有C4种，B点的染色方法有C3种，C点的染色方法有C：种，D点的染色方法有C：种，共有C5·C4·C3·C2·C2染色方法；

解题时，首先要明确四棱锥中顶点的个数和位置；然后按照一定的顺序依次对各个顶点染色；最后运用分类和分步计数原理求解．

二、与集合有关的排列组合问题

与集合有关的排列组合问题侧重于考查集合的概念、运算，以及分步、分类计数原理．在解题时要明确集合中元素的意义，对其进行分类讨论，然后分步进行计数．

首先根据集合间的关系确定集合，，然后用分类和分步计数原理求解．解答本题还需要注意两点：①要注意挖掘隐含条件，如对于c6而言，x∈N，同时x≥6；②明确分类和分步计数原理之间的区别，灵活运用分类和分步计数原理求解．

三、与数列有关的排列组合问题

与数列有关的排列组合问题主要涉及两类问题：①将数列作为限制条件的计数问题，此类问题多以选择题、填空题为主；②以排列数、组合数、二项式为条件的数列解答题，此类问题具有较强的综合性，往往需以排列的定义、组合的定义、二项式定理作为突破先根据排列、组合的定义限定m的范围，进而确定出m的值；冉利用二项式定理求出n的值，由此可求出数列的公差d，问题就迎刃而解了．

与排列组合有关的综合问题的命题形式较多，在解题时，我们需灵活运用立体几何、集合、数列等知识求得相关的点的个数、方程、关系式，将问题转化为计数问题，并明确计数的范围；再运用排列组合知识求解．