半区间上 D.H.Lehmer问题余项的一种均值

刘晓莹,徐哲峰

(西北大学 数论及其应用研究中心,陕西 西安 710127)

设q>2和a是两个整数,且(a,q)=1。对每一个满足1≤b≤q的整数b,存在唯一的c满足

对于q=p为奇素数和a=1,D.H.Lehmer建议研究Q(1,p)的值或者至少给出它的一些非平凡结论[1]。对D.H.Lehmer提出的问题,Zhang W P[2]证明了

Xu Z F等[4]研究了余项M(a,p)的一种均值,证明了下面的渐近公式

而如果非负整数s≠2,3,4,有

由此揭示了完整区间上D.H.Lehmer问题,即经典D.H.Lehmer问题余项相消性随参数s的不同有着非常显著的变化。

与文献[4]中关于完整区间上D.H.Lehmer问题余项类似,本文讨论半区间上D.H.Lehmer问题余项的一种均值,给出了定理1。

定理1设p≥3为素数,则有渐近公式

对于非负整数s≠0,1,3,4,有

其中,Ο常数只依赖于任意小的正数ε,而Οε常数依赖于ε和s。

从定理1的结论来看,对于不同的参数s,半区间上D.H.Lehmer问题余项的这种双参数均值的主项各不相同,但均不为0。而文献[4]中对于完整区间上D.H.Lehmer问题余项的相同形式的均值仅在s=2,3,4时其主项不为0,s取其他非负整数时主项均为0。从这些结论可以看出,这两种区间上D.H.Lehmer问题余项的相消性有显著的差异。

1 若干引理

为方便定理1的证明,本节先给出7个引理。

引理1设p为奇素数,则对满足(a,p)=1的任意正整数a,有

E(a,p)=

式中

证明过程可参考文献[6]中的引理7.1。

引理2设p为素数,m≥0为任意给定的整数,则有

和

证明过程可参考文献[6]中的引理4.3。

引理3设q>4为一个奇数,χ为模q的原特征且满足χ(-1)=-1。则有

证明过程可参考文献[6]中的引理1.6。

引理4设q≥5为奇整数,χ为模q的原特征且满足χ(-1)=1,则下述等式成立。

式中,χ4表示模为4的原特征。

证明过程可参考文献[6]中的引理1.4。

引理5设q和r是满足q≥2和(r,q)=1的整数,有如下性质

和

证明过程可参考文献[7]中的引理 3。

引理6设q>2为奇整数,m≥0为一个给定的整数,则对任意满足Res>1的复变量s,有恒等式

证明过程可参考文献[6]中的引理2.5。

引理7设q>2为奇整数,χ为模q的特征,χ4表示模为4的原特征,则下述渐近公式成立。

特别地,当q=p为素数且k=2时,有

和

证明设τk(n)[8-10]表示k次除数函数(即方程n1,n2,…,nk=n的所有正整数解的个数),则对任意参数q≤N

M1+M2+M3+M4

(1)

分别估计式(1)中的每一项,利用引理5可得

则有

对前面3种情形,有估计式

及

结合引理6,可以得到

因为(q,2)=1,

所以有

Οs(qε)

(2)

类似地,可得

(3)

则从式(1)～(3)可以得到

(4)

结合估计[11]

由Cauchy不等式,可得

则有

类似地,有

引理7得证。

2 定理1的证明

首先,利用引理1～4,可得

(2+χ(2)-χ(4))2×

Ο(p)。

当s≥6时,

Ο(p)。

注意到

其次,利用引理2和引理7,则有

当s=3时,有

12χ(4)+4χ(8)]|L(1,χ)|4-

Ο(p)

和

类似地,当s=0,1,4时,可得

和

而当s=2,5时,可得

定理1证毕。

3 结语

本文主要研究了半区间上 D.H.Lehmer问题余项E(a,p)在不完整区间上的一种均值分布性质。利用E(a,p)与Dirichlet L-函数的关系以及Dirichlet L-函数的一些均值性质,得到对于不同的参数s,半区间上D.H.Lehmer问题余项的这种双参数均值的主项各不相同,但均不为0,再结合文献[4]中的结论可以看出,这两种区间上D.H.Lehmer问题余项的相消性有显著的差异。