提高学生对数学符号的理解及运用能力

黎淑仪

一、案例背景

数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号性是数学学科的特质，数学符号是数学的基本语言，是数学知识和数学思维方法的载体。教师往往比较重视运算，忽视了学生对符号的理解及运用，培养学生运用符号的意识比较薄弱。学生虽然每天都在和符号打交道，但深层次理解符号思想的并不多，大部分学生没有体会到数学符号应用的意义，学生自主运用符号的能力还没有达到课标要求。

从符号意识概念的转变过程来看，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换，能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》修改为“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。《义务教育数学课程标准（2022年版）》则指出“符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础”。从“符号感”到“符号意识”的改变，不仅是改换了一个表述，而是鲜明地体现了“主动”和“被动”的差异，数学符号对于学习者来说主要的不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向，是一种自觉的心理活动。更加侧重符号在现实情境中的意义和运用，有利于学生分析问题和理解问题能力的提高，对学生高阶思维能力的形成以及核心素养的提高有着推动作用。“解决‘之间有几个的问题”一课来源于人教版教材一年级上册第六单元，其教学定位是让学生灵活地解答“之间有几个”的简单问题，体会策略的多样性，积累解决问题的经验。通过对案例中两个教学片断的研究，揭示这一素材在数学符号方面所蕴含的深刻数学思想及内涵。

二、教学片断

（一）片断一：初步感知，掌握基本方法

例题：在一列队伍中，小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人？（出示图例）

师：从题目中你知道了什么？要解决什么问题？你是怎样解决的？

生1：我知道小丽排第10，小宇排第15。问题是“小丽和小宇之间有几人？”

生2：从前向后数，小丽排在第10位，她前面有9人。

生3：从前向后数，小宇排在第15位，他前面有14人。小丽在小宇的前面。

师：“之间”又是什么意思？小丽和小宇要数吗？

生：小丽和小宇之间就是不包括小丽和小宇。

生4：不数，所以我从小丽后面一个开始数，应该是4人。

生5：我直接从第11开始数，11、12、13、14，也能数到他们之间有4人。

师：我们可以用“数一数”的方法，解决这一类的问题。

【设计意图】学生刚接触解决问题不久，从具体情境中抽象出问题并解决问题的能力还比较薄弱。充分利用主题图呈现生活情境，幫助学生把抽象的问题具体化、直观化，有利于学生对基数与序数的理解。让学生经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程。激活学生旧知的经验，以最简单易懂的“数数法”解决问题，让学生获得解决问题的基本经验和方法，从而提高学生分析和解决问题的能力。

（二）片断二：拓展延伸，内化规律

1. 自主探究解决问题的方法，体会画图、运算等“符号化”过程

师：还可以怎么解决“小丽和小宇之间有几人？”这个问题？请在四人小组内交流讨论，找出更多的解决方法。

生1：可以用15－10＝5（人）计算。

学生受之前解决问题的列式计算影响，直观地以为用“大数减小数”就能解决。这时教师不要急着否定他们，而是给学生自主开展深入的考究与辩证。

生2：他们算的5人不对，因为我们组用数的方法，得出结果是4人。

于是该组同学请了15个同学出来排一排，经实操再次验证，发现第10与第15之间确实只有4人。

生3：我们组是这样想的，小丽和小宇之间不包括小丽和小宇。小丽排在第10，我就从第11开始数，11、12、13、14。所以他们之间有4人。

生4：我们组是用画图的方法，用“O”代替人，从第10开始画一画，画到第15，再数数就知道是4人了。

……

2. 以学生最常见的错误资源，拓展类推，引出字母符号的使用

师：为什么刚才用15－10＝5（人）不对呢？15－10表示什么？

生：用15减10，表示求出第10个后面有几人。而后面的人中不包括15，所以还要减去第15这一个，即5还要再减1。

板书算式：15－10－1＝4（人）

师：如果把题目改成第7个与第16个之间有几人？你会算吗？

生：16－7－1＝8（人）

师：第3个与第19个之间有几人呢？

生：19－3－1＝15（人）

……

教师引导学生观察发现，并推导总结方法：只要求出两个序数的差再减1，就可以求出它们之间有几个了。

拓展了解用字母表示数，让学生用列式计算的方法概括解决这类问题的方法，为以后的“植树问题”积累经验。

归纳小结：求两个数之间有几个数，我们可以用数数法、画图法，还可以用计算法。解决问题时可以选择你最容易理解、最喜欢的方法。

【设计意图】注重培养学生从图中获取信息、提出问题、分析问题的意识和能力，鼓励学生小组合作探究不同的解决问题的策略方法；注重让学生经历从数具体物体的数量到用抽象的数字来表示的学习过程，理解作为符号的数字所表示的含义，为以后学习“用字母表示数”铺垫；抓住课堂生成的契机，引导学生对数学问题“符号化”，逐步体会用数、图形将实际问题“符号化”的优越性、直观性、简约性；体验从具体情境中抽象出数量关系和变化规律、从特殊到一般的探索和归纳过程，建构与积累符号意识。

三、教学分析

下面是执教者就“解决‘之间有几个的问题”这一实践案例，谈谈对小学数学在解决问题教学中的实践思考，主要围绕“符号意识”的培养策略进行简要阐述。这也为今后开展小学数学解决问题的教学积累经验，并有效地服务于日常教学。

（一）挖掘生活经验，增强符号的亲切感

学生对于数学符号意识认知不强烈的主要原因在于数学符号是抽象的，学生在生活中很少使用。想要培养学生的符号意识，就要将数学符号融入学生的日常生活，让数学符号变得更加贴近生活，更加富有亲切感。如：本课以排队这一熟悉的生活情境引入要解决的问题“小丽和小宇之间有几人？”借助形象、直观的生活情境图，紧密联系生活，加强学生对数学符号的亲切感，促进学生对于数学符号的灵活运用，减少其与数学符号的距离。

（二）明确内涵实质，提高符号的理解能力

在日常的教学中，教师应加强学生对数学符号所表示的意义的理解。例如对一些枯燥无味的概念或者公式定律，教师可以根据其发展历程及相关的有趣故事来引起学生对这些数学符号的学习兴趣。也可以通过引导学生一起推导新的公式，增强学生的参与感，加深学生对数学符号的印象。对于一些相近的或辨识度不高的符号，则需要通过对比的方法揭示各自的本质，从而加深学生对于数学符号的识别能力，使得学生能正确的使用数学符号。如：在学生用列式计算的方法解决问题后，再一起推导概括出这三个问题的计算公式b－a－1、b－a、b－a＋1，比较它们之间的区别，加深理解和记忆。

（三）积累数学语言，提升符号的表达能力

基于研学后教3.0课堂教学改革理念下，日常的课堂教学更注重引导学生自主学习、主动思考、主动合作探究，有利于学生积极表达自己的观点，发展學生的语言表达能力与合作交流能力，为学生提供更宽广的认识与交流符号知识的平台。帮助学生学会在数学问题中提取有用的数学信息，转化成数学语言，并将烦琐的题目文字符号化。用数学符号的方式准确地表达题意，引导学生通过数学语言转化为更易理解的数学方式，掌握必要的数学语言，提升学生的符号表达能力。

（四）解决数学问题，培养符号的运用能力

充分利用实际问题情境，帮助学生建立符号模型解决问题，触发学生符号意识的强烈要求，而“问题解决”是检测符号运用的方法之一。解决问题的第一步就是将问题“符号化”，逐步引导学生经历“具体情境→抽象的符号表示→深化应用”这一过程，并在实际问题中促进符号意识的形成。因此，在“解决‘之间有几个的问题”教学时，让学生充分地经历分析问题、解决问题和检验回顾的一般过程，积累经验，并注重引导学生多角度思考问题，针对学生学习水平进行多元化的培养，让学生根据自己的能力，选择更合适的数学方法来解决数学问题，提高数学符号的运用能力。

通过组织开展“解决‘之间有几个的问题”一课的教学，让学生更深入体会到数学符号是数学的基本语言，是人们进行数学表示、计算、推理、交流和解决问题的思维工具。数学符号有利于促进思维的“自由”创造，通过给思维对象以符号，化繁从简、提炼本质，体会符号创造的过程。学生符号意识的培养应贯穿于数学学习的整个过程中，并要从低年级抓起，使学生从小就习惯用数学符号解决实际问题和数学本身的问题，给学生埋下符号意识的种子。培养和发展学生的符号意识，理解符号化的意义，是促进数学思考、提升数学素养的需要，为他们今后的数学学习打下扎实的基础。