基于有向链图编辑方法的T形铺砌织物组织设计

金耀 王奕凡

摘要： 为克服传统分形与铺砌织物组织设计方法因空间结构单调而使得设计空间受限的问题，本文提出一种T形铺砌织物组织设计方法。该方法运用4个T形铺砌块构，通过构造有向链图高效设计织物组织。首先利用T形铺砌特有的有向链图表示方法，在棋盘格上设计与编辑链图，然后将其转化为T形铺砌结构，最后将基本组织根据铺砌结构进行拆分重组获得变化多样的铺砌织物组织。运用Python语言实现了该织物组织的设计方法并进行可视化。实验结果表明，该织物组织设计方法便捷、直观，能够获得更为丰富且多变的铺砌结构及相应的铺砌织物组织，从而为织物组织的数字化设计探索了一条新的设计途径。

关键词： 织物组织设计;T形铺砌;有向链图;组织编辑;数字化;设计模型

中图分类号： TS105.1

文献标志码： A

织物组织用于表达经纱和纬纱相互交织或彼此浮沉的规律，其形态直接影响织物组织的外观与结构性能。当前，随着信息化技术的高速发展，织物组织设计数字化已成主流，因而如何高效地设计风格独特、富于变化且符合工艺要求的织物组织，成为纺织品设计领域的重要研究课题。

织物组织的数字化设计方法大致可分为以下两大类：一类为整体变换法，即将组织作为整体进行各种形式的变换。施国生等［1-2］分别采用对称原理与图像变换方法对组织作整体变换;赵良臣等［3］利用旋转变换法设计新的组织;谢宝珠等［4］利用组织矩阵移位迭代运算设计组织。这类方法直观、容易实现，但其变化自由度较小，所能形成的新组织较为有限。另一类为基本组织“组合法”，即由一个或多个简单组织按某种规则进行空间重组，典型的如基于分形与基于铺砌的设计方法。张聿等［5-6］基于分形理论分别提出了基于L系统与IFS原理的织物组织设计方法，其利用基本组织构造空间分形结构，另一种组织填充剩余空间，以平衡浮点数，生成具有自相似性且相互嵌套、多层次结构的新型组织。这种方法衍生出各类变种，如各层基础组织互异的分形组织［7］、基于斜纹基本组织的回纹分形组织［8］及同层仿射分形组织［9］等。熊宇龙等［10］综合了前述方法，提出了更为一般的分形组织设计模型。金耀等［11］引入“铺砌”方法，以椅子状组织作为基本单元进行空间平铺，所形成组织具有局部对称、乱中有序的特点;郝梓淇等［12］受到瓷砖铺砌启发，采用2个不同循环的基本组织进行铺砌，进一步丰富了铺砌组织的变化形式。但如同分形织物组织，这些铺砌织物组织的空间结构相对单调，其变化形式主要依赖于基本组织的形态，用户可控的自由度小，因此在一定程度上限制了组织的变化空间。

本文提出一种基于“T形铺砌”的织物组织设计方法。该方法基于1个循环数为4的倍数的基本组织，将其拆解为4个相同形状、不同形态的“T形组织”，并利用T形铺砌的链图表示方法，通过编辑链图形态实现T形鋪砌块的空间重组与平铺，形成结构可变、变化多样的铺砌结构。相对于传统的铺砌织物组织设计方法，该方法增加组织整体结构的可控性，生成过程直观、便捷，且空间结构变化形式多样，能够大幅扩展织物组织的设计空间。

1 T形铺砌原理

T形铺砌由4个不同朝向、形状相同的T形铺砌块经无缝隙、不重合地平铺所得到。该T形铺砌块由4个正方形构成，形状呈现英文字母“T”，如图1所示。研究表明，若n×m个正方形格子构成的矩形区域满足n与m均为4的倍数，则由上述4个T形铺砌块可以铺满整个矩形区域［13］。

T形铺砌可采用有向链图表示［14］。对于一个铺满矩形区域的T形铺砌，在其上建立笛卡尔坐标系，令构成铺砌块的单元正方形边长为1，铺砌图左下角的内部角点为原点坐标，则根据坐标位置将铺砌的所有内部角点分成两类：若角点坐标对4取余坐标为（0，0）或（2，2），则为A类角点;若对4取余坐标为（0，2）或（2，0），则为B类角点（图2（a））。定义一个灰白相间的棋盘格，单元格子的大小为2×2，令棋盘格的所有角点为顶点集Vt，且每个顶点均赋予一个整数坐标值，则铺砌的两类角点与顶点集Vt恰好在空间位置上存在一一对应关系，如图2（b）所示。

在顶点集Vt上可建立一个有向图D=〈Vt，E〉，其中边集E为Vt中连接相邻2个顶点的有向边集。若该有向图满足如下所述的链图条件，则该有向图唯一对应一个T形铺砌［14］：

1） 每条有向边均位于单元格子边界上;

2） 图中任意顶点的入度和出度均为1;

3） 每个白色单元格子上必有2条不相邻的有向边。

上述结论表明，一个有向链图由一个或多个强单连通子图构成（图2（b）），不同的链图表示不同的T形铺砌，其所形成的铺砌结构中不同朝向的T形铺砌块之间互相衔接咬合，铺砌块的组合形式变化多样，因此能够带来各种风格迥异的铺砌效果。

2 铺砌织物组织设计

T形铺砌能够铺满矩形区域的性质及便捷灵活的有向链图表示方法，为基于铺砌的织物组织设计提供了研究思路。本文利用T形铺砌与有向链图一一对应的性质，通过编辑有向链图构造铺砌织物组的空间结构，并配合不同形式的基本组织，生成与编辑T形织物组织。

2.1 基本组织的分解

铺砌织物组织通常将铺砌块作为基本组织在给定组织循环的矩形区域内进行平铺，如椅子铺砌［11］与瓷砖铺砌［12］。对于T形铺砌组织，同样可以在4个T形铺砌块内定义“基本组织”并进行铺砌。易见，该4个基本T形铺砌块恰好能拼构成循环数为4s的基本组织（s为正整数），且有2种拼构形态（图3（a））。因此，为了便于用户进行交互设计，本文将4个T形铺砌块合成一个组织，并在其上绘制组织点以定义基本组织，然后将基本组织自动拆解为T形铺砌块并运用有向链图方法进行重组形成铺砌织物组织。需注意的是，相同的基本组织在不同拼构形式下将形成不同的T形铺砌块，如图3（b）所示（数字相同的方格构成一个铺砌块）的平纹组织在2种拼构形态下形成了不同的铺砌块组合，因此由此生成的铺砌织物组织也不同。

2.2 铺砌组织的设计方法

如前所述，T形铺砌可运用有向链图表示。本文利用有向链图构造与编辑方式直观、便捷的特点，利用有向链图构造铺砌结构，并根据所设计的基本组织进行平铺设计。

类似于其他铺砌织物组织的构造方法，本文方法亦需通过构造铺砌结构、设计铺砌块组织及生成铺砌织物组织等步骤，但由于引入了棋盘格上的有向链图作为铺砌结构的编辑方式，因此其织物组织设计增加了编辑构造铺砌结构的步骤，具体方法描述如下：

1） 设计一个循环数为4s的基本组织，选择拆解方式生成4个带组织点的T形铺砌块;

2） 确定铺砌织物组织的循环数n×m，并限定循環数n与m均为4的倍数;

3） 根据循环数计算并构造棋盘格，该棋盘格的晶格（正方形单元）数为（n-2）×（m-2）/4;

4） 在棋盘格上构造或编辑有效的有向链图，确定后根据有向链图表示铺砌的规则自动生成一个T形铺砌结构;

5） 将拆解后的基本组织块按其空间形态对铺砌结构进行填充，并最终形成T形织物组织。基本组织拆解后成为4个互相独立的铺砌块，在保持其空间形态的基础上，对上一步骤形成的铺砌结构按照基本组织设定拆解出铺砌块，填充其经、纬组织点，可以形成最终的T形铺砌织物组织。

在上述步骤4中，有向链图的箭头和t形铺砌块的铺砌方向一一对应，即有向链图箭头决定了T形铺砌块的摆放方式。如图4所示，一个T形铺砌块具有10个顶点，编码为A～J，有向链图一条有向边的起点对应D点，终点对应F点。以这种对应关系用T形铺砌组织替换有向链图的边，则可形成相互不重叠的T形铺砌结构。

2.3 铺砌组织的变化

异于分形织物组织，其组织分布的空间结构由基本组织唯一确定，因此其变化形式相对单调。而铺砌织物组织的基本组织与空间结构无相关性，因此可从两个维度进行变化。然而传统的铺砌织物组织，如椅子铺砌［12］与瓷砖铺砌［13］织物组织其铺砌结构相对固定，可控自由度很小，其变化方式主要通过设计不同循环、不同形态的基本组织。T形铺砌的空间结构可随着其对应有向链图的变化而变化，其可变形式更为丰富，设计自由度更大。

根据上述设计铺砌织物组织的步骤，T形铺砌织物组织可从基本组织的形态、基本组织的拆解方式、链图的形态及铺砌组织的循环数等多方面进行变化以扩大铺砌织物组织的变化形式，具体介绍如下：

1） 基本组织的形态。基本组织是决定铺砌织物组织局部组织形态的主要影响因素，因此改变基本组织的形态能够在很大程度上改变铺砌织物组织的形态。具体可通过定义组织循环数参数s及在该组织循环内定义各种组织形态实现。

2） 基本组织的拆解方式。基本组织的拆解方式确定了T形铺砌块的组织形态，其等价于间接改变了基本组织的形态。除了前述两种常规的拆解方式外，通过旋转变换等亦能获得更多的拆解方式，因此同一种基本组织可衍生变化出多种铺砌块形态，如图5所示。

3） 有向链图的形态。区别于基本组织，有向链图形态决定了铺砌织物组织的空间结构，其影响织物组织的整体结构与形态。因此，在铺砌对应的棋盘格上设计新的链图或在已有链图上进行编辑，如逆转有向链图子图边的方向、有向链图的子图合并与分裂等，同样能够较大程度地改变组织形态。

4） 铺砌组织的循环数。铺砌组织循环数的改变不仅带来组织规模的改变，且随着组织循环数的增大，链图的可变空间也越大，相应的铺砌结构也将越丰富、越复杂，从而也能为铺砌织物组织带来较大的变化。

2.4 有向链图的编辑方法

如前所述，改变有向链图的形态能够改变铺砌的整体结构，因而能够为最终形成的铺砌织物组织带来较大程度的变化。有向链图的编辑方式很多，本文介绍几种常见的编辑方式。

1） 子链图方向逆转。设子链图DiD，且Di由有向链路v1v2…vnv1构成，则通过逆向编辑Di的边的方向，得到新的子链图Di，其有向链路为v1vn…v2v1，如图6（b）所示。

2） 子链图合并。设子链图Di，DjD，其有向链路分别为v1v2…vnv1与u1u2…umu1，若2个子链图中分别存在平行链路vpvp+1…vp+l与uquq+1…uq+l，其方向相反且2条链路中间无其他链路，则可将2个子图进行合并：删除该2条平行链路，并添加有向边将2个子图连通形成新的有向链图，如图6（c）所示。

3） 子链图分裂。分裂可视为合并的逆向操作。设子链图DiD，若Di存在2条平行链路vpvp+1…vp+l与vqvq+1…vq+l，其方向相反且2条链路中间无其他链路，则可将该子图进行分裂：删除该2条平行链路，将子图分裂为2个连通子图，并添加有向边，将该分裂得到的连通子图形成新的有向链图，如图6（d）所示。

此外，由于织物组织要求经纬组织交织点的分布尽可能均匀，在设计基本组织及编辑有向链图时应考虑该因素。尽量避免如基本组织的交织点分布不均、同一个T形铺砌结构仅有一种交织点、有向边方向在局部大面积区域一致，以及有向链图的子链路形态单一等各种情况。

3 仿真实验与讨论

本文运用Python语言实现上述T形铺砌织物组织设计方法，基于PyQT5库实现图形界面，用于交互设计T形铺砌组织，并对所生成的织物组织意匠图进行可视化仿真。本文通过实验讨论各种不同变化形式对织物组织设计效果的影响。

3.1 基本组织的形态

基本组织对最终形成的铺砌织物组织外观影响较大。图7为采用相同的铺砌结构不同的基本组织所形成的铺砌织物组织。由图7可见，对于同样的铺砌结构，不同的基本组织所形成的组织的局部外观效果有着显著差异，且风格迥异。虽然两个基本组织仅有4个相邻的组织点互异，但其所处的铺砌块在相同的链图表示下在不同区域共变换复制了15次，因而其所生成的铺砌织物组织共有60个互异的组织点且分散分布在不同的空间位置，造成了视觉上较大的差异。

3.2 基本组织的拆解方式

基本组织的不同拆解方式形成了不同的铺砌块组织，因此所生成的铺砌织物组织也不同。图8给出了相同的基本组织与铺砌结构，采用不同的拆解方式所形成的铺砌织物组织。其中，图8（a）与图8（b）的有向链图相同，而采用两种拆解方式则生成了不同的铺砌织物组织。

3.3 有向链图的编辑方式

作为T形铺砌的表示形式，有向链图决定了铺砌织物组织的整体空间结构。通过编辑有向链图能够灵活地改变铺砌结构，且变化形式多样。在设计时可根据有向链图的定义在棋盘格上设计合理的有向链路。图9为由相同的基本组织，结合4种不同有向链图所对应的T形铺砌结构所生成的铺砌织物组织。由图9可见，虽然基本组织相同，但不同的有向链图导致所形成的铺砌组织差异较大。与图7基本组织引起的铺砌组织的差异不同，有向链图的不同将带来更大范围的差异。这是由于有向链图中的一条链环至少有4条边，分别对应4个T形铺砌块，不同的链环边数及边的方向将导致不同的铺砌形式;而有向链图的编辑由于重组了其空间布局，使得织物组织整体结构上产生很大差异，因而所生成的组织也相应具有显著的视觉效果差异。

此外，对于现成的有向链图也可运用有向链图的性质，通过局部编辑的方式生成新的链图，从而获得新的铺砌结构及相应的铺砌织物组织。如图10所示，通过对局部有向链环进行逆向、合并与分裂操作获得不同的铺砌织物组织;而局部链图的改变，造成了局部铺砌组织的改变，其组织的外观也带来不同的效果。

3.4 不同组织循环数

组织循环与铺砌结构的变化种类直接相关，循环数越大，有向鏈图的可变空间越大;变化形式越多，相应的铺砌结构也越丰富。图11为大组织循环下的铺砌织物组织。由图11可见，虽然基本组织为简单的加强平纹，但由于有向链图规模较大，相应的组织循环数也较大，最终所形成的组织外观复杂且富于变化。

3.5 其他变化形式

此外，为了进一步扩大T形铺砌织物组织的设计空间，可将T形铺砌块组织的单位尺度进行变化，例如将任意s×s（s为单位尺度）的组织填充入T形铺砌块的每个方向单元。图12为s=2与s=3时所形成的不同铺砌块及所对应的铺砌织物组织。

4 结 论

本文提出了一种基于有向链图编辑的T形铺砌织物组织设计方法。该方法利用T形铺砌的链图表示方法，通过设计与编辑定义于棋盘格上的链图获得T形铺砌的空间结构，并结合基本组织生成铺砌织物组织。计算机仿真实验表明，通过编辑链图生成铺砌织物组织的方法是可行的;相对于传统的分形织物组织与铺砌织物组织设计方法，该方法在空间结构的维度上丰富了织物组织的变化形式，从而在更大程度上扩大了铺砌织物组织的设计空间，为织物组织的数字化设计提供了新方法与新思路。但是，任意基本组织与有向链图的组合所形成的铺砌织物组织未必符合组织工艺要求，目前尚需要进行人工筛选合理的组织。未来将针对该方法研究其工艺约束条件，以进一步提高组织设计效率。

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Abstract： With the development of information technology， the digitalization of fabric weave design has become popular. And how to efficiently and conveniently design fabric weave featuring a unique style and diverse changes while meeting the technological requirements is an important research topic in the field of textile design. Existing methods of designing fabric weaves can be roughly divided into two classifications， namely， the global transformation and combination of fundamental weaves. The former takes the weave as a whole and transforms it by various operations， while the latter reassembles one or more simple weaves into a complicated weave according to certain rules. However， the designed fabric weaves are lack of change in their spatial structure and the design degree of freedom is relatively low， which results in limited changes of weave styles.

To overcome the above limitation， we proposed a T-tetrominoes tiling based fabric weave design method. Through this method， we constructed the space structure by using four T-tetrominoes tiles disassembled from the basic structure by the selected method， and designed the fabric weave efficiently by constructing the directed chain diagram. Firstly， we designed the directed chain diagram on the checkerboard by using the unique directed chain graph of T-tetrominoes tiling， and edited the chain graph by operations of reversion， splitting and merging of the sub-chain graphs. The editing result of the modified chain graph would act on the T-tetrominoes tiling and change its pattern. Secondly， we reassembled the fundamental weaves into diversified T-tetrominoe tiling fabric weaves. Finally， we implemented the proposed method and visualized fabric weaves with Python language. The method can control the weave design results from various aspects such as different fundamental weaves， disassembly ways and directed chain graphs. Compared with the traditional fabric weave design method， our method is more convenient and intuitive to design fabric weaves with rich and changeable tiling structures. It expands the design space of tiling-based fabric weaves to a greater extent， and provides new methods and ideas for digital design of fabric weaves.

However， the result generated from the assembling of any given fundamental weave with any directed chain graph may not always meet the technological requirements. And it is necessary to manually select the suitable fundamental weaves and chain graphs. Thus， in the future， we will incorporate the technological requirements into the design of T-tetrominoe tiling fabric weaves to improve the utility of the weaves and efficiency of design. Besides， we will also explore more other effective methods of designing tiling-based fabric weaves.

Key words： fabric weave design; T-tetrominoes tiling; directed chain graph; weave editing; digitization; design model