2023年高考“立体几何”复习指导

刘才华 王俊岭 王传锋

【摘要】本文首先给出2022年高考立体几何命题分析，然后给出2023年高考备考的六个重点提醒：（1）重视几何体中基本量的运算；（2）重视以长方体和球为载体的综合题；（3）重视解答题的规范性；（4）重视动态几何问题；（5）重视立体几何和其它章节知识的融合；（6）重视数学文化、数学建模和跨学科知识在立体几何中的渗透.

【关键词】立体几何；命题分析；重点提醒；规范性；动态几何；跨学科

立体几何的研究对象是现实世界中物体的形状、大小与位置关系，是高中数学教学的重要内容，也是高考考查的主要内容之一.课程标准在立体几何学业要求上，有如下明确的要求：（1）能够通过直观图理解空间图形，掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单的实际问题；（2）能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果；（3）能够证明简单的几何命题（平行、垂直的性质定理），并会进行简单应用；（4）能够理解空间向量的概念、运算、背景和作用；（5）能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力；（6）能够掌握空间向量基本定理，体会其作用，并能简单应用；（7）能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路. 重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等素养（见文［1］）.

12022年高考立体几何命题分析

从2022年全国各套高考数学试题来看，立体几何一般包括一至三道客观小题，一道两问或三问的主观解答题，总分在22～27分之间，约占全卷总分的15%～18%，难度整体上相对保持稳定，难易适中，分文理科的题目相同，顺序微调，或者题干条件相同，问题稍有区别，难度差逐渐缩小，有利于文理同卷的平稳过渡. 客观题以单项选择题、多项选择题或填空题呈现，除了涉及三视图、空间图形翻折、数学文化时给出图形外，其它情形一般不给出图形，主要考查画图、识图和用图的能力，侧重于简单几何体（柱、锥、台，球）或简单组合体基本量的计算，相关性质的考查等；主观解答题以简单几何体（柱、锥、台）或不规则几何体为载体，主要采用“一半证明、一半计算”相结合的模式，第一问侧重考查位置关系的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，第二问侧重度量关系的计算，以角或距离的运算为主. 试题重点考查考生的直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理及数学建模等素养.

1.1新高考1卷

2022年“三小一大”（题4，8，9，19）.三小均无图，分别以四棱台、正四棱錐、球、正方体为载体，考查几何体中基本量间的关系，四棱台和四棱锥体积公式，异面直线所成角（实质是垂直）和直线与平面所成角等，其中第8题是单项选择压轴题，较为综合，集正四棱锥和球于一身，同时考查了导数在立体几何中的应用.解答题以直三棱柱为载体，第1问利用等体积法求点到平面的距离；第2问已知线段长度间的关系，二面角的大小和平面与平面垂直，求二面角的正弦值.

新高考1卷近三年考查的共同点：（1）小题一般不给图形；（2）都考查了垂直关系；（3）解答题第2问条件都是已知线段长度间的关系.

1.2新高考2卷

2022年“两小一大”（题7，11，20）.第7题（无图）以正三棱台和球的组合体为载体，考查几何体中基本量间的关系和球的表面积公式；第11题（有图）以底面为正方形的不规则几何体为载体，考查锥体的体积公式和体积间的关系；第20题以底面为直角三角形的三棱锥为载体，第1问证明线面平行；第2问已知角的大小和线段长，求二面角的正弦值.

新高考2卷近三年考查的共同点：（1）小题一般不给图形；（2）都考查了球；（3）解答题都是以锥体为载体.

1.3全国甲卷

2022年理科试卷“三小一大”（题4，7，9，18）.第4题已知三视图求几何体体积；第7题以长方体为载体考查线段长度间关系和直线与平面所成角（实质上是长方体体对角线与相交于同一个顶点的三个侧面所成角的一个性质）；第9题以圆锥为载体考查基本量间的关系，侧面展开图，面积及体积间的关系；第18题是侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形的四棱锥，考查直线与直线垂直，直线与平面所成角的正弦值.

文科试卷小题同理科，第19题以底面为正方形的不规则几何体为载体，考查直线和平面平行，几何体的体积.

1.4全国乙卷

2022年理科试卷“两小一大”（题7，9，18）.第7题以长方体为载体考查平面与平面垂直，平面与平面平行；第9题以四棱锥和球体组合体为载体，考查体积最值问题，不等式和导数的应用；第18题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，直线与平面所成角的正弦值，第2问以三角形面积最小作为题目条件.

文科试卷“两小一大”（题9，12，18）同理科，第18题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，三棱锥的体积，第2问以三角形面积最小作为题目条件.

1.5北京卷

2022年“一小一大”（题9，17）.第9题以正四面体为载体考查点的轨迹；第17题以三棱柱为载体，正方形面与平面垂直为条件，第1问证明直线与平面平行，第2问为结构不良题型，从直线与直线垂直和两条线段相等中选择一个，求直线与平面所成角的正弦值.

1.6天津卷

2022年“一小一大”（题8，17）.第8题是一道应用题，求组合体的体积；第17题以放倒的三棱柱为载体，第1问证明直线与平面平行，第2问求直线与平面所成角的正弦值，第3问求二面角的余弦值.

1.7浙江卷

2022年“两小一大”（题5，8，19）.第5题以三视图为载体，考查组合体的体积；第8题以正三棱柱为载体，考查异面直线所成角，直线与平面所成角和二面角，比较三个角的大小；第19题以不规则几何体为载体，二面角大小作为条件，求直线与平面所成角的正弦值.

1.8上海卷

2022年“两小一大”（题5，15，17）.第5题以圆柱为载体，已知高和底面积求其侧面积；第15题以正方体为载体，给出新定义，考查空间两条直线的位置关系；第17题以三棱锥为载体，给出线段中点，直线和平面垂直，部分线段长度，第1问求其体积，第2问求直线与平面所成角的大小.22023年考前重点提醒

对于2023年高考立体几何备考，我们给出六个重点提醒：（1）重视几何体中基本量的运算；（2）重视以长方体和球为载体的综合题；（3）重视解答题的规范性；（4）重视动态几何问题；（5）重视立体几何和其它章节知识的融合；（6）重视数学文化、数学建模和跨学科知识在立体几何中的渗透.供考前备考借鉴参考.说明：下面的选择题，没有注明的题目为单项选择题.

2.1重视几何体中基本量的运算

选择简单几何体或简单的组合体为载体，考查几何图形的概念、特征及基本元素之间的相互关系.对于不规则的组合体能进行合理的分割或补体.

2.1.1以简单几何体为载体的运算

题1在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线CC1所成角为π2，则直线AA1与BC所成角为（）.

A.π2B.π3C.π4D.π6

题2已知圆锥的顶点为S，其侧面展开图为一个半径为2，角度为3π的扇形.过两条母线SA，SB作截面得到△SAB，则△SAB的面积最大值为（）.

A.2 B.3C.4D.23

题3（多项选择题）已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1-1），AB=3，CD=1，∠BAD=45°，DE⊥AB.将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图1-2），连结AC，AB，设F是AB的中点.下列结论中正确的是（）.

A.CF∥平面ADE

B.AD⊥BC

C. 点F到平面AEC的距离为22

D.四面体AECB的外接球的体积为5π6

2.1.2以组合体为载体的运算

题4底角为60°的等腰梯形中，O1，O为上、下底边的中点，上、下底边长分别为4，8.现在以直线OO1为轴旋转形成一个圆台，过线段OO1的中点作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆台的下底面上，则所得圆柱与原圆台的体积之比为（）.

A.2∶1B. 5∶3C.27∶56D.9∶16

题5某种建筑物是由一個半径为2米的半球体挖去一个正四棱锥而成的几何体，正四棱锥的顶点在半球面上，底面内接于半球底面的大圆面，则该建筑物的表面积为平方米（π=3.14，3=1.73）.

2.2重视以长方体和球为载体的综合题

长方体（或正方体）和球是学生最熟悉的几何体，虽然它们结构简单，但却具有丰富的几何性质.借助长方体（或正方体）和球，能够较好地认识和理解空间点、直线和平面间的位置关系和度量关系.几何体中融入球后，可以使得几何问题综合性和灵活性更强，更好地考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算等数学素养.

2.2.1以长方体（或正方体）为载体的综合题

题6（多项选择题）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1D1的中点，P为侧面CD1的中心，AB=1，BC=2，BB1=1，则（）.

A.BE⊥CB1B.PE∥平面A1B1C

C.P到平面A1CD 的距离为63

D.B，C，P，E四点共面

题7（多项选择题）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E为线段CB1的中点，点F和点P分别满足FD1=λC1D1，PD1=μBD1，其中λ，μ∈［0，1］，则下列说法正确的是（）.

A.当λ=12时，三棱锥P-EFD的体积为定值

B.当μ=12时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是3π4

C．PE+PF的最小值为526

D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得PE⊥平面PDF

题8在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段AB的中点，点N是线段A1B1的中点.若点B到直线AC1的距离为63，则直线CM到平面ANC1的距离为.

2.2.2以球为载体的综合题

一般地，在解答与球相关的问题时不需要画球，关键是定球心的位置和球的半径长，将球的问题化归为由球心和其它点组成的多面体问题再解答，此时要用好球中垂径定理.确定球心的方法有：（1）球心为几何体中最长棱的中点；（2）将几何体嵌入到长方体（或正方体）中，球心为长方体（或正方体）的体对角线的中点；（3）过几何体两个面的外心作对应平面的垂线，球心为两条垂线的交点；（4）建立空间直角坐标系，布列关于球心坐标的方程组，通过解方程组确定球心；（5）正棱（圆）柱、（圆）锥、（圆）台的球心都在其对应的高线上.

题9如图2，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在同一个半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，若侧面ABB1A1的面积为2，则球的表面积为（）.

A. 2π B. 4πC. 2π D.22π

题10如图3，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，且平面ABCD与平面BDEF互相垂直. 若多面体ABCDEF的外接球的体积为43π，则多面体ABCDEF的体积的最大值为（）.

A.33B.23C.433D.163

题11在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段AB的中点，点F为线段BC的中点，现将△ADE，△BEF和△CDF分别沿DE，EF和DF折起，使得A，B，C三点重合于一点G，则三棱锥G-DEF的外接球的的表面积为；三棱锥G-DEF的内切球的体积为.

2.3重视解答题的规范性

立体几何解答题通常以简单几何体（柱、锥、台）或不规则几何体为载体，难度适中，重点考查考生的直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理及数学建模等素养.在审题时要学会“庖丁解牛”，观察好几何体纹理结构后再动手. 解题过程要使用准确的符号语言表达，在解答证明题型时，要重视平面几何或解三角形等知识在几何体某个面上的应用，说理时要写全条件；在解答计算题型时要分析是采用几何方法还是向量方法.

2.3.1以棱柱为载体的解答题

题12如图4，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1为边长是2的菱形，AB=BC，顶点A1在底面ABC上的射影为线段AC的中点，点A到平面BCC1B1的距离为2155.

（1）求出线段AB的长度；

（2）求直线CB1与平面ABB1A1所成角的余弦值.

2.3.2以棱锥为载体的解答题

题13如图5，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形.

（1）证明：平面PAB⊥平面PBC.

（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.

2.3.3以棱台为载体的解答题

题14如图6，三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=4，A1C1=2.AB1与BA1相交于E，AC1与CA1相交于F，连接EF.

（1）证明：EF∥B1C1；

（2）若AA1⊥底面ABC， AA1=3，直线A1C1与BC所成角为30°，求二面角A-EF-C的正弦值.

2.3.4以圆柱为载体的解答题

题15如图7，矩形ABCD是圆柱的轴截面，O为下底面的圆心，且AD=3，AB=2.点E在⊙O上，∠ABE=30°，EF=λFD（λ>0）.

（1）当λ=13时，证明：AF⊥BD；

（2）若二面角A-OF-E的余弦值为15，请求出λ的值.

2.3.5以圆锥（或圆台）为载体的解答题

题16如图8，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A，B的动点，直线CP⊥平面ABC，E，F分别为线段PA，PC的中点.设平面BAC与平面BEF的交线为直线l.

（1）证明：l∥平面PAC且l⊥平面PBC；

（2）请从下列两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角A-l-E的正切值.

①AB=PC=4，三棱锥C-PAB的体积取得最大值;

②AB=PC=4，S△PAC+S△PBC取得最大值.（注：如果选择两个条件分别解答，按照第一个解答记分）

2.3.6以不规则几何体为载体的解答题

题17如图9，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AB=BC=2AD.矩形CDEF⊥平面ABCD.

（1）若点P在直线BE上，满足BP=λPE，是否存在实数λ，使得AP∥DF？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；

（2）若AD=ED，求出平面ADE与平面BEF夹角的正切值.

2.4重视动态几何问题

动态几何问题是由空间点、直线、平面的平移或旋转而形成的问题，包括：（1）定值问题（体积、面积、角、距离等）；（2）定性问题（平行、垂直等）；（3）范围问题（最值、范围、大小等）；（4）轨迹问题等.在解答此类问题时，要理清运动前后度量关系和位置关系的变化情况，对于定值、定性与轨迹问题常常和概念、性质等知识相关；对于范围问题常常和函数、不等式等知识相关.

2.4.1点的运动

题18（多项选择题）在棱长均为4的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，P，Q分别为棱BB1和棱CC1上的动点，满足BP+CQ=4，则（）.

A. 三棱锥A-DPQ的体积为定值

B.平面DPQ⊥平面BCB1C1

C. 存在某个位置，使得PD⊥QD

D.平面DPQ与平面ABC所成锐二面角的最大值为45°

题19（多项选择题）正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直，Γ1是正方形ABCD的边界及其内部的点构成的区域，Γ2是正方形CDEF的边界及其内部的点构成的区域，AB=2，则（）.

A.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得BQ∥EP

B.P∈Γ1，Q∈Γ2，PQ的最大值为4

C.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得直線BQ和直线EP所成角为45°

D.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得BQ⊥EP

题20（多项选择题）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，动点P在上底面A1B1C1D1边界及其内部运动，点Q为棱AA1的中点，则（）.

A.若PQ与平面ABCD 所成角为60°，则点P的轨迹的长度为33π

B.若直线PB与平面ABCD所成角等于二面角P-AD-B的大小，则点P的轨迹在一条抛物线上

C. AP+PC的最小值为26

D.若AP∥平面BDC1，直线AP与BD 所成角为θ，则cosθ的范围为0，105

2.4.2平面的平移运动

题21（多项选择题）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动平面α∥平面CB1D1，则（）.

A.若α与此正方体的截面为三角形，则三角形一定为锐角三角形

B.若α与此正方体的截面为三角形，则三角形的面积不可能为 23

C.若α∩平面 ABCD=a，α∩平面 ABB1A1=b，则a与b所成角为π3

D.α截此正方体所得截面面积的最大值为33

2.4.3平面的旋转运动

题22（多项选择题）在矩形ABCD中，AB=2AD=4，M为线段AB的中点，现将△ADM以直线MD为轴旋转，构成四棱锥P-BCDM，N为线段PC的中点，则（）.

A. BN ∥平面PMD

B. 存在某个位置，使得PC⊥MD

C.存在某个位置，使得CM⊥PD

D.点P在半径为2的圆周上运动

2.5重视立体几何和其它章节知识的融合

近年来高考试题重视由知识立意向能力、素养转化，在知识的交汇处精心设计试题，综合考查考生的分析问题、探究问题、运用知识创新解决问题的能力.立体几何在高中数学中有非常好的“人缘”，和其它章节知识都能“合得来”，以几何体为载体考查其它章节知识，体现了数学知识间的综合联系.

题23有一种透明的装饰品，其形状大致是由一个正四棱锥和其外接球组成.现有边长为2的正方形，经如图10所示的方式裁剪后，做成这种装饰品，则该装饰品外接球的表面积的最小值为（）.

A. 23π9B.43π9

C.  （8－43）πD. （8－23）π

题24在下列空白处，填写适当的符号语言，使其为真命题.命题：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，CB=CC1，若，则CA1⊥平面BDC1.

题25已知AB是圆台的底面直径，M是圆台母线AD的中点，AB=8，上底面半径为2，AD=4，点N在下底面圆周上，且∠ABN=30°，则M、N两点在圆台表面上所连线长的最小值为.

题26从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为.

2.6重视数学文化、数学建模和跨学科知识在立体几何中的渗透

我们生活在一个三维空间中，创设生活实践情景，将实际问题抽象成一个立体几何问题，或者选取古代著名的具有美学价值的建筑物等方式，考查考生的数学抽象、数学建模等素养，在解决问题中深入体会感悟数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的重要意义.

题27某学校修建有一个“励志亭”，该亭的外形近似看作是一个紧密相连的组合体，其中上面是一个正六棱锥，下面是一个正六棱柱，六棱柱的上底面和六棱锥的底面重合.若正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，且正六棱锥的高是正六棱柱的高的一半，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（）.

A.2∶1B.3∶2

C.5∶4D.7∶8

题28对24小时内降水在平地上单位面积的积水厚度（mm）进行如下规定：

积水厚度区间［0.1，

10.0）［10.0，

25.0）［25.0，

50.0）［50.0，

100.0）级别小雨中雨大雨暴雨如图11，高一6班一位同学用一个圆台形容器接了24小时雨水，则这天的降雨属于哪个等级（）.

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

题29（多项选择题）如图12，街心花园里有多个石凳，每个石凳都是这样的几何体：将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到一个新的多面体.则下列结论正确的是（ ）.

A. 该多面体共有24条棱

B.直线PB与直线EH异面

C.异面直线BC和FN所成角为π3

D.平面PAB与平面PEF所成的锐二面角的余弦值为13

题30现有两个容器，甲容器是轴截面为正方形的圆柱形容器，正方形边长为20cm；乙容器是圆锥形容器，锥顶向下，底面直径为403cm，高度为20cm.若将甲容器注满水，并将甲容器中一部分水，倒入乙容器中，使得两个容器的水面高度相同，则此时水面的高度为cm.

参考答案

1.B；2.A；3.AC；4.C；5.43.52；6.ABD；7.ACD；

8.66；9.B；10.D；11.6π，π48；12.（1）AB=2；（2）155；

13.（1）略；（2）64；14.（1）略；（2）32114；15.（1）略；（2）1；16.（1）略；（2）①22；②22；17.（1）1；（2）25；18.ABD；19.AC；20.BD；21.ACD；22.ACD；23.B；

24.CB=CD且∠BCC1=∠DCC1=∠BCD，答案不唯一; 25.225－123;26.2935;27.D;28.B；29.ACD；30.10.

參考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.5.

［2］教育部考试中心.创设情境发挥育人作用深化基础考查核心素养——2022年高考数学全国卷试题评析［J］.中国考试，2022（07）：14-19.

作者简介

刘才华（1969—），男，山东宁阳人，中学高级教师，泰山名师，泰安市优秀教师；研究方向为初等数学研究和高中数学教学；发表论文200余篇.

王俊岭（1975—），女，山东宁阳人，中学一级教师，泰安市教学工作先进个人，泰安市学科能力大赛特等奖，宁阳县优秀教师；研究方向为高中数学教学.

王传锋（1974—），男，山东宁阳人，中学高级教师，山东省优秀班主任，泰安市教学管理先进个人，泰山英才教师;研究方向为高中数学教学.