基于深度神经网络的大气湍流压缩波前探测

华晟骁，胡启立，冯佳濠，姜 律，杨燕燕，吴晶晶，俞 琳，胡立发*

（1.江南大学 理学院，江苏 无锡 214122；2.光电对抗测试与评估技术重点实验室，河南 洛阳 471003；3.江苏省轻工光电工程技术研究中心，江苏 无锡 214122）

1 引 言

在使用地基光学望远镜进行天文观测时，人们利用自适应光学系统（Adaptive optics system，AOS）补偿大气湍流造成的像差［1-7］。夏克哈特曼波前探测器（Shack-Hartmann wavefront sensor，SHWFS）是AOS 中最重要的单元之一，它主要包括微透镜阵列和CCD。在天文观测中，自然导星或人造导星一般比较暗弱，同时大气湍流实时变化，大气湍流比较强时会导致SHWFS 获得的部分光斑太弱，对这些光斑的质心进行计算时误差较大，导致波前重构精度低。同时，天文观测等应用要求SHWFS 能快速对大气湍流的波前进行测量。虽然减少微透镜的数量和使用像素数较少的CCD 可以提高波前测量速度，但会导致波前测量的空间分辨率降低，这意味着波前测量精度也会降低。

近年来，人们将压缩感知技术引入波前测量，以少的斜率测量来提高波前测量速度。2014 年，Polans 提出了压缩波前探测，他利用Zernike 多项式对斜率进行稀疏化并对由几个低阶Zernike 模式组成的简单波前像差进行了仿真验证［8］。理论上它只需要较少数量的微透镜，因此可以提高波前的探测速度。Howland 等人提出了一种基于压缩感知单像素相机的波前探测器，用于静态的暗弱目标的波前测量［9］。它将随机二进制图案应用于高分辨率空间光调制器，从10 000 个投影中可以获得高质量的256×256 波前。2016 年，Eddy等人基于Polans 的斜率稀疏化方法，使用压缩波前探测方法测量自由曲面光学元件的面形［10］。2022 年，Ke 等人使用压缩波前探测进行了波前校正实验［11］。然而，在前述已报道的稀疏斜率重构方法中，具有较小值的斜率通常被忽略为0，这明显增加了小压缩比时的波前重构误差，因此，他们主要用低阶Zernike 模式组成的简单波前进行重构和验证，而无法测量大气湍流引起的复杂波前畸变。大气湍流引起的像差非常复杂，导致斜率分布范围广，而小的斜率值也可能对重构复杂波前的高频成分有贡献，直接视为0 会导致波前中的部分高频信息丢失。如果斜率恢复的精度低会导致波前重构的精度相应降低，因此，已有的压缩波前探测算法很难应用于地基大口径光学望远镜的自适应光学系统中。

为了解决该问题，我们提出了深度神经网络来提高稀疏斜率的恢复精度。传统的算法可以从光点阵计算斜率并重构波前，但针对暗弱空间目标探测时，湍流扰动引起的光点亮度起伏会导致部分光点信噪比差，甚至不能用于波前重构，导致重构精度降低。近年来，人们利用深度学习技术直接从光点阵预测波前且具有较高的波前重构精度，但它们的算法严重依赖于硬件和数据训练，计算时间通常高达几十毫秒［12-15］，外场环境中的光点阵和对应波前的数据集很难同时准确获得，使其目前还不能用于外场的大气湍流校正。在本文所提出的深度神经网络中，输入和输出数据是斜率而不是具有大网格数的光斑和波前图像，并且即使对于具有30×30 微透镜的SHWFS，斜率数据个数也不大于1 800。因此，我们设计的深度神经网络可以在其快速恢复速度和高波前重构精度之间取得平衡，通过高精度地恢复斜率提高压缩波前探测算法中波前重构精度。

2 方 法

仿真过程如图1 所示。从光点阵列图像计算沿x和y方向的原始斜率［4］，然后利用离散余弦变换（DCT）矩阵生成稀疏斜率；沿x和y方向的稀疏斜率被用作深度神经网络（DNN）的输入参数。作为比较，图1 中红色箭头还给出了压缩波前探测的经典恢复方法。沿x和y方向的恢复斜率为输出结果。最后，可以使用Zernike 模式法重构波前。

图1 压缩波前探测的波前重构过程Fig.1 Wavefront reconstruction process of compressive wavefront sensor

2.1 SHWFS 波前重构

SHWFS 通过测量光斑阵列并计算其沿x和y方向的偏移，根据斜率重构波前。在SHWFS中，波前通过微透镜阵列形成光点阵列。每个子孔径上的局部波前的平均倾斜和尖端与光点的偏移成比例。偏移可以通过比较从参考波前获得的光点的质心与畸变波前的质心之间的差异来计算。通常用传统的重心（CoG）算法计算：

其中I（i，j）是第i行和第j列中像素的光强。然后，根据光点的偏移x和y计算波前斜率。定义φ（x，y）为坐标（x，y）处的大气湍流波前相位，其斜率分别为x和y方向上的Sx和Sy。它们之间的关系如下：

其中f是透镜的焦距。计算斜率后，可以通过经典波前重构方法重构最终波前W，如式（5）所示［4，16-17］：

其中：Zi是第i个Zernike 模式，ai是第i个Zernike模式的系数。

2.2 斜率稀疏和恢复

定义Ψ∈RM×N作为M≪N的稀疏基，这意味着空间中的每个向量都可以表示为这组基向量的线性组合。然后，斜率信号Sx和Sy可以通过稀疏基进行稀疏化，如式（6）所示：

其中稀疏向量θx∈RN，θy∈RN分别是Sx和Sy的稀疏表示。离散余弦变换（DCT）矩阵被用作稀疏矩阵。

设计一个M×N探测矩阵来测量Sx和Sy并获得斜率测量值我们选择高斯矩阵作为探测矩阵：

其中A=ΦΨ。

矩阵Φ满足限制等距性质（RIP）标准［18-20］：

因为M比N小得多，所以和的值通过求解最小0 范数来得到。而0 范数问题是一个NP 难问题，但Candes、Tao 和Donoho 等人已证明，当测量矩阵Φ满足约束等距性质（RIP）时，l0约束优化问题可转化为l1约束的凸优化问题：

图2 深度神经网络结构Fig.2 Deep neural network structure

3 结果与讨论

本文在J 波段进行了模拟，望远镜孔径D为3.6 m，r0范围为0.33～0.42 m。SHWFS 中的微透镜数量为16×16，每个子区域的像素数为6×6。压缩比r表示所有斜率中有效斜率的百分比。

3.1 DNNCWS 的波前重构精度

对于相同的压缩比r=0.7，分别使用DNNCWS 和GCWS 重构波前斜率及其波前。图3 给出了x和y方向上波前斜率及其重构误差。图3（a）为x方向上的原始斜率，其值范围为-0.7～0.8 rad；图3（f）为y方向上的原始斜率，其值为-0.9～1.1 rad。

图3 （a）原始波前的x 方向斜率；（b）GCWS 恢复的x方向斜率；（c）GCWS 恢复的x 方向斜率的误差；（d）DNNCWS 恢复的x 方向斜率；（e）DNNCWS恢复的x 方向斜率的误差；（f）原始波前的y 方向斜率；（g）GCWS 恢复的y 方向斜率；（h）由GCWS恢复的y 方向斜率的误差；（i）由DNNCWS 恢复的y 方向斜率；（j）由DNNCWS 恢复的y 方向斜率误差。Fig.3 （a）X-direction slopes of the original wavefront；（b）X-direction slopes recovered by GCWS；（c）Error of the x-direction slopes recovered by GCWS；（d）X-direction slopes recovered by DNNCWS；（e）X-direction slopes error recovered by DNNCWS；（f）Y-direction slopes of the original wavefront；（g）Y-direction slopes recovered by GCWS；（h）Error of the y-direction slopes recovered by GCWS；（i）Y-direction slopes recovered by DNNCWS；（j）Y-direction slopes error recovered by DNNCWS.

图3（b）和（g）给出了GCWS 恢复的x和y方向的斜率。图3（c）和（h）分别给出了GCWS 恢复的x和y方向上斜率的误差，其PV 为0.5 rad，RMS为0.03 rad。图3（d）和（i）分别给出了DNNCWS恢复的x和y方向的斜率。图3（e）和（f）给出了相应的误差，其PV 为0.04 rad，RMS 值为0.003 rad。可以看出，DNNCWS 算法的精度比常规压缩波前探测算法高了一个量级。

基于所获得的斜率进行波前重构，得到了如图4 所示的重构波前。所用电脑CPU 为AMD Ryzen7，内存8 GB，从斜率到波前的重构时间为4.4 ms。图4（a）、（b）和（c）分别给出了原始波前、DNNCWS 重构波前和残差波前。图4（d）和（e）分别给出了GCWS 重构波前和残差波前。图4（a）中原始波前的峰谷值（PV）为0.464 μm，均方根值（RMS）为0.063 5 μm。图4（b）中的波前PV 为0.460 μm，RMS 为0.063 3 μm。图4（d）中的波前PV 为0.379 μm，RMS 为0.061 5 μm。图4（c）中DNNCWS 的残差波前的RMS 为0.001 4 μm，远小于图4（e）中GCWS 的残差波前RMS 0.006 μm。DNNCWS 获得的结果的精度远高于GCWS，这是由于DNNCWS 方法恢复斜率具有更高的精度，因而降低了波前重构误差。

图4 （a）原始波前；（b）DNNCWS 算法恢复的斜率重构的波前；（c）DNNCWS 算法的残差波前；（d）GCWS算法恢复的斜率重构的波前；（e）GCWS 算法的残差波前。Fig.4 （a）Original wavefront；（b）Reconstructed wavefront with DNNCWS；（c）Residual wavefront of DNNCWS；（d）Reconstructed wavefront with GCWS；（e）Residual wavefront of GCWS.

为了检验算法的稳定性，我们选择了30 组数据进行了测试。图5 显示了使用两种方法从30 组随机斜率中恢复的残差波前的PV 和RMS。可以看出，DNNCWS 比GCWS 具有显著的稳定性和高精度。DNNCWS 算法的残差波前的RMS 值约为0.001 μm，变化幅度较小。

图5 30 组斜率的残差波前的PV 和RMS 误差的比较。（a）误差的PV 值；（b）误差的RMS 值。Fig.5 Comparison of PV and RMS errors of residual wavefront for 30 sets of slopes.（a）PV values of errors；（b）RMS values of errors.

3.2 不同的斜率压缩比对波前重构精度的影响

图6 显示了两种算法在不同压缩比下恢复的残差波前的PV 和RMS 的比较。基于DNNCWS重构的残差波前的PV 范围为0.005～0.014 μm，RMS 范围为0.000 7～0.002 μm；基于GCWS 重构的残差波前PV 范围为0.07～0.4 μm，RMS 范围为0.004～0.066 μm。结果表明，DNNCWS 的波前测量精度远优于GCWS。与GCWS 相似，随着斜率压缩比的增加，DNNCWS 重构的残差波前的RMS 从0.002 μm 降低到0.000 7 μm。在所有情况下，DNNCWS 的残差波前的RMS 均在0.001 μm 左右。DNNCWS 使用深度神经网络来提高从稀疏波前斜率恢复的波前斜率的准确性，因此重构的波前效果更好。同时，对于相同的波前测量精度，DNNCWS 可以使用较少的微透镜进行测量。

图6 不同压缩比下的残差波前比较。（a）残差波前PV 的比较；（b）残差波前RMS 的比较。Fig.6 Comparison of residual wavefront under different compression ratios.（a）Comparison of PV of residual wavefront；（b）Comparison of RMS of residual wavefront.

3.3 暗弱星等下压缩波前探测的精度

对于比较暗弱的11 星等目标，在信噪比比较低（SNR=8.11 dB），压缩比r=0.7 的情况下，图7（a）、（b）和（c）分别为原始波前、DNNCWS算法恢复的斜率重构的波前与残差波前，图7（d）和（e）分别为GCWS 算法恢复的斜率重构的波前与残差波前。图7（a）中原始波前的PV 值为0.448 μm，RMS 值为0.064 1 μm；图7（b）中DNNCWS 算法恢复的波前PV 值为0.458 μm，RMS 值为0.062 6 μm；图7（d）中GCWS 算法恢复的波前PV 值为0.407 μm，RMS 值为0.062 0 μm。图7（c）中基于DNNCWS 重构的波前残差RMS值为0.000 9 μm，图7（e）中基于GCWS 重构的波前残差的RMS 值为0.004 μm。可以看出，DNNCWS 恢复的波前比GCWS 的结果更接近原始波前。在低信噪比条件下，基于DNNCWS的波前重构精度显著高于GCWS。

图7 （a）原始波前；（b）DNNCWS 算法恢复的斜率重构的波前；（c）DNNCWS 算法恢复的斜率重构的波前的残差波前；（d）GCWS 算法恢复的斜率重构的波前；（e）GCWS 算法恢复的斜率重构的波前的残差波前。Fig.7 （a）Original wavefront；（b）Reconstructed wavefront with DNNCWS；（c）Residual wavefront of DNNCWS；（d）Reconstructed wavefront with GCWS；（e）Residual wavefront of GCWS.

图8（a）和（b）分别为在低星等情况下30 组随机数据所得到的波前残差的RMS 值与PV 值的对比。由图8（a）和（b）可知，基于DNNCWS 算法重构的波前残差PV 值在0.004～0.013 μm 范围内，RMS 值在0.000 7～0.001 9 μm 范围内；而GCWS 算法对应的波前残差的PV 值在0.066～0.198 μm范围内，RMS值在0.004～0.008 μm 范围内。显然，DNNCWS 比GCWS 具有更高的精度和更好的稳定性。

图9（a）和（b）分别显示了重构波前的RMS和PV 在不同星等下重构波前的残差对比。星等数值越高，目标光源越暗，信噪比也会越低。5、7、9、11 和13 星等对应的信噪比SNR 分别为49.74，32.2，15.08，8.11，6.76 dB。结果表明，基于DNNCWS 重构的残差波前PV 在0.005～0.011 μm 之间，RMS 在0.000 9～0.001 7 μm 之间。作为比较，基于GCWS 重构的残差波前PV 范围为0.06～0.11 μm，RMS 范围为0.004～0.005 μm。DNNCWS 的波前重构精度较高，不同的幅度对其波前测量精度的影响较小。

图9 不同星等下的残差波前。（a）残差波前PV 的比较；（b）残差波前RMS 的比较。Fig.9 Residual wavefront under different magnitude of star.（a）RMS of residual wavefront；（b）PV of residual wavefront.

4 结 论

本文提出DNNCWS 的方法，采用深度神经网络从稀疏的斜率恢复斜率，提高了压缩波前的检测精度。与已有的压缩波前探测方法相比，该方法克服了测量复杂像差精度低的问题，可以用于大气湍流引起的复杂波前测量。此外，DNNCWS 可以在不同压缩比和低信噪比的条件下以高精度和稳定性重构波前。在压缩比从0.1～0.9 变化情况下，DNNCWS 的PV 范围为0.005～0.014 μm，残差波前的RMS 均在0.001 μm 左右，算法的运行时间为4.4 ms。在暗弱星等情况下，即低信噪比条件下，DNNCWS 的残差波前PV 在0.005～0.011 μm之间，RMS 在0.000 9～0.0017 μm 之间。本文所提出的方法在使用自适应光学的其他光学成像系统中也将有较好的应用。