指向“挑战性”的高中数学问题设计计

刘铁智

【摘 要】当前数学课堂提问普遍存在过度诱导的弊端，消除这些弊端的方法就是让课堂提问充满“挑战性”，通过赋予问题真实的情境、结构化的特征、更多的开放性使学生已有的认知、传统的学习方式、数学思维的广度与深度得到充分的发展。

【关键词】挑战性；诱导性；问题设计；深度学习

问题既是思维的起点，也是创造的前提，一切发明创造都是从问题开始的［1］，数学教学就是以不断地提出问题并解决问题的方式来实现知识建构的过程。好的问题是打开学生思维的钥匙、驱动学习进程的动力之源，正所谓“问得好即教得好”“善教者必善问”。但在实际教学中，由于教师对数学问题的教学功能认识不足，在问题设计上只强调“诱导性”，而忽视“挑战性”，使得课堂提问无法取得预期的成效。下面笔者结合课堂教学实践来谈谈自己的一些看法。

一、过度诱导引发的教学弊端

心理学家梅耶认为，当问题解决者想让某种情境從一种状态转变为另一种不同的状态，而且问题解决者不知道如何扫除两种状态之间的障碍时，就产生了问题；而解决问题的有效办法就是通过课堂提问来启发和引导学生的思维，使学生调动自身的知识储备和思维来进行问题的分析和探究。由此可见，“诱导性”是课堂提问中所要遵循的一个基本原则。但是课堂提问不能仅关注“诱导性”，也不能把“诱导性”作为问题设计的唯一准则，否则会引发一系列教学弊端。

（一）过度诱导削弱思考能力的形成

问题是一种特殊的情境，是个体面临一个不易达到的目标和困难课题时的情境，必须运用相关的理论或方法，在教师的引导与启迪下，师生之间、学生之间通过思想交流、思维碰撞才能解决问题。因此，问题的一个重要功能就是引发学生的独立思考，而过度诱导会让学生失去思考的能力。

例如，在“导数的概念及其几何意义”一课中，为了让学生发现“导数的值就是切线的斜率”这一结论，教师设计了如下问题。

问题1-1 平均变化率[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的几何意义是什么？

学生都知道平均变化率表示的是割线P0P的斜率。

教师首先让学生在几何画板上动手操作，即拖动点P（[x0+Δx]，[f（x0+Δx）]）沿着曲线f（x）趋近于点P0（[x0]，[f（x0）]），接着又提出了第二个问题。

问题1-2 割线P0P与切线是否有某种内在联系？

教师在给出切线的一般定义后，又提出了下列问题。

问题1-3 在初中时，我们怎样定义圆的切线？

在学生回答问题后，教师接着追问。

问题1-4 圆的切线定义适合于任意曲线吗？现在所学的切线的定义符合我们在初中学的圆的切线定义吗？

教师首先让学生画图举出反例，说明圆的切线定义不再适用任意曲线；接着再借助几何画板，让学生验证现在的切线定义对任意曲线都适用。

以上教学设计，教师的意图是以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手，探索导数的几何意义，抓住[Δx→]0的联系，在图形上从割线入手来研究问题。教师让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线的发生、发展过程，上升到理性思维，形成切线定义，体会逼近的思想。

教师的设计意图没错，但是这样的课堂提问方式能否起到预期的效果？我们发现，无论是切线的定义还是对切线定义的验证，学生都是在教师的“指令”下完成的，例如，教师要求学生“把点P拖动到点P0”或要求学生类比圆的切线或直接告诉学生切线的定义，至于为什么这样做？这样做有何目的？学生根本不知道，教师也没有给学生思考的机会，学生只是按照教师的指令行事，糊里糊涂地学。

（二）过度诱导影响学习经验的积累

传统教学是以知识点为单位逐个实施教学，并以获得知识为最终目标的一种教学方式。因此，传统教学中提出的问题针对的就是教材中的特定内容，答案也是唯一的或者是教师预设好的，目的就是引导学生在规定的时间内顺利发现与快速掌握有用的结论。这种“急于求成”的问题设计理念容易导致课堂提问出现过度诱导，学生根本不用动脑筋也能解决问题。

例如，在“基本不等式”一课中，教师为了能够快速完成基本不等式的几何证明，设计了下面两个问题。

问题2-1 如图1，AB是圆O的直径，过AB上一点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，比较OD，CD长度的大小关系。

问题2-2 设AC=a，BC=b，你能利用找到的OD，CD长度的大小关系解释基本不等式吗？

如果教师已经明确告诉学生用基本不等式[a+b2≥ab]进行解释，这两个问题就无须思考，也无法达到让学生掌握几何证明的目的。在后续的教学中，当教师让学生从赵爽弦图中提取基本不等式时，学生也许根本无从下手，因为在前面两个问题的解决过程中，学生没有获得从几何图形中提取不等关系的经验。因此，过度诱导反而影响学生学习经验的积累。

（三）过度诱导让学生“不会学”

虽然问题的设计是在既定的目标下，层层深入，由此及彼，从而驱动学生思考和实践，但过度诱导容易让学生对教师产生过度依赖。当学生习惯于“教师问，学生答”的学习方式，学生思维就容易被禁锢在教师的问题中，从而逐步丧失提出问题的意识与能力，无法从“学会”走向“会学”。

例如，在“函数的零点与方程的解”这节课中，有的教师就是按照以下设计问题来引导学生发现“函数零点存在定理”。

问题3-1 观察二次函数f（x）=x2-2x-3的图象，并计算其零点所在的区间［2，4］和［-2，0］上端点处的函数值，并说出你有什么发现。

在区间［2，4］上，零点左侧的图象在x轴下方，零点右侧的图象在x轴上方。相应的函数f（x）的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0，即函数在端点x=2和x=4的取值异号，f（2）f（4）＜0，在区间［-2，0］亦然。

问题3-2 对于一般的函数y=f（x），在其零点所在的区间［a，b］上，f（a）f（b）是否也有上面的结论？

问题3-3 当f（a）f（b）＜0时，函数y=f（x）在区间（a，b）上的零点个数情况如何？

问题3-4 当f（a）f（b）＞0时，函数y=f（x）在区间（a，b）上的零点个数情况如何？

问题3-5 根据以上结论，函数y=f（x）满足什么条件时，在区间（a，b）上就一定有零点？

函数y=f（x）满足以下两个条件时，在区间（a，b）内一定有零点：（1）函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线；（2）区间端点处的函数值异号，即f（a）f（b）＜0。这个结论我们称为函数零点存在定理。

上述问题囊括了构成“函数零点存在定理”的三个关键点：连续曲线、f（a）f（b）＜0、有零点。换句话说，这些问题是为这三个关键点量身打造的，所起到的诱导效果应该是比较好的，但能否把这些问题迁移运用到其他类似定理的建构当中呢？或者说，学生经历了“函数零点存在定理”的学习，能否获得运用函数视角来研究方程问题的经验？答案显然是否定的。

二、“挑战性”的问题要“挑战”什么

神经科学研究表明，“挑战性”的问题能够加快大脑中“网状激活系统”的运行，让大脑分泌更多的多巴胺，让学生持续保持高度兴奋的学习状态［2］。在这种状态下，不仅问题解决的进程得到加速，而且还会有更多的奇思妙想从学生头脑中涌现出来。那么“挑战性”的问题到底要“挑战”什么？

（一）挑战学生已有的认知

皮亚杰的“平衡化”观点认为，认知发展是平衡不断建构的过程，智力正是在有机体作用于环境（同化作用）和环境作用于有机体（顺应作用）两种机能作用下，经过不平衡—平衡—不平衡的不断循环往复，从低到高不断得以发展和丰富［3］。在问题设计上，教师要提供与已有经验相矛盾的内容，挑战学生已有的认知，从而引起认知冲突，打破原有的认知平衡状态，促使其向新的平衡状态发展。

（二）挑战传统的学习方式

以听讲、记忆、模仿、练习为主要形式的学习方式，虽然能够让学生在较短的时间里获得知识，但从长期来看，这种单一的单向传授、被动接受、机械训练的学习行为容易削弱学生学习的主体性与能动性。因此，教师应通过设计“挑战性”的问题，让问题的解决变得不那么轻而易举。例如，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流等，都让学生在数学学习中由“被动”变“主动”，由简单“学会”到“会学”。

（三）挑战思维的广度与深度

思维广度指的是横向思考的能力，思维深度则体现在集中思考的方向；思维广度意味着学生要能够从多角度独立地思考与解决问题，思维深度则更注重通过事物的现象能够挖掘出其内在的本质。“挑战性”的数学问题，不仅问题域宽广，而且站在数学的重点、难点、疑点的制高点，直面思维的广度与深度，需要学生通过对新知与已有心理图式、认知框架的整合来实现问题的解决，最终达到发展高阶思维能力的目标。

三、如何赋予问题更具“挑战性”

美国心理学家盖泽尔斯把数学问题大致分为三类：显现型问题、发现型问题、创造型问题。显现型问题的答案、求解思路均是现成的，学生只需照章办事，无须想象与创造；发现型问题虽然有已知答案，但问题是由学生提出或发现的，对学生个体而言，是一种探索、独立的发现；创造型问题是人们从未提出过的，属原创性问题［4］。显然，显现型问题不具备“挑战性”，要使问题的设计体现“挑战性”，需要在发现型问题与创造型问题上做文章。

（一）赋予问题真实的情境

赋予问题真实的情境，就是要让学生体会数学与真实世界的联系，数学源于真实世界又应用于真实世界。真实情境不仅有助于激发学生的求知欲，而且能促使学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维理解世界、用数学的语言表达世界；让学生经历从真实世界中抽象出数量关系和空间形式的过程，挑战的是学生的创新意识与质疑精神。

例如，在“函数的零点与方程的解”这节课中，教师可以这样改进问题的设计。

情境：如图2所示，观察这两幅图，回答以下问题。

（1）小马是否过了河，请说明理由。

（2）如果小马过了河，小马的行走路线与河流呈现什么关系？（行走路线穿过河流）

（3）如果把河流看成x轴，如何用代数式表示小马行走的路线“穿过”河流？

“小马过河”与函数零点存在定理的意象相通，通过类比过河的条件，建立数学与生活之间的联系，为数学定理的抽象奠定认知基础，明确探究的方向。对学生而言，要把“穿过”这个几何现象用代数式进行刻画非常具有“挑战性”。首先，教师可以引导学生思考“穿过前”与“穿过后”函数值的变化趋势，从而发现f（a）f（b）＜0这一结论；接着，教师再组织学生对结论从充分性与必要性的角度进行质疑与辨析，从而获得完整的定理表述。

（二）赋予问题结构化的特征

在对数学知识整体把握的基础上，从学生的认知水平出发，以科学性和梯度性为原则，将孤立、分散的小問题整合成具有逻辑关联和综合性、开放性的核心问题，让学生围绕核心问题进行深度思考和交流，感悟数学的本质与联系。核心问题结构化着力于建构一个系统结构，引领学生挑战知识的整体关联建构，形成系统方法和思维。

例如，在“导数的概念及其几何意义”一课中，核心问题就是“如何认识切线”，围绕这个核心问题可以设计以下问题。

（1）当[Δx→]0时，[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的几何意义是什么？请用你的方式进行说明。（既可以从数与形两个角度进行说明，也可以借助信息技术）

（2）请说明割线与切线之间的联系。

（3）与函数图象只有一个交点的直线是切线吗？反过来对不对？

（4）能否给切线重新下个定义？

以上教学设计，通过结构化的核心问题作用于学生主体，按照“切线”内部各要素之间的逻辑关系进行连接、组合，使各部分之间的联系条理化、清晰化，从而实现对切线概念的整体建构。

（三）赋予问题更多的开放性

涂荣豹教授认为，启发探究最重要的就是在教学中尽可能多采用一些元认知问题，即通过提高问题的开放性来激发学生探究的积极性。数学问题的开放性是相对于传统的“条件完备、结论确定”的封闭性而言的，主要体现在条件开放、结论开放、解决问题的策略开放等方面。问题具备一定的开放性和自由度，能够给学生的独立思考和主动探究留下更多的时间与空间，提高学生用自己的数学观念解决问题的能力。例如，在探索“基本不等式”的几何证明中，可以设计以下开放性问题：在弦图中，利用面积关系发现重要不等式[a2+b22≥ab]，那么你能否从线段长度的视角构造几何图形来解释基本不等式[a+b2≥ab]？

这个问题的结论具有开放性，构造图形的思想和途径可能因人而异，灵活多样。但正是因为这样，才有利于教师捕捉冲突点、引发思维碰撞，有助于学生建构知识，使每个学生在原有基础上获得相应的发展。

当然，“挑战性”并不等同于“高难度”，不能认为“高难度”的问题更具有“挑战性”。“挑战性”问题是那些真实鲜活的、能激发学生高阶思维且能促进知识整合与灵活迁移的问题，它常常以“为什么”“如何”“从哪些方面”等词语作为开头，意在激发学生的探究欲望，并从不同角度对问题进行持续不断的思考。设计富有“挑战性”的问题，不仅能激发学生进一步学习的动机，而且还能为挑战性学习的开展奠定基础。

参考文献：

［1］朱德全.基于问题解决的处方教学设计［J］.高等教育研究，2006（5）：83-88.

［2］刘徽，徐玲玲.大概念和大概念教学［J］.上海教育，2020（11）：28-33.

［3］陈国平.皮亚杰的“平衡化”观点及对初中数学教学的启示［J］.中学数学研究，2011（3）：1-4.

［4］王光生.问题设计与数学教学［J］.数学教育学报，2006（2）：29-31.

（责任编辑：陆顺演）