一类新型纠缠混沌系统的电路设计及在图像加密中的应用

代文鹏 陈恒 焦方桐 李勇兴 颜廷洋

【摘   要】   首先根据纠缠混沌系统的构建方法，构建了一类含有指数及正余弦项的纠缠混沌系统，运用Matlab对该系统的李雅普诺夫指数、分岔图及功率谱图等动力学特性进行理论分析和数值仿真，结果表明该系统具有较高的参数敏感特性。基于电路仿真软件Multisim14进行实验仿真电路的制作，证明提出的纠缠混沌系统电路在电路原理上的可实现性，从而验证了该纠缠混沌系统的丰富动力学能力。最后利用DNA算法及纠缠系统混沌序列对图像加密，进行加密直方图、信息熵及相邻像素相关性分析。分析结果证明，提出的混沌系统具有较强的复杂性，应用于图像加密具有较高的保密安全性能。

【关键词】   纠缠混沌系统；电路仿真；图像信息熵

The Circuit Design of A New Kind of Chaotic System with Entanglement

and It′s Application in Image Encryption

Dai Wenpeng1， Chen Heng2*， Jiao Fangtong3，Li Yongxing2，Yan Tingyang4

（1. Yantai Institute of Science and Technology， Yantai 265600， China;

2. Xijing University， Xi′an 710123， China;

3. Geely Commercial Vehicle Zibo Base， Zibo 255100， China;

4. Qilu Institute of Technology， Jinan 250200， China）

【Abstract】    Firstly， according to the construction method of entangled chaotic system， a class of entangled chaotic system with exponent and sine-cosine term is constructed， the dynamic characteristics of the system， such as Lyapunov exponent， bifurcation diagram and power spectrum， are analyzed and simulated by MATLAB. Based on the circuit simulation software Multisim14， the experimental circuit is made， and the feasibility of the circuit in circuit principle is proved， the abundant dynamics capability of the system is verified. At last， the image is encrypted by using DNA algorithm and chaotic sequence of entanglement system. The histogram of encryption， information entropy and correlation of adjacent pixels are analyzed. The analysis results show that the proposed chaotic system has strong complexity and has high security performance when applied to image encryption.

【Key words】     entanglement chaotic system; circuit simulation; image information entropy

〔中圖分类号〕   TN601               〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2023）01- 0022 - 07

0      引言

近几十年来，新的混沌系统不断被提出与发现［1］，目前，混沌系统都是在经典混沌模型上构建的，已从经典低维混沌模型发展到高维、多翼、多涡卷、时滞、切换、分数阶等混沌模型系统。那么，能否构建一类混沌系统作为线性系统与非线性系统的桥梁呢？根据量子纠缠的相关内容，多个线性系统通过非线性的有界函数糅合进行纠缠，量子纠缠的提出为新混沌系统的构建提供了一种有意义的借鉴思想。可根据此理论，将多个线性系统引入有界纠缠项从而为构建新的纠缠混沌系统提供了一种新的思路。

混沌理论在图像加密数据传输［2］、电机控制系统等各个领域得到了应用［3］。数字图像具有数据量大且像素之间相关性强的特点［4］，混沌系统具有随机性及敏感性，因此混沌系统应用到图像加密中具有一定的优势［5］。在纠缠混沌系统上，为采用纠缠混沌系统与DNA加密算法相结合对图像进行加密提供了新思路。

首先，为验证该纠缠混沌系统的丰富动力学能力，Matlab将对该系统进行理论分析及数值仿真。其次，为验证混沌电路可实现性，Multisim14将进行电路搭建。最后，为验证该系统的应用价值，利用DNA算法及纠缠系统混沌序列对图像进行加密实现。

1     纠缠混沌系统

[x=-ax+byy=-ay-bx] （1）

[z=-czw=-dw]    （2）

（1）与（2）进行系统纠缠，得到一类新的纠缠混沌系统，其动力学方程为：

[x=-ax+by+k（sinw）ecoswy=-ay-bx+ksinzz=-cz+kcosxw=-dw+kcosy] （3）

其中[x，y，z，w]为系统变量，系统的参数为[a]，[b]，[c]，[d]，[k]，纠缠项为[（sinw）ecosw]，[sinz]，[cosx]，[cosy]。当 [a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]，画出系统（3）的相图，发现系统中存在典型的混沌吸引子如图1所示。经过Matlab数值计算得到Lyapunov指数为[λ1=2.19]，[λ2=0.47]，[λ3=-3.15]，[λ3=-4.6]，系统含有两个正的指数，具有超混沌特性［6］。

2     耗散性及功率谱

2.1   耗散性

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?w?w=-2a-c-d]    （4）

[a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]时，由（4）得[a+b-d+e=-5.1<0]，系统（3）是一个耗散系统，体积元收敛为[dVdt=e-5.1t]即体积元[V0]以指数收敛，t时刻体积元为[V0e-5.1t]，当t→∞时体积元收敛到零，渐进运动围绕在一个吸引子上［7］。

2.2   功率谱

周期信号的功率谱是离散谱，非周期信号的功率谱是连续谱。混沌信号是非周期信号，所以其功率谱也应为连续谱［8］。图2为系统（3）的功率谱，观察到是连续谱，可见该系统为混沌系统。

3     参数影响

从系统（3）四个方向的Lyapunov指数谱及分岔图，可观察出系统运动状态［9］。当[a∈0，10]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]，如图3所示的Lyapunov指数和分岔图，得出系统是由混沌状态逐渐进入周期状态，经过短暂的阵发混沌后再进入周期状态的反复过程，区间[a∈0，5.5?7，8]为混沌态，[a∈5.5，7?8，10]处于周期状态，说明系统参数[a]对系统动力学行为具有一定的影响。

当[a=2]，[b∈0，15]，[c=0.1]，[d=1]，[k=10]，如图4所示为系统（3）的Lyapunov指数和分岔图，[b∈0，7.5]为混沌态，其他区域为混沌与周期交替状态，由倒倍周期分岔过渡到混沌，[b∈0，7.5?8，9?9.5，11?12，12.5?14，15]，看出对应的LE谱为（-，-，0，+），该区间处于混沌态，[b∈7.5，8?9，9.5?11，12?12.5，14]，最大LE等于0，说明该区间处于周期态。

同理，[a=2]，[b=3]，[c∈[0，8]]，[d=1]，[k=10]，图5为系统（3）四个方向的Lyapunov指数和分岔图，观察发现系统整体上为混沌状态，在[a=2.5]，[a=8]附近出现了弱混沌状态，在[a=6]附近出现了倍周期态。

同理，[a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d∈[0，10]]，[k=10]，图6所示为系统（3）四个方向的Lyapunov指数和分岔图，经过观察发现LE谱为（-，-，0，+），系统为混沌状态。[d∈[0，5]]的LE大于[d∈[5，6]]的LE指数，说明[d∈[0，5]]区间混沌复杂度更强。

同理，当[a=2]，[b=3]，[c=0.1]，[d=1]，[k∈0，15]，如图7所示为系统（3）的Lyapunov指数和分岔图。系统由倍周期分岔进入到混沌系统，[k∈0，6]为周期态，其他区域为混沌态。

4     系统电路原理图及方程

利用集成运放LM741、模拟乘法器AD633及电容和电阻等设计出相应的混沌电路图，如图8所示，利用Multisim14验证系统（3）方程的电路仿真。

根据以上电路图 ，电路振荡方程为：

[dxdt=R6C1R5R7-R4R1x+R4R2y+R4R3sinw（ecosw）dydt=R13C2R12R14-R11R8x-R11R9y+R11R10sinzdzdt=R19C3R18R20R17R15cosx-R17R16zdwdt=R25C4R24R26R23R21cosy-R23R22w]（5）           通過电路振荡方程与混沌系统（3）的状态方程对比，理论数值一一对应。为了验证该混沌电路的正确性，利用Multisim14对混沌电路进行了电路仿真，将电路的[x]，[y]，[z]，[w]端的输出电压实时显示在示波器上，如图9所示。

仿真验证，该电路精简且易于实现，证明了提出的纠缠混沌系统在电路原理上的可实现性。

5     图像加密仿真

基于纠缠混沌系统产生的混沌吸引子， 用于DNA加密的混合图像加密。采用Matlab 16仿真实现， 选 256×256的Lena灰度图作为初始图像如图10（a）， 混沌加密信号采用纠缠混沌信号加密后图像如图 10（b）， 解密图像如图 10（c）。

5.1   信息熵分析

信息熵反映了加密后密文图像的像素值随机分布信息，由表 1可以看出，加密后的信息熵皆达到了7.9994，接近理想值8，加密效果较好，其算法相比于其他算法加密信息熵处于较高水平。

5.2   灰度直方圖

图11（a）（b）分别为原始图像和加密图像的灰度直方图。加密前，图像像素非均匀分布，加密后，可以看出， 混合加密图像的灰度均匀性明显高于原始图像， 加密图像的安全性更高。

5.3   相邻像素的相关系数

图像相邻像素的相关性与图像加密的安全性呈反比［14］，如公式（6）相关性计算。

[ρx，y=cov（x，y）D（x）+D（y）] （6）

其中：

[E（x）=1Ni=1Nxi]

[D（x）=1Ni=1N[xi-E（x）]2]

[cov（x，y）=E[（x-E（x））（y-E（y））]]

选取[N=10000]，经计算得出加密图像的水平方向、垂直方向及对角方向像素之间的相关系数分别为0.0078、0.0363及0.0053，说明像素之间没有相关性，验证了算法的有效性。

图12（a）（c）（e）为原始图像像素水平、垂直及对角方向像素之间的相关性，原始图像像素之间呈线性关系，图12（b）（d）（f）为改进的混合加密图像像素间的相关性，说明像素之间没有相关性。

从表2 可看出其算法相比于其他算法加密的信息相关性较低。

6      结论

本文构建一种纠缠项含有指数及正余弦项的新型纠缠混沌系统，分析混沌系统的Lyapunov指数谱、分岔图及功率谱等，验证了系统丰富的动力学特性。在系统理论分析基础上， 基于电路仿真软件Multisim14设计了该混沌电路，电路仿真结果与数值计算结果的统一性验证了该方法的可实现性。最后，将纠缠混沌系统应用于混合图像加密算法中，并对其进行了数值仿真，仿真结果验证了该混合加密算法在实际工程中有很好的应用价值。

［参考文献］

［1］ 陈 恒，代文鹏，李勇兴，等.Liu混沌系统的电路设计及自适应控制研究［J］.廊坊师范学院学报（自然科学版），2022，22（3）：29-34.

［2］ 付 正， 李 嵘. 基于新型切换Lorenz混沌系统的图像加密算法研究［J］. 计算机与数字工程， 2020， 48（1）： 170-173.

［3］ 李付鹏，刘敬彪，王光义，等. 基于混沌集的图像加密算法［J］.电子与信息学报，2020，42（4）：981-987.

［4］ 屈双惠，杨志宏，容旭巍，等. 一个新忆阻混沌系统及其在图像加密中的应用［J］.系统仿真学，2019，31（5）：984-991.

［5］ 赵 凤，梁 静.一种混合级联混沌的伪随机序列生成方法［J］.洛阳师范学院学报，2019，38（8）：8-11.

［6］ 李志军，曾以成.基于文氏振荡器的忆阻混沌电路［J］.电子与信息学报，2014，36（1）：88–93.

［7］ 朱从旭，胡玉平，孙克辉. 基于超混沌系统和密文交错 扩散的图像加密新算法［J］.电子与信息学报，2012，34（7）：1735-1743.

［8］ 黄 沄，罗明伟，张 鹏.一种含有常数项的新超混沌系统及其FPGA 实现［J］.重庆师范大学学报（自然科学版）， 2015，32（1）： 116-120.

［9］ 陈昌川.一种多翼超混沌系统及其 FPGA实现［J］.微电子学， 2011， 41（4）： 562-566.

［10］ 张勋才，刘奕杉，崔光照.基于 DNA 编码和超混沌系统的图像加密算法［J］.计算机应用研究， 2019， 36（4）： 1139- 1143.

［11］ 曾祥秋，叶瑞松.基于改进 Logistic映射的混沌图像加密算法［J］.计算机工程， 2021， 47（11）： 158-165.

［12］ LI W， CHANG X Y， YAN A M， et al. Asymmetric Multiple Image Elliptic Curve Cryptography［J］. Optics and Lasers in Engineering， 2021， 136： 1-10.

［13］ FIRDOUS A， UR REHMAN A， SAAD MISSEN M M. A Highly Efficient Color Image Encryption Based on Linear Transformation Using Chaos Theory and SHA-2［J］. Multimedia Tools and Applications， 2019， 78（17）： 24809-24835.

［14］ KHAN J S， AHMAD J. Chaos Based Efficient Selective Image Encryption［J］. Multidimensional Systems and Signal Processing， 2019， 30（2）： 943-961.