从欧拉公式说起

赵晓辉 魏文英 李小敏 杨广武

摘要：复变函数论方法在流体力学、空气动力学、弹性理论等方面，都有重要应用。文中仅介绍了重要的欧拉公式，以欧拉公式为基础，通过复数运算、共轭运算、三角函数运算等运算方法，证明得到了数学界公认的最美公式，它把数学中常用的、、、、5个数用一个式子联系在了一起；证明得到了基本三角函数等指数表示式，并由此指出复变函数中正弦函数、余弦函数的无界性，指数函数的周期性；把迪莫夫公式、欧拉公式、共轭运算有关知识结合起来，解决了两个重要级数的求和问题。并在此过程中引导学生发现，在实变量函数中，重要极限和一些用洛必达法则所能处理的问题在复数域将出现危机，以这些问题来提高学生对复变函数的兴趣。

关键词：复数；共轭运算；复指数函数；欧拉公式；最美公式；共轭复数

Starting with Euler's Formula

Zhao Xiaohui1  Wei Wenying1  Li Xiaomin1  Yang Guangwu2

1.School of Software of Hebei polytechnic institute  HebeiShijiazhuang  050091; 2. College of Science of Hebei University of Science and Technology  HebeiShijiazhuang   050018

Abstract： The method of complex function theory has important applications in hydrodynamics， aerodynamics， elasticity theory and so on. This paper only introduces the important Euler formula. On the basis of Euler formula， The most beautiful formula in mathematics is obtained by complex number operation， conjugate operation， trigonometric function operation and other operation methods， which links the 、、、、 five numbers. The research has obtained exponential expressions such as basic trigonometric functions， the unbounded nature of sine and cosine functions in complex functions， and the periodicity of exponential functions. The problem of summing two important series is solved through the combination of Dimov's formula， Euler's formula， conjugate operation. In this process， students are guided to find that in the function of real variables， the important limits and some problems that can be dealt with by L 'Hopital's rule will be in crisis in solving complex number domain， and these questions are used to improve students' interest in complex functions.

Keywords： complex number; Conjugate operation; Complex exponential function; Euler's formula; The most beautiful formula; Conjugate complex number

歐拉被尊为近世三大数学家之一，他28岁时，一眼失明，在他生命的最后17年间，双目失明，但凭借着他那了不起的记忆力和丰富的想象力，加上有人帮助他口述笔录，又写出了浩繁的著作和四百篇研究。欧拉是顶瓜瓜的方法家，又是一位数学巨匠，他研究了数学在许多方面的应用。由于他的高尚品质和贡献，赢得了广泛的尊重，从而在他晚年能把那时欧洲的所有数学家当作他的学生。人们可以在数学的所有分支中找到他的名字，其中有欧拉公式、欧拉多项式、欧拉常数、欧拉积分和欧拉线等。我们先来介绍欧拉公式，并简单的介绍一点欧拉公式的应用。

1 欧拉公式

将实变量的相应幂级数展式推广到复变量

我们规定：

注意到（2）（3）的符号以4个位置为周期以及也有同样的周期：即

将（1）中的换为，并整理，有

便得到重要的欧拉公式：

欧拉公式有许多各种各样的应用，在历史上，它的发现是促使进一步研究复变函数的主要诱

因之一。[1-8]

“最美公式”

由（2）（3）知为偶函数，为奇函数。将（4）中的换为，有

由（4）（5）相加减，我们得到

（6）为基本三角函数的指数表示式，它表明对三角函数的研究，可化为对指数函数的研究。

由欧拉公式，有

（7）把五个“最重要的数”、、、、联系在了一起，人们称其为“最美的”公式。

另外，由级数乘法可以证明，在整个平面上都不等于零，事实上，设，有，。

对三角函数和，两角和（差）公式，以为周期，以及都是仍然成立的，但其证明方法不同于实数域内的证明。所以学习复变函数时要与数学分析（或高等数学）有关内容联系比较，注意它们的同异。[5-8]

1.3只在实数域范围内，不可能有欧拉公式，不能建立，，之间的关系

在实数域中，指数函数是单调函数，而在复数域内是周期函数，周期为，事实上

在实数范围内，，而在复数范围内可以算出：，所以，而且，在复数域内与是无界的，事实上，如在射线，上，有

要注意，不能从（8）（9）比较等式两端实虚部而得到（10）（11），因为不能确定及为实的[8-9]。

2 共轭运算一些推广及应用之例

（1）共轭复数是概念，也是运算，只知道概念和简单的运算，是不应该满足的，要思考和试探研究其推广。本段以应用为目的，用例题的形式，说明共轭运算在求的实部和求级数和中的应用。如，由指数乘法及欧拉公式，有

据此可以证明

以及由三角函数的指数表示式，有，和（因），

（2）例1查表求的实部

解：

这样，便可以通过查指数函数表和三角函数表而求得.

级数求和是重要的，以下给出重要级数求和的例子

例2 ，设，求级数

及的和

解：由和，知有收敛的级数：

由，（12）式可以写为

对（13）式两边取共轭，有

（13）+（14），有

由（15）即有

（13）—（14），有

即

3 几个小问题

“时空”观的问题介绍很重要，一定要知道是在什么范围、什么条件下讨论问题的。有人只说注意复变函数论与实变数学分析的类同之处，而忽视了它们的区别。本段用几分小例子提醒各位，既要看到类同，又要注意区别。

设为复变量，

哥德巴赫猜想、费马定理都是在正整数范围内讨论问题的。由求解代数方程知道，在不同的数域内，方程根的情况不同，只有在复数域内，才能说次代数方程有个根。

我们知道，在实变量的情形，有一个熟知的重要极限。这个结果，是用“夹逼准则”证明得到的。在我们这里，应该特别着重地说明，复数不比大小，复数集是“无序集”（亦称“良序集”。这一点，近年来一些复变函数的书，没有加以说明），因此在复数域内就没有“夹逼准则”，没有“单有界准则”，也没有左右极限的概念，你有办法解决吗？

在实变量范围内，由，知。而在复变量范围内不再成立，具体说，而且和都是无界的。这个极限会怎么样呢？

我们知道，在实变量的情形，对用洛必达法则，可得。而洛必达法则，是作为“微分学中值定理”应用而证明得到的，在复变函数中没有“微分学中值定理”，没有洛必达法则，这个极限怎么样呢？怎么处理呢？[10-12]

这些问题，在讨论解析函数的孤立奇点及其留数时都可以解决。

本文以欧拉公式、共轭复数和几个小问题为例，想说明：第一，我们不但要学习前人所创造的知识，还要学习前人艰苦奋斗、研究创新、着重应用的精神。第二，读书时要学思想、学方法，要敢于提出问题、想问题，要接受和推广前人的结果，要敢于考虑和解决前人没有解决的问题。第三，科学家的贡献是宝贵的，但任何科学家的认识都是有历史局限性的。本文只就点滴的复变函数知识说了一点话，现在复变函数理论的应用（如在弹性理论、空气动力学等等方面），又有很多的发展，所以我们总是说学精神、学思想、学方法，要学习继承，要创新发展。

参考文献：

[1]李小平，赵旭波.利用欧拉公式解两类特殊类型函数的不定积分[J].高等数学研究，2021，24（06）：47-48.

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[4]吴延红.复变函数与积分变换课程教学与学习情况调研分析及对策研究[J].黑龙江科学，2021，12（17）：102-103.

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[7]闻国椿，杨广武，黄沙，等.广义解析函数及其拓广[M].河北：河北教育出版社，1989.

[8]赵晓辉，杨广武.讲同类，讲区别：谈关于复变函数论的教与学[J].数学学习与研究，2017（22）：7-9.

[9]赵晓辉，杨广武.复数共轭运算的推广及应用[J].江汉大学学报（自然科学版），2018，46（01）：27-30.

[10]赵晓辉，杨广武.关于微分学中值定理的一些注解和新证法[J].河北北方学院学报（自然科学版），2019，35（09）：6-10.

[11]赵晓辉，杨广武.关于勃拉希克型逼近的注记（英文）[J].黑龙江大学自然科学学报，2016，33（02）：200-204.

[12]赵晓辉，闻国椿，杨广武.一类二阶退化双曲型方程Darboux问题解的存在唯一性[J].温州大学学报（自然科学版），2017，38（03）：16-22.

课题：河北省高等学校科学技术研究课题（课题编号：ZC2023168）

作者简介：赵晓辉（1982—  ），女，汉族，河北顺平县人，硕士，讲师，研究方向：偏微分方程的函数论方法、教材教法研究；魏文英（1982—  ），女，汉族，河北邯郸人，硕士研究生，副教授，研究方向：大学数学教学改革及研究；李小敏（1981—  ），女，土家族，湖南慈利人，研究生，副教授，研究方向：大学数学教学、一般拓扑学和数学优化理论研究；杨广武（1935—  ），男，汉族，河北威县人，本科，教授，享受国务院特殊津贴，研究方向：偏微分方程的函数论方法。