除法新算理，让数学课堂更精彩

彭银航

算理和算法的关系，正如哲学中理论与实践的关系一样，算理是计算过程中的道理，侧重解决“为什么这样算”的问题；算法是计算的具体操作方法，其实也是简化了的推理过程，其基本特点就是简捷化、程式化，侧重解决“怎样算”的问题。对于学生而言，明白为什么更加重要，因为他们正处在这样的年龄，对未知充满了好奇。

新算理的背景

小学阶段的数学老师在计算教学中要想提高学生的计算能力，重点就应该引导学生弄清楚算理，才能帮助学生更加合理地应用计算法则进行计算。各版本教材在阐述除数是小数的除法算理时，使用的是商不变规律。虽然容易理解，但是也存在一些问题：一是算式本身含义的理解只注重了倍数关系而忽略了小数的特征；二是预判商和被除数的大小关系时只注重了让学生用发现的规律解决问题而忽略了本质的原因，因此我们有必要探究新的算理。在2022版新课标中，倡导培养学生的核心素养，我们更应该引导学生关注计算背后的算理，让学生多思考算式背后的深层含义，这对于培养学生的数学素养是非常重要的。

新算理的探究

从整数除法的两个基本算理出发。整数除法是学生学习除法的开始，整数除法的算理自然就成为学生理解除法最基本的算理。虽然教材中没有明确出现“等分除”“包含除”，但是教师教学用书中还是出现了相应的说明。学生课本中的练习题也出现了相应的题目，篇幅也不小，这就说明教材编委在整数除法算理这块还是很重视“等分除”和“包含除”这两个最基本的算理的。我们以6÷2=3为例，进行理解。

“等分除”的重新理解。在“等分除”的背景下，6÷2=3表示把6平均分给2个1，商表示每个1获得3。通俗地讲，6表示6个苹果，2表示有两个大盘子，1就相当于1个大盘子，那么商就表示每1个大盘子获得3个苹果，如图一。

由于每个盘子的3个苹果来自于6个苹果，那么商就来自于被除数，所以在“等分除”的前提下，我们可以说商表示除数是1时所应该获得的被除数。这种对商的理解在这里显得没有什么，可是它在小数除法以及分数除法的理解下将发挥重大作用。

“包含除”的重新理解。在“包含除”的背景下，6÷2=3表示以2为一份，6里面包含了3个2，如图二。

所以在这里商表示被除数里所包含的除数的个数，但是为了后面对小数除法的更好理解，我们有必要在解读得深一点，“6÷2”中的6和2都是以1为计数单位的，也就是说被除数和除数的计数单位要相同。用学生熟悉的整数除法算理理解小数除法，本身就很有意义，这一理解对小数除法算理的重新理解非常重要。

用“等分除”理解除数是小数的除法算理。为了便于说明，我们以2÷0.4为例来探究。相较于整数除法，在“等分除”的背景下，除数很容易看成几个几，这也是除数是小数时用“等分除”解释的困难所在。如果我们用小数的眼光看除数，那么0.4就可以看成4个0.1。这样一来，2÷0.4就可以理解为把2平均分成4份，每份是0.5，只不过这里的0.5是一个0.1获得的，如图三所示。

通俗地讲，0.4就相当于4个小盘子，0.1就是1个小盘子，10个小盘子才相当于原来的一个大盘子，那么2÷0.4的商就应该是0.5的10倍，所以2÷0.4=2÷4×10。在这里也就更加理解了商表示除数是1时所应该获得的被除数的含义。同理72÷0.36=72÷36×100，4.2÷0.021=4.2÷21×1000等。这种算理的关键在于要把除数巧妙地看成几个零点几、零点零几、零点零零几等，然后要确定几个这样的小份是1。

用“包含除”理解除数是小数的除法算理。为了对比“等分除”的解释，我们用“包含除”解释时仍然以2÷0.4为例。包含除的核心是被除数里包含了几个除数，由于直接看2里包含了几个0.4不方便，因为2表示2个1，0.4表示4个0.1，它们的计数单位不同。所以借鉴上面的经验，我们用小数的眼光看被除数和除数，0.4表示4个0.1，2表示20个0.1。为了形象理解，可以这样想，每一个0.1就相当于一个苹果，每4个0.1装一个小袋将相当于4个苹果装一小袋，那么20个0.1就相当于20个苹果，所以问2里包含了几个0.4就相当于问20里面包含了几个4。为了直观，我们用图四展示“包含除”的理解。所以“包含除”在小数除法的算理重构上主要体现在被除数和除数的计数单位统一上。

新算理的两个应用优势

通过我的大量教学实践和反思，新算理有兩大优势：一是有利于培养学生的估算能力。例如7.09÷0.52的估算，如果用“等分除”思考，可以这样想，0.52获得了7.09，而1里大约有两个0.52，所以商大约是14。如果用“包含除”思考，可以这样想，7.09大约有7个1，而每个1里大约包含2个0.52，所以7.09里大约包含14个0.52。二是有利于提高学生判断商与被除数的大小关系时的准确率。尤其是用“等分除”中提炼的商的含义去理解会更方便，例如判断1.97÷0.89与1.97的大小时，可以这样思考，0.89获得了1.97，而1比0.89大，那么1获得的一定比0.89获得的大，所以商大于被除数。再例如判断1.97÷1.09与1.97的大小，可以这样思考，1.09获得了1.97，而1比1.09小，那么1获得的一定比1.09获得的小，所以商小于被除数。课本在给学生展示判断商与被除数大小关系时，用的是让学生从几组算式中发现规律，然后记住规律，再应用规律。从心理学和教育学的角度看，通常随着时间的推移，学生容易遗忘，因为这是无意记忆。从“等分除”和“包含除”的角度思考，就不会出现类似的问题，因为这是整数除法算理的延伸。

新旧算理的联系和区别

新算理注重的是从整数除法的“等分除”和“包含除”的视角出发，通过从小数的视角把小数看成几个几，从而顺利打通小数除法和整数除法的阻隔。教材上的算理用的是商不变规律，注重的是转化思想的渗透。二者的联系和区别主要有二：其一，包含除和商不变规律都是要把除数变为整数，虽然路径不同，但是效果相同。包含除更加入微，更加叩问知识本真。在解答为什要把除数化成整数时，商不变规律显得浮于表面，而“包含除”就显得直击要害，因为要便于思考把几个几当做一份，然后才能看出被除数里有这样几份。其二，“等分除”虽然与商不变规律的解释大相径庭，但是稍作计算上的改变，最终的形式还是可以统一的。

由此看来，新旧算理不但互相补充，又具有归一原则。在今后的教学中，如果能用学生熟悉的知识实施教学，多一些知识间的串联、并联和混联，我们的教学必将丰富多彩，也会使数学素养的理念得到真正落实，在“双减”背景下也容易做到提质增效。

专家点评

结合教学实践，本文作者在原有的除法教学算理的基础上，探究出新的算理，从而丰富了学生的课堂学习。正如文中所讲到的，如果教师在教学时能够把学生熟悉的知识进行迁移，多一些“新算理”的探究和实践，那么不管是什么课堂，一定是丰富多彩的，学生也一定兴趣高涨。在新的时代背景下，希望能看到更多这样的实践，这样的课堂。