对一道调研试题的深入剖析

湖北省武汉市第二中学 (430010) 张 鹄

2022-2023学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学第12题为:

若函数f(x)=ex-1+lnx,则过点(a,b)恰能作曲线y=f(x)的两条切线的充分条件可以是( ).

A.b=2a-1>1B.b=2a-1<1

C.2a-1

试题表述简洁明了、内涵丰富,重点考查了曲线的切线、函数的零点拐点与极值点、导数放缩等知识和方法,是一道综合性强、能力要求高的导数压轴客观题.显然,这道调研试题命题与下面的高考题存在一定的关联.

(2021年新高考Ⅰ卷第7题)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( ).

A.eb

C.0

可以看出,调考试题体现了新高考Ⅰ卷试题的命题特点与风格,但在考查考生的学科素养和关键能力上要求更高,难度更大.

在高三复习教学中如何把握试题之间的内在联系以及如何发挥试题的潜在功能与价值,是复习备考中需要考虑的重要问题.为此,笔者结合试题剖析本题的思考过程.

首先,根据处理曲线的切线问题的一般解题方法设点设线进行分析.

①若g(x)在(0,+∞)上存在两个零点,则g(1)=2a-1-b>0,b<2a-1.

②若g(x)在(0,+∞)上只有一个零点,则g(1)=2a-1-b=0,b=2a-1≤-1.

③若g(x)在(0,+∞)上无零点,则g(1)=2a-1-b<0,b>2a-1.

(ii)当0

①当g(1)=2a-1-b=0即b=2a-1时,g(x)有两个零点,此时-1

②当g(1)=2a-1-b>0且g(a)=f(a)-b<0,即f(a)

③当g(1)=2a-1-b<0或g(a)=f(a)-b>0即b>2a-1或b

(iii)a>1时,令g′(x)=0,则x=a或1.

①当g(1)=2a-1-b=0即b=2a-1时,g(x)有两个零点,此时b=2a-1>1,选项A正确.当g(a)=f(a)-b=0即b=f(a)时,g(x)也有两个零点,此时b=f(a)>1.

②当g(1)=2a-1-b<0且g(a)=f(a)-b>0,即2a-1

③当g(1)=2a-1-b>0或g(a)=f(a)-b<0即b>f(a)或b<2a-1时,g(x)有一个零点.

综上所述,答案为AD.

图1

(Ⅰ)曲线存在一条切线的情形有:

①当点P(a,b)为拐点G(1,1)时,过点P(a,b)能作曲线y=f(x)的切线只有一条,即直线l;

②当点P(a,b)在直线l上且a≤0时,b=2a-1≤-1,过点P(a,b)能作曲线y=f(x)的切线只有一条,切点横坐标等于1;

③当点P(a,b)在直线l上方且02a-1,过点P(a,b)能作曲线y=f(x)的切线只有一条,切点横坐标大于0而小于1;

④当点P(a,b)在曲线y=f(x)下方且0

⑤当点P(a,b)在直线l下方且a>1时,b<2a-1,过点P(a,b)只能作曲线y=f(x)的一条切线,且切点横坐标大于1;

⑥当点P(a,b)在曲线y=f(x)上方且a>1时,b>f(a)>1,过点P(a,b)只能作曲线y=f(x)的一条切线,且切点横坐标大于0而小于1.

(Ⅱ)曲线存在两条切线的情形有:

①当点P(a,b)在直线l下方且a≤0时,b<2a-1≤-1,过点P(a,b)恰能作曲线y=f(x)的两条切线,例如图1中的过点P的切线m,n;

②当点P(a,b)在直线l上且0

③当点P(a,b)在曲线y=f(x)上且0

④当点P(a,b)在直线l上且a>1时,b=2a-1>1,过点P(a,b)恰能作曲线y=f(x)的两条切线,其中一条切线为直线l,另一条切线的相应切点的横坐标大于1;

⑤当点P(a,b)在曲线y=f(x)上且a>1时,b=f(a)>1,过点P(a,b)恰能作曲线y=f(x)的两条切线,其中一条为在点P处的切线,另一条切线的相应切点的横坐标大于0而小于1.

(Ⅲ)曲线存在三条切线的情形有:

①当点P(a,b)在曲线y=f(x)的上凸部分、直线l以及y轴所夹的阴影区域内(不含边界)(如图左下方阴影部分)时,f(a)

②当点P(a,b)在曲线y=f(x)的下凸部分的下方与直线l所夹阴影区域内(不含边界)(如图右上方阴影部分)时,2a-11,过点P(a,b)恰能作曲线y=f(x)的三条切线.

(Ⅳ)曲线不存在切线的情形有:当点P(a,b)在直线l上方且a≤0时,b>2a-1,过点P(a,b)不能作曲线y=f(x)的切线.

通过从数和形两方面对这类问题进行深入的剖析,得到本文中的调考试题与高考真题的通解通法:先画出相应的函数图像,挖掘图像背后的各种函数性质,如单调性,凸凹性等,然后再找出特殊点(如拐点)处的切线,考察切线与曲线分割的各个平面区域(含边界),过这样的每个区域及其边界的点向曲线作切线,分析并写出对曲线的切线条数构成影响的各种因素(如参数之间的数量关系).若要求对上述剖析过程进行逻辑推理,则不难结合前面图像分析过程并利用相关定理和方法对各种情形进行严格论证.