一类Z2对称三次jerk系统的zero-Hopf分支*

胡小燕，桑波

聊城大学数学科学学院，山东 聊城 252059

考虑n维自治系统

其中f充分光滑，x∈Rn为状态变量。设系统以x=x0为孤立奇点，即f(x0)= 0；进一步地，若雅可比矩阵Df(x0)具有一对非零纯虚根和一个n−2 重零根：λ1，2= ±ωi，λ3= …=λn= 0，则此奇点称为zero-Hopf 奇点。此时对系统（1）进行适当的微扰，可以分支出若干个小振幅极限环（桑波，2014；熊峰等，2017；熊峰等，2018），此现象称为zero-Hopf分支。在西班牙数学家Jaume Llibre 的推动下，目前此类分支的研究已成为热点，参见（Llibre et al.，2009；Llibre et al.，2020a；Llibre et al.，2020b；Barreira et al.，2020，Braun et al.，2021）。其中Llibre et al.（2009）运用一阶平均法讨论了n维自治系统的zero-Hopf 分支；Llibre et al.（2020b）运用一阶平均法讨论了23 类三维混沌系统的zero-Hopf 分支，由此探讨了隐藏吸引子的产生机理。需要指出的是，在微分方程定性理论和分支理论的研究中，平均法作为重要的研究工具有着非常广泛的应用（Llibre et al.，2014；李时敏等，2015）。

形如

的微分系统称为jerk系统，其中J为连续可微函数。在适当条件下，此类系统具有复杂的动力学行为，如混沌和隐藏吸引子（王震等，2017）。

对于一般二次jerk 系统，Sang et al.（2020）利用四阶平均法讨论了zero-Hopf分支，证明系统至多可分支出3 个小振幅极限环。对于一类特殊的Z2对称三次jerk 系统，Braun et al.（2021）利用二阶平均法讨论了原点处的zero-Hopf 分支，证明系统至多可分支出3 个小振幅极限环；然而此系统项数较少，本文考虑更一般的系统，从而改进已有的结果。

1 系统的构造和主要结果

令H1，H3分别表示所有齐一次多项式、齐三次多项式构成的线性空间，这里的多项式以x，y，z为变量。根据线性空间的基本理论，可验证

其中

并且Dim(H1)= 3，Dim(H3)= 10.考虑一类Z2对称三次jerk系统

这里

且ε为小参数。当ε= 0 时，系统以原点为zero-Hopf 奇点。当小参数ε≠0 时，本文利用四阶平均法讨论小振幅极限环的个数问题。需要说明的是，在J3中φk的系数只需展开到ε2.事实上如继续展开，不会影响前四阶平均函数的计算结果和极限环个数的估计。

定理1 通过分析系统（3）的二阶到四阶平均函数，可依次得到小振幅极限环个数的上界Nl：l=2，3，4，其中N2=N3= 3，N4= 5，这些上界都是可达的。

2 平均法

设D⊂ℝn为有界开区域，S1= ℝ/(2πℤ).考虑连续函数Fi：S1×D→ℝn，i= 1，2，…，k，R：S1×D×(−ε0，ε0) →ℝn；它们关于θ皆以2π为周期。

考虑方程

引理1 对于系统（4），假设其右端函数连续且满足如下条件：

（i）对每一个θ∈S1，Fi(θ，⋅) ∈Ck−i；Dk−iFi关于ξ满足局部Lipschitz 条件；R关于ξ满足局部Lip‐schitz条件，这里1 ≤i≤k.

（ii）假设f1=f2= …=fr−1= 0 且fr不恒为零，其中1 ≤r≤k；设a∈D：fr(a) = 0，且存在以a为中心的邻域V⊆D使得fr(z) ≠0，∀z∈Vˉ {a}；设dB(fr(z)，V，0) ≠0，即fr在原点的Brouwer度非零。

则当|ε| > 0充分小时，系统（4）存在一个关于θ周期为2π的解ξ(θ，ε)，使得ξ(0，ε) →a，ε→0.

注1 注 意 到 在 条 件（ii）中，a是fr在V中 唯 一 的 孤 立 零 点。根 据Krawcewicz et al.（1997），由detDfr(z)|z=a≠0，可推出dB(fr(z)，V，0) ≠0.

注2 令k= 4且引理1中条件（i）成立，则方程（4）的前四阶平均函数依次为

其中

3 标准系统

经过线性变换

和柱面坐标变换

系统（3）变为

其中

需要说明的是在H(ε，θ，r，w)中εk的系数具有规律性，这正是在第1部分给出线性空间H1，H3生成元的用意所在。

当r> 0充分小时，以θ为新的独立变量，系统（5）等价于

这里ξ=(r，w)，Fk及余项关于θ皆以2π为周期，k= 1，2，3，4.

令Fk(θ，ξ) =(Fk1(θ，ξ)，Fk2(θ，ξ))，则Fk1= −sinθFk2，且有

至此原系统（3）已变为系统（6），即符合形式（4）的标准系统。

4 主要结果的证明

利用平均函数递推公式，可得系统（6）的前四阶平均函数：

这里

其中fi关于f1= …=fi−1≡0已化简，ξ=(r，w).

由于方程f1(ξ) = 0 不存在孤立的解，使得r> 0，故当 |ε|> 0 充分小时，由一阶平均法无法得到小振幅极限环的个数信息。

引理2 当 |ε|> 0充分小时，由二阶平均法可知，系统（3）至多存在3个小振幅极限环，且此上界是可达的。

证明在计算第二阶平均函数（8）时，已置f1(ξ) ≡0.方程f2(ξ) = 0的孤立解对应系统（3）的小振幅极限环。

令f2(ξ) =(f21，f22)T.注意到r> 0，由f21= 0得到

代入f22得

由于f22关于w至多有3个零点，所以方程f2(ξ) = 0至多存在3个简单解。根据引理1，系统（3）至多存在3个小振幅极限环。

当a22c20< 0，(a32c90−a22c100)(c20c100−c90c50)> 0，(a22c50−a32c20)(c20c100−c90c50)> 0 时，方程f2(ξ) =0关于ξ=(r，w)具有3个简单解(ri，wi)，其中

根据引理1，此时系统（3）恰有3个小振幅极限环。

引理3 当 |ε|> 0充分小时，由三阶平均法可知，系统（3）至多存在3个小振幅极限环，且此上界是可达的。

证明在计算第三阶平均函数（9）时，已置f1(ξ) =f2(ξ) ≡0.由于f3(ξ)与f2(ξ)具有相同的代数结构，仿照引理2的证明过程，此引理得证。

引理4 当 |ε|> 0充分小时，由四阶平均法可知，系统（3）至多存在5个小振幅极限环。

证明在计算第四阶平均函数（10）时，已置f1(ξ) =f2(ξ) =f3(ξ) ≡0.

在（10）中，令f42= 0，得到如下两种情形：

（I）w= 0，

考虑情形（I），将w= 0代入f41可得f41=rM(r2)，其中M(r2)是关于r2的二次多项式。由于r> 0，所以f4(ξ) = 0关于ξ=(r，w)至多存在2个简单解，满足r> 0，w= 0.

对于情形（II），将w2的值代入f41可得

其中N(r2)是关于r2的三次多项式。由于r> 0，所以对于情形（II），f4(ξ) = 0关于ξ=(r，w)至多存在3 个简单解。

综合以上两种情形，f4(ξ) = 0 关于ξ=(r，w)至多存在5 个简单解，满足r> 0.根据引理1，系统（3）至多存在5个小振幅极限环。

推论1 当 |ε|> 0充分小时，由四阶平均法可知，系统（3）可以存在5个小振幅极限环。

证明在引理4的证明中，为叙述方便，我们引入记号M(r2)，N(r2).它们的定义为

其中

容易看出这些系数是线性无关的。而n3，n2，n1，n0中部分系数非常复杂，在此不一一列出；可以证明{n3，n2，n1，n0}是线性无关的。基于系数的线性无关性，在适当的系数条件下，f4(ξ) = 0 关于ξ=(r，w)存在5个简单解，满足r> 0.从而引理4中小振幅极限环个数的上界5是可以取到的。

定理1的证明综合引理2～4 和推论1 的结果，即可得到定理1 的结论：利用二阶到四阶平均法，可依次得到小振幅极限环的最大个数N2=N3= 3，N4= 5，且这些上界都是可达的。