红细胞超弹性变形特性的有限元分析

王颖 桑建兵 马钰 付博伟

摘要 人类健康的红细胞具有较强的变形能力，对其力学性能进行研究并揭示其变形机理是生物力学领域重点关注的课题之一。论文采用SolidWorks软件建立了双凹形红细胞的三维有限元模型，并对其光镊拉伸过程和原子力显微镜纳米压痕过程进行了有限元仿真，分別得到了红细胞整体和局部的变形特征与应力分布规律。细胞膜的本构模型采用neo-Hooken超弹性材料，基于神经网络对细胞膜的本构参数进行了预测，得到了能够准确描述细胞膜变形行为的材料参数。研究结果可以用来对红细胞的变形能力进行评估，所搭建的神经网络模型能够较好地为生物力学的实时多尺度预测提供技术上的支持。

关 键 词 红细胞；超弹性；有限元模拟；神经网络；力学性能

中图分类号 Q27     文献标志码 A

Finite element analysis of hyperelastic deformability of

red blood cell

WANG Ying， SANG Jianbing， MA Yu， FU Bowei

（School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）

Abstract Human healthy red blood cells have strong deformability. It is one of the key topics in the field of biomechanics to study their mechanical properties and reveal their deformation mechanism. In this paper， the three-dimensional finite element model of double concave red blood cells is established with SolidWorks software， and the finite element simulation of the stretching process of optical tweezers and AFM indentation process are carried out， and the whole and part of deformation characteristics and stress distribution law of red blood cells are obtained respectively. The constitutive model of cell membrane uses neo-Hooken hyperelastic material. Based on neural network， the constitutive parameters of cell membrane are predicted， and the material parameters that can accurately describe the deformation behavior of cell membrane are obtained. The results can be used to evaluate the deformability of red blood cells. The neural network model can provide technical support for real-time multi-scale prediction of biomechanics.

Key words red blood cell; hyperelastic; finite element analysis; neural network; mechanical properties

0 引言

人类红细胞是通过血管输送氧气的主要工具，通过清除血液中的废物而起到免疫系统的作用[1]。平均直径约为8 μm的正常红细胞呈两面中间凹的双凹形，使其能最大限度地吸收周围的氧气。在人体内循环时的典型寿命为3个月[2]，期间不断通过直径小于其一半的狭窄血管[3]，这就要求红细胞具有足够的柔韧性。细胞膜由磷脂双层、细胞骨架和跨膜蛋白组成，细胞膜的结构和性质对红细胞的变形能力有很大的影响，这取决于细胞骨架的抗拉伸和抗剪切能力以及双层的抗弯曲能力[4]。许多与血液相关的疾病与红细胞的几何结构和膜特性的变化有关，影响红细胞的变形能力。因此，研究红细胞的弹性和变形性能具有重要意义，这是研究红细胞微观力学性能的基础。考虑到神经网络在生物力学中材料参数预测上的广泛性，本研究将神经网络算法用于对红细胞膜材料参数的预测上。1972年，Evans等[5]估计了悬浮在不同渗透压溶液中红细胞的平均横截面形状，并给出了红细胞的平均双凹形状函数。2003年，Dao等[2]在三维有限元分析框架内，通过对弹性和粘弹性行为的几种不同本构关系，分析了细胞在加载和释放光力时的力学响应，以提取细胞膜的弹性特性，将实验和计算分析的结果与其他独立实验技术获得的有关红细胞机械响应的信息进行了比较。2017年，Barns等[6]用AFM压痕法和粗粒法研究了红细胞的力学性能。2018年，Liu等[7]使用机器学习方法估计主动脉壁的体内本构参数，利用有限元仿真的数据集，建立了两个加载形状与本构参数之间的非线性关系。本文用有限元法对红细胞受光镊拉伸及AFM压痕进行有限元仿真，并结合神经网络算法研究双凹形红细胞基本变形能力。

1 红细胞有限元模型的建立

1.1 用于光镊拉伸的红细胞模型

1972年Evans和Fung从实验观察中总结归纳了有关红细胞形状的几何数据，归纳出人类红细胞的双凹形形状函数[5]：

该函数有4个可调参数（R0，a0，a1，a2）， R0是細胞的平均半径，其他3个参数的具体值取决于红细胞的状态[5]。本模块选取a0，a1，a2值分别为0.207 161、2.002 558和-1.122 762的正常双凹形红细胞进行研究。

基于红细胞几何形状和加载条件的对称性，将计算模型简化为半。不可压缩的固体壳单元被用于创建膜的截面特性并生成了11 900个网格单元。利用基准面切割出代表细胞与硅微珠接触的椭圆区域。由于接触面积的特殊性，在其上设置了密度较大的网格，如图2所示。虽然实验中用计算机软件可以很容易地控制光镊的强度和位置，但在有限元模拟中建立位移边界条件很难使结果收敛。因此，在光镊拉伸过程中，通过在建立的与椭圆区域耦合的参考点上施加位移边界条件，来模拟红细胞受径向拉伸的动态特性。在之前的研究中，细胞质流体被建模为牛顿不可压缩流体，由不可压缩Navier–Stokes方程描述[8]。本研究利用ABAQUS中流体腔的函数模型来实现红细胞膜和细胞质之间的液固耦合模拟。假设腔体完全由具有相同性质和状态的流体填充，考虑到流体（细胞质）和结构（细胞膜）之间的相互作用和耦合，空腔中的流体行为可以基于液压或气动模型。由于水力模型可以模拟几乎不可压缩的流体行为，因此选择类型为流体腔的相互作用来模拟细胞质，并参考人体血液密度将腔内流体密度设置为1 g/cm3。

1.2 用于AFM压痕的红细胞模型

为了探索红细胞在局部区域的变形能力，提出了一种检测红细胞局部变形能力的实验方法，即原子力显微镜（AFM）压痕法。与光镊拉伸法研究红细胞的整体变形能力相比，AFM压痕法可以进一步了解膜性能是如何控制红细胞的物理行为的。AFM压痕技术是一种相对较新的技术，它包括一个悬臂探针，用于向试样施加位移，利用悬臂梁的刚度特性可以测量引起试样变形的力。为了对细胞进行有效的压痕，细胞必须粘附在基底上，以防止它们从探针下方滑出。当细胞粘附于基底时，红细胞的表面出现圆顶形[6]。AFM压痕是一种相对较新的技术，它包含了在测量位移的同时将力施加到样本上的悬臂式探针。传感器能够测量从悬臂反射的激光束的偏转，以此检测出探针的位置。利用悬臂的刚度特性可以对引起样本变形的力进行测量。为了进行压痕，细胞必须粘附在基底上，以防止它们从探针下方滑出。一旦粘附，红细胞表面可呈现穹顶形状或双凹形状[9]。AFM压痕研究的另一个主要考虑因素是探针形状的选择，在以往的研究中，锥形[10]，金字塔形[11，13]和球形尖端[9，14]的探针用于研究红细胞的力学性能。探针的尺寸也有很大的变化，锥形和金字塔形探针尖端的半径在10～50 nm[11]之间，球形探针的直径在6～15 μm[9]之间。锥形和金字塔形探针能够精准地靶向细胞膜的特定区域，然而，它们尖锐的顶端将集中力作用于细胞膜上，使膜超出生理极限，导致渗透和破裂，球形探针可以克服这些风险，因为其表面光滑[10]，因此本次有限元建模中选用球形探头直接加力到细胞膜上。为了验证有限元模拟结果的正确性，有必要与实验结果进行比较。Barns等[6]用AFM压痕和粗粒度法研究了红细胞的力学性能，本研究在ABAQUS中对红细胞的AFM压痕进行有限元模拟，并与Barns等人用粗粒度法研究的结果有较好的吻合。Barns等[6]的研究报告中红细胞粘附时的共聚焦图像（图3）显示，当红细胞粘附在基质上时，与基质的接触直径约为8 μm，此时红细胞的高度约为2 μm，细胞顶部呈穹顶状。本研究在ABAQUS中建立了相同大小和形状的用于AFM压痕的红细胞的有限元模型（图4）。为了与Barns的实验结果对比从而对本文建立的模型以及有限元结果的正确性进行验证，本次模拟中使用与Barns的实验中相同直径（5 μm）的球形探针，考虑到在压痕过程中，只有探针的顶部与红细胞有接触，因此只取探针顶部的球形区域进行建模。如图4所示，在红细胞模型上生成了16 248个不可压缩的实体壳单元。

2 基于神经网络红细胞本构参数的预测

复杂的非线性映射人工神经网络是由大量神经元连接而成的网络，通过对人脑的抽象、简化和模拟，反映人脑的基本特征。神经网络是基于网络结构的机器学习方法的一个分支，其动机是建立和模拟人脑的神经网络进行分析和学习。它已经成功地应用于各个领域，包括语音或图像识别[12-13]、新药设计医学[14]、多模态数据融合[15] 和计算机视觉[16]。深度学习的本质是通过构造隐含层多、训练数据量大的机器学习模型来学习更多有用的特征，最终提高分类或预测的精度。复杂的非线性关系往往难以用传统的数理方法描述，输入和输出数据之间的映射规则可以在学习阶段自动抽取并分布存储在网络的所有连接中，这使得设计合理的神经网络能够以任意精度逼近。

本研究中完整的利用人工神经网络的预测过程主要包括以下步骤。

1）收集训练集：由于细胞膜的超弹性是决定红细胞变形能力的一个重要因素，在以往的许多对红细胞力学性能的研究中，均采用应变能密度函数来刻画细胞膜的非线性弹性，并将其视为新胡克超弹性材料。根据ABAQUS分析用户指南，新胡克应变能势的形式为

式中：U是应变势能；C10和D1是材料参数，Jel是弹性体积比；I1为材料中的扭曲度量。在不考虑温度的情况下，ABAQUS中只需要设置2个参数（C10和D1）。考虑到材料的不可压缩性，D1的值被设置为零。通过将有限元模拟结果与M.DAO等实验数据的初步拟合[2]，得到了C10的初始值为75 Pa。因此，将作为网络输入的材料参数C10的取值范围设定为65～85 Pa之间，步长为0.1。将上述范围内的201个C10逐个输入到ABAQUS中并通过计算得到201组能反映红细胞变形的拉伸力，作为网络的输出。在TensorFlow中利用神经网络探索材料参数C10与拉伸力之间的映射关系，当输入Dao等人实验曲线上正确的一组拉伸力时，便可得到与其对应的材料参数。

2）网络结构的设计：确定网络的层数和每一个隐藏层的节点数以及激活函数，和输出层的激活函数与损失函数。在网络设计过程中，确定隐藏层中的单元数是非常重要的。隐藏层中单元过多会增加网络计算量，导致过拟合问题。如果单元数量太少，网络性能会受到影响，无法达到预期效果。网络中隐藏层单元的数量直接关系到实际问题的复杂性、输入输出层单元的数量以及预期误差的设置。目前还没有明确的隐层单元数计算公式，只有一些经验公式。本文采用以下经验公式选取了隐层单元数。

式中：n和m分别是输入层和输出层中的单位数；a是介于1和10之间的常数。通过上述方程的计算，隐层1和隐层2的单元数分别为10和8。

3）本文采用多输入单输出包含2个隐层的4层BP神经网络建立了预测模型。本研究中使用的神经网络的结构如图5所示。

由于21个力值相差较大，为了使数据具有可比性，首先将数据进行预处理，将其归一化，避免大数值区间的属性过分支配了小数值区间的属性，保证程序运行时收敛加快。选用前150组数据作为训练集，后50组数据作为测试集用来评估模型。训练前运行初始化代码来初始化所有的变量，将模型训练100 000次，输出测试和训练的损失值，并预测出C10的值为68.1 Pa。从图6可以看出，随着训练次数越来越大，训练的损失值逐渐减小并趋近于0，表明神经网络模型有较好的训练结果。

3 对红细胞受变形的有限元模拟

3.1 红细胞受光镊拉伸的有限元模拟

在后处理过程中，红细胞的一半模型被镜像为整体模型以便更直观地表达其变形情况。

从图7的Mises应力云图可以看出，在距离与硅微珠接触越近的部位应力越大。图8b）将有限元模拟的结果与Dao的实验结果放在一起进行对比，可以看出模拟的结果与实验结果较为吻合，证明了所预测的本构参数C10的正确性。

考虑到细胞质对红细胞受光镊拉伸，表1给出了当拉伸位移为4 μm时，有无细胞质的红细胞形态上的变化。从图8b）中可以看出，无论细胞内是否含有细胞质，红细胞在拉伸过程中轴向直径上的变化没有明显差异。然而，由于细胞质的支撑力，在相同拉伸力下，不含细胞质的细胞在横向上的直径略有收缩。

3.2 红细胞受AFM压痕的有限元模拟

红细胞膜的本构模型和本构参数与用于拉伸有限元模拟中的红细胞模型一致，采用新胡克超弹性材料，材料参数C10设置为68.101 19 Pa，D1设置为0。考虑到圆形探针的刚度和硬度远大于细胞膜的刚度和硬度，设置其为一个不可变形的刚体。由于在实验中红细胞粘附在基质上，有限元模拟中，在设置边界条件时，将红细胞与基质接触的底部完全固定，并在球形探针上施加200 nm垂直向下的位移，探讨红细胞在AFM压痕下的局部变形机制。

如图10a）所示，在ABAQUS中模拟红细胞受压痕与Barns的粗粒度法进行对比，曲线重合度较高，模拟的结果较为接近，进一步验证了所建立的红细胞本构模型和本构参数的正确性，在此基础上采用不同直径探针对红细胞进行压痕实验的有限元模拟，以探索探针直径对红细胞压痕的影响。使用直径在1～8 μm之间变化的球形探针对顶部出现穹顶形的红细胞进行压痕实验的有限元模拟，压痕力-压痕深度曲线如图10b）所示。从图10b）中可以看出，在小压痕深度处（约100 nm），当探头尺寸改变时，所施加的压痕力变化可以忽略不计。然而，当压痕深度超过100 nm时，施加的力有明显的变化，较大的探针需要更多的力量来使细胞变形。这一趋势只有在较大的压痕深度时才会发生显著的变化，是由于细胞和探针之间的接触面积逐渐变大，此时凹面逐步形成，细胞膜开始形成探针的形状（见图10b）），更大直径的探针通过这一阶段出现更大的接触面积，这意味着需要施加更大的力来使细胞变形。

4 结论

红细胞承担着对人体运输氧气和养分的功能，红细胞变形能力的下降会增加其通过极细的毛细血管的难度，对整个血液循环的流畅性造成威胁。因此本研究以红细胞为研究对象，对人类正常双凹形红细胞的力学性能进行研究和分析。为了研究红细胞的变形机理，分别建立用于光镊拉伸和AFM压痕的有限元模型，根据红细胞的变形特征和机理，引入能够准确反映其变形特征的neo-Hooken本构模型，并结合神经网络算法，捕捉有限元算法所确定的底层映射，对本构参数C10进行预测。神經网络训练的损失值接近于0，C10的预测值为68.1 Pa。在此基础上探索红细胞的整体和局部变形能力，得到了红细胞在全局和局部水平的变形机理。研究每种抗变形机制有助于理解它们在红细胞物理行为中的作用和重要性，反馈到用于防止变形能力损失的策略中，对血液病的临床诊断具有重要意义。

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