基于CST参数化的导弹三维几何建模方法

关通 陈鹏云 沈剑 张国兵 马英琪

引用格式：关通，陈鹏云，沈剑，等.基于CST参数化的导弹三维几何建模方法［J］.航空兵器，2023，30（1）：59-63.

GuanTong，ChenPengyun，ShenJian，etal.3DGeometricModelingBasedonCSTParameterizationforMissiles［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：59-63.（inChinese）

摘要：针对建模效率低、成本高的问题，本文在二维CST参数化方法的基础上，引入纵向轮廓描述函数，将原二维建模向三维建模扩展，建立能够准确描述导弹三维形状特征的解析函数。在此基础上，通过在VB环境中对CATIA进行二次开发，使其能够在CATIA中进行自动生成、修补和更新。几何模型可以被导出和保存，并作为多学科设计与分析的基础。结果表明，本文提出的三维CST建模技术可以满足复杂几何建模的要求，有效简化了导弹参数化过程。

关键词：CST参数化；CATIA二次开发；类别函数；形状函数；参数化建模；导弹

中图分类号：TJ760

文献标识码：A

文章编号：1673-5048（2023）01-0059-05

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0101

0引言

实时快速的几何形状建模是实现导弹多学科设计优化的关键技术之一，其建模速度和建模质量关系着多学科主模型的设计周期和设计质量［1-4］。适用于导弹外形优化的参数化方法应该具备生成效率高、表达直观等特点。传统的几何外形建模没有建立几何参数和属性的关系，当几何参数改变时，模型需要重新进行绘制，这种建模方法效率低、成本高，且对几何模型中的某些曲线没有精确的描述，造成几何建模误差大。因此，如何快速准确地生成导弹的几何模型是必须解决的问题，几何形状参数化技术为此提供了一个有效的解决方法。

导弹的几何形状参数化设计是指用一组外形参数来比较精确地描述几何外形，通过修改这些外形参数中的一个或多个，自动完成导弹外形的改动。传统的几何外形参数化建模主要有CAD方法、特征参数描述法、样条方法以及二次拟合方法。直接采用CAD方法对于复杂几何模型很难进行准确描述。周超［5］将导弹的所有特征参数提取出来，通过建立特征参数与部件的关系，从而完成导弹的参数化几何建模。张以良等［6］采用贝塞尔曲线拟合方法，通过改变控制点的位置，实现几何形状的改变。但是随着控制点数量的增多，该方法对曲线形状的控制能力也变弱。王超等［7］采用均匀有理B样条曲线方法对径向进行拟合，实现参数化建模。刘丽娜等［8］用有限个设计函数进行线性叠加，通过设置各个函数的权重，实现翼型的参数化建模。虽然这些方法能够有效描述几何形状，但是涉及到的参数比较多，计算量大，不利于进行多学科设计与优化。

针对上述问题，Kulfan等［9-11］提出了一种基于形状函数/类别函数变换的二维截面参数化方法（ClassFunction/ShapeFunctionTransformation，CST）。由CST参数化方法中的类别函数生成几何形状的基本外形，再通过改变形状函数中Bernstein多项式系数的权重进行模型修正，从而得到需要的几何形状。该方法涉及到的参数具有明确的外形几何意义，能够产生连续光滑的几何模型，同时参数较少、可控性高，能够快速生成各种复杂的二维截面图形，鲁棒性好。但CST参数化方法仍然以二维几何模型为主，对三维几何建模的应用较少。

本文在二维CST参数化方法的基础上，引入纵向轮廓描述函数，再将各个特征部件通过部件组合的方式组合起来，通过应用VB编程语言和CATIA的二次开发技术，实现导弹外形的参数化设计，为导弹多学科设计与分析奠定基础。

1二维CST参数化方法

二维CST参数化方法是通过形状函数与类别函数相乘得到翼型的基本形状［12-13］。类别函数组成基本形状，

形状函数对其进行修改，最终得到二维几何模型。二维CST参数化的数学表达式为

ζU，L（ψ）=±ψN1·（1－ψ）N2·∑ni=0A·ψi+ψ·ζT（1）

式中：ψ=x/c，ψ∈［0，1］，ζ=z/c，ζT=zT/c，x为x轴坐标，z为z轴坐标，c为弦长，zT为后缘点的坐标，当ψ·ζT=0时，翼型为封闭的；ζ为相对厚度；ψ为归一化的单位x轴长度；ψ为圆鼻翼型；（1－ψ）为一个尖的后缘翼型。

定义类别函数：

CN1N2（ψ）=ψN1·（1－ψ）N2（2）

式中：N1，N2为几何形状的类别参数。

通过改变几何形状的类别参数，可以得到不同的剖面形状，如图1所示。当N1=0.5，N2=1.0，基本形状为NACA型的圆鼻剖面；当N1=0.5，N2=0.5，基本形状为椭圆形；当N1=1.0，N2=1.0，基本形状为双凸尖头型；当N1=1.0，N2=0.001，基本形状为锥形。

定义形状函数：

S（ψ）=ζ（ψ）－ψ·ζTψ·（1－ψ）（3）

该項为幂级数，可以用来表示任何满足所需形状的解析函数。

因此，前缘表示为

S（0）=2RLE/c（4）

后缘表示为

S（1）=tanβ+△ZTE/c（5）

对于闭合剖面，当S（ψ）=1，此时剖面形状与类别函数生成的基本形状一致。

引入Bernstein多项式，对于n阶Bernstein多项式，有

S（ψ）=∑ni=0biKr，nψr（1－ψ）n－r（6）

式中：Kr，n=nr=n！r！（n－r）！；b=（b0，b1，b2，…，bn）为权重因子。

通过对Bernstein多项式中的各个项进行加权，可得各种各样的几何形状。当bi=1时，即为单位形状函数。

当已知几何形状的m个坐标点时，可以采用最小二乘法，将m个坐标点代入线性方程组：

ζ0（ψ0）ζ1（ψ0）…ζn（ψ0）ζ0（ψ1）ζ1（ψ1）…ζn（ψ1）ζ0（ψm）ζ1（ψm）…ζn（ψm）b0b1bn=ζ（ψ0）ζ（ψ1）ζ（ψm）（7）

式中：ζi（ψ）=CN2N1（ψ）Kin（ψ）i（1-ψ）n-i。

求解线性方程组（7），可得权重因子b=（b0，b1，b2，…，bn），进而可以得出符合建模要求的几何形状解析函数。

二维CST参数化方法只能够描述模型二维剖面结构，只有在剖面结构的基础上，通过CAD软件建立展向特征参数与部件的关系，才能够实现三维几何模型建模。但是该方法涉及到的参数较多，同时不能够准确描述三维模型上下表面的特征。因此，在二维CST参数化方法的基础上引入纵向轮廓描述函数，用于描述三维模型。

2三维CST描述方法

基于二维CST参数化得到翼型解析函数：

ζu，L（ψ）=±（ψN1·（1－ψ）N2·

∑ni=0biKr，nψr（1－ψ）n－r+ψ·ζT）（8）

对于三维几何模型，可以将其看成一系列沿纵向的剖面的集合。通过在不同的纵向位置处使用不同的形状函数，进而确定一个解析形状函数面，最终得到整个外形的解析函数。因此在二维CST参数化方法的基础上，引入纵向轮廓描述函数，得到三维几何模型的解析函数。

将式（8）中的权重因子b沿纵向展开，令

bi=CM1M2（η）S（η）+η·ζM（9）

式中：η=x/L，η∈（0，1），L为纵向展长。将式（9）代入式（8），可得

ζu，L（ψ，η）=±（∑ni=0∑mj=0bi，jSyj（η）Sxi（ψ）·CN1N2（ψ）·CM1M2（η）+△ζM，N（ψ，η））（10）

式中：bi，j为三维几何模型表面的权重因子;b=（m×n），m，n分别为相对y轴和x轴展开的Bernstein多项式阶数；Syj（η）=Kj，mηj（1－η）m－j；Sxi（ψ）=Ki，nψi（1－ψ）n－i。

因此，三维几何模型的上下表面形状由N1，N2，M1，M2和b来控制，表面控制点数为（n+1）×（m+1）个。由于式（10）中的ψ和η都归一化，ψ∈［0，1］，η∈［0，1］，不能够描述y坐标与η和ψ之间的关系，故对y轴引入控制方程。

对于具有对称结构的三维几何模型，y轴的控制方程为

y（ψ，η）=CT1T2（η）∑wt=0bt·ST（η）·（1－2·ψ）（11）

将式（11）转换到全局坐标系下，三维CST参数化外形曲面可表示为

X（η）=η·L

Y（ψ，η）=CT1T2（η）∑wt=0bt·ST（η）·（1－2·ψ）·（W/2）

ZU，L（ψ，η）=±（CN1N2（ψ）·CM1M2（η）∑ni=0∑mj=0bi，jSyj（η）·

Sxi（ψ）+△ζM，N（ψ，η））·（H/2）（12）

式中：η∈［0，1］;ψ∈［0，1］。

假设L=W=H=1，令形状函数S=0.52·N1，类别函数参数N1=N2=M1=M2=T1=T2=0.001，则可得到一个单位立方体，如图2所示。

通过改变类别函数的参数，可得到不同的关于y=0对称的三维几何模型，如图3所示。

对于机翼等非对称的三维模型，y轴的控制方程为

y=c（η）·ψ+η·tanα（13）

式中：α为机翼前缘与x轴的夹角；c（η）为η处的弦长。通过改变α的大小可以控制机翼前缘的倾斜程度，通过改变c（η）的大小可以控制后缘的倾斜程度。

将式（13）转换到全局坐标系下，可得

X（η）=η·LY（ψ，η）=c（η）·ψ+η·tanα·WZU，L（ψ，η）=±（CN1N2（ψ）·CM1M2（η）∑ni=0∑mj=0bi，jSyj（η）·

Sxi（ψ）+△ζM，N（ψ，η））·（H/2）（14）

机翼的三维几何模型，如图4所示。

3CATIA的二次开发

CATIA本质上是一个OLE自动化对象服务器，CATIA对象可以有多种方式进行访问［14-16］，目前主要访问方式有两种：一种是在进程内进行访问，另一种为进程外的。進程内访问即脚本和CATIA在同一进程内运行，由CATIA的脚本引擎来解析执行宏脚本命令，在进程内一般通过VBScrip语言或VBA语言。进程外访问是通过COM接口来访问CATIA内部对象，可以在VB程序中嵌入访问。本文选用VB程序采用进程外的方式对CATIA进行二次开发。

进程外访问CATIA对象，实现CATIA的自动启动是二次开发中的最基本部分。

CATIA二次开发的流程如图5所示。首先通过计算得出三维几何模型的坐标。通过将这些坐标点读取到CATIA中，再借用CATIA强大的曲面功能，可以生成三维几何外形，在此基础上进行其他学科的分析。当参数发生改变时，几何图形的坐标点发生变化，VB程序自动进行模型的更新与导出，实现整个流程的自动化。

4算例验证

为了验证本文方法的实用性，将某导弹结构分为头身组合体、舵面两部分，采用三维CST参数化建模方法建立了导弹的各个部件，其主要几何外形控制参数如表1所示。

在此基础上，采用部件组合的方法将各部分相互组合，得到导弹的三维几何模型，如图6所示。

但是在组合时，舵面和弹体之间会产生一定的缝隙，因此不能直接用于后续学科的分析。借助CATIA强大的曲面构造能力，将导弹的坐标点读入到CATIA中，利用VB语言，可以在CATIA中自动生成导弹模型，并对产生的缝隙进行自动修补，如图7所示。该模型可以保存并导出，直接进行其他学科的分析。

在此基础上，对导弹的精度进行拟合，拟合精度用上下表面纵坐标的标准差进行衡量：

σ=∑ni=1（yi－y0i）2/（n－1）（15）

式中：σ为标准差；yi为CST参数化拟合后的纵坐标；n为坐标点的个数。

对导弹纵截面进行拟合，拟合结果如图8所示。拟合后的标准差为6.1036×10-6。结果表明，三维CST参数建模拟合精度能够满足三维几何建模要求。

5结论

本文在二维CST参数化的基础上，引入纵向轮廓描述函数，得到用于描述导弹各个特征部件的三维解析函数，通过部件组合的方法将各部件进行组合，最后通过对CATIA进行二次开发，实现了对导弹的参数化建模。该几何模型可以导出和保存，并作为其他学科分析的基础。本文研究可以得到以下结论：

（1）本文提出的三维CST参数化建模能够方便地得到几何模型的解析函数，所需要的参数少，可以满足不同形状的建模要求。

（2）通过将各种部件进行组合，可以得到一个复杂的三维几何模型。该方法可以快速、稳定地构建各类导弹的外形。

（3）三维CST参数化建模方法与CATIA二次开发相结合，能够自动进行模型的修补与更新，实现整个流程的自动化，并进行后续的多学科分析与优化。

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3DGeometricModelingBasedonCSTParameterizationforMissiles

GuanTong，ChenPengyun*，ShenJian，ZhangGuobing，MaYingqi

（NorthUniversityofChina，Taiyuan030051，China）

Abstract：Aimingattheproblemoflowefficiencyandhighcostofmissilemodeling，thispaperintroduceslongitudinalcontourdescriptionfunctiononthebasisof2DCSTparameterizationtechnology，extendstheoriginal2Dmodelingto3Dmodeling，andestablishesananalyticalfunctionthatcanaccuratelydescribethe3Dshapecharacteristicsofthemissile.Onthisbasis，thegeometricmodelcanbeautomaticallygenerated，repairedandupdatedinCATIAthroughsecondarydevelopmentinVBenvironment.Geometricmodelscanbederivedandpreservedasabasisformultidisciplinarydesignandanalysis.Theresultsshowthatthe3DCSTmodelingtechnologyproposedinthispapercanmeettherequirementsofcomplexgeometricmodeling，effectivelysimplifythemissileparameterizationprocess.

Keywords：CSTparameterization；CATIAsecondarydevelopment；classfunction；shapefunction；parametricmodeling;missile

收稿日期：2022-05-19

基金項目：国家自然科学基金项目（51909245;62003314）；航空科学基金项目（2019020U0002）；

山西省基础研究计划（201901D211244;202103021224187）

作者简介：关通（1997-），男，山西临汾人，硕士研究生。

*通信作者：陈鹏云（1987-），男，山西太原人，博士，副教授。