运用整系数多项式理论判断无理数

赵汝菊　梁佳铭　罗洁

关键词：整系数多项式；无理数；有理根

1概述

由于同一个一元多项式在不同数范围内的解有所不同，从而有了域论的发展。随着数的发展，多项式理论的完善得到了许多求解多项式根式解的有效方法。首先，在一个非空集合中定义一个满足结合律、交换律、具有零元和每个元素具有负元的加法运算，则该非空集合在加法运算下构成一个加群。进而，在该非空集合上定义一个满足结合律、乘法对加法相容的乘法运算，则该非空集合在加法运算和乘法运算下构成一个环。最后，在该非空集合上定义数乘运算，且乘法运算与数乘运算要相容，则该非空集合在加法运算、乘法运算和数乘运算下构成一个结合代数。因此，数域上的一元多项式全体构成的集合在定义的加法运算、数乘运算和乘法运算下构成具有单位元的交换的结合代数，称为一元多项式代数。

对于数域上的一元多项式，在中学数学学习阶段，我们已经学习了二次一元多项式的求根公式。在高等代数的学习过程中，我们常常会遇到三次以及更高次的一元多项式，三次和四次的一元多项式同样也有公式解（分别称为Cardano公式和Ferran法），但是一元五次多项式未必有公式解，详见参考文献。数域上的一元多项式有根式解当且仅当这个多项式的伽罗瓦群是可解群。数域上的多项式的根式解的研究比较复杂，考虑到大学生的学前背景，在高等代数课程中只研究了一元整系数多项式的根。

求解任意一个一元整系数多项式在给定的数集范围内的所有根还是非常困难的。众所周知，一个整系数多项式在给定的数域范围内无解，但是在包含给定数域的一些数域范围内可能有解，并且在复数域上是完全可解的。由于有理数域是最小的数域，复数域是最大的数域，因此可以研究一元整系数多项式在有理数域上的根，即有理根。Gauss引理和Eisenstein判别法通过一元整系数多项式的最高次项系数和常数项系数给出了所求解的一元整系数多项式可能存在的有理根，详见参考文献。进而，把可能存在的有理根代入所求解的一元整系数多项式进行验算，如果等式成立，则为有理根，反之则为无理根。然而，随着所求的一元整系数多项式的最高次项系数和常数项系数的因数越多，验算过程中计算量会增大。

一元整系数多项式在日常生活中有很多应用，也可以应用于其他学科领域。例如，平分圆周和三大尺规作图古典问题：三等分角问题、立方倍积问题和化圆为方问题。把n等分圆周的问题，转化成一个n次的一元整系数多项式的求根问题，把求得的根转化成平面上的点坐标，坐标上的点把圆进行了n等分。关于三大尺规作图问题，利用倍角公式和已知条件的关系式，把尺规作图问题转化成一元整系数多项式的根式解问题，运用域论理论证明三等分角问题、立方倍积问题和化圆为方问题都是尺规作图不能问题。

一元整系数多项式理论不仅可以求解多项式的根和解决几何中的相关问题，也可以用来判断一个实数是否为无理数。参考文献给出了√2无理数的几种证明方法，参考文献给出了根式和对数无理数的一些判定。根式无理数、对数无理数和三角函数无理数都是我们常见的几类无理数，如何去判断这些无理数，也有很多方法，例如定义法、数论理论法和多项式理论法等。

以上三类无理数的判定中，如果运用定义法，很大程度需要借助计算器，并且不具有数学的逻辑严谨性，因此一般不采用定义法去判断一个实数是否为无理数。如果运用数论理论法，对于一些结构复杂的根式或者对数无理数，需要很强的逻辑思维，学生往往很难理解和掌握。运用一元整系数多项式有理根法，首先要构造一个以该实数为根的一元整系数多项式，运用一元整系数多项式有理根的理论，判断所构造的一元整系数多项式是否有有理根，如果没有有理根，则该数即为无理数，反之则为有理数。相比前两种判断方法，一元整系数多项式有理根法是一种非常有效的方法，并且容易让学生理解和掌握，但对于结构复杂的无理数，如果构造的一元整系数多项式次数高，计算量也会有所增大。

由于多项式理论是中学数学与高等代数课程的衔接内容，对学生后继的学习起到引导和启发的作用，因此在教学过程中，应该把抽象的数学问题简单化，并且归纳总结，使学生容易理解和接受。不仅要把抽象的数学问题简单化，还要用来解决实际问题，体现数学学习的实际意义，让学生在掌握知识和提高逻辑思维能力的同时，体验学习数学的樂趣。

本文主要运用一元整系数多项式有理根的理论，判断根式无理数、自然对数无理数和三角函数无理数。这为以上三种无理数的判定提供了一种可行性的方法，并且容易使学生理解和掌握。一题多解，通过方法的比较，提高学生逻辑思维能力和探究式学习的能力，从而激发学生学习数学的兴趣。

本文所研究的整系数多项式都为一元整系数多项式。为了判断一个实数是否为无理数，下面首先给出两个一元整系数多项式有理根的相关定理。

2无理数判定

在实数中不是有理数，就是无理数，即无理数的小数部分为无限不循环小数。然而，运用无理数的定义来判定一个实数是否为无理数比较困难，因此可以借助多项式有理根的理论来判定。首先，构造一个一元整系数多项式，使得所判断的实数是其的一个根，进而运用一元整系数多项式有理根判别法证明该实数不是所构造的一元整系数多项式的有理根，因此该实数只能是所构造的一元整系数多项式的无理根，即该数为无理数。

基于参考文献[4]和[5]的研究结果，下面通过具体的案例分析，首先给出根式无理数的判定方法。

例1：证明√2是无理数。

一个根式无理数可以运用数论理论、一元整系数多项式有理根存在性定理和Eisenstein判别法三种方法进行判断。然而，对于一个含有两个及以上的根式实数，运用定义法和数论理论法进行判断，随着根式的个数越多，判定就越困难，因此可以运用一元整系数多项式有理根判别法进行判断，下面给出具体的例子。

综上可得，判断一个根式实数是否为无理数，可以运用数论理论或整系数多项式有理根判别法，且这两种方法相差不大。判断含有两个及以上根式的实数是否为无理数时，运用数论的方法证明过程比较复杂，而运用一元整系数多项式有理根判别法比较容易。因此，对于判断根式实数是否为无理数时，更倾向于选择较简单的一元整系数多项式有理根判别法。

接下来，给出自然对数无理数的判断方法。

例4：证明ln2是无理数。

该问题来源于经典的三等分角尺规作图难题，因此一元整系数多项式有理根的理论不仅可以解决实数的有理性和无理性问题，也可以用来解决几何上的尺规作图问题。三角函数无理数的判断中，主要运用倍角公式或者半角公式，将三角函数无理数的证明转化为以该三角函数为根的一元整系数多项式的有理根的判定，为三角函数无理数的判定提供了一种可行性的方法。

3总结

在根式无理数、对数无理数和三角函数无理数的判断中，运用数论理论的方法往往需要很多技巧。然而，运用一元整系数多项式有理根判别法进行判断，只须构造一个以所判断的实数为根的一元整系数多项式，再判断这个实数是否为所构造的一元整系数多项式的有理根即可。因此，在根式、对数和三角函数的有理性和无理性判断中，使用一元整系数多项式判别法更为简便。通过一题多解、方法对比，让学生更容易理解和掌握该类问题，从而激发学生学习数学的兴趣。

作者简介：赵汝菊（1990— ），女，汉族，广西钦州人，博士，讲师，主要从事广义逆理论、Hopf代数和矩阵方程理论研究，以及高等代数和高等数学等学科教学。