“偏微分方程”课程中的高阶学习探索

于灏 杨云龙

摘 要：本文以本科“偏微分方程”教学中涉及的格林公式与高斯公式为出发点，通过复数乘积的几何解释，将格林公式与高斯公式在积分形式上统一为无空间维数要求的散度定理。进而引入一般的分部积分公式，使学生对抽象积分有一个初步的了解，达到在“偏微分方程”课程中进行高阶学习探索的目的。

关键词：偏微分方程；数学物理方程；高阶学习

Advanced Learning Exploration in the Course

of "Partial Differential Equations"

Yu Hao Yang Yunlong

School of Science，Dalian Maritime University LiaoningDalian 116026

Abstract：Based on the Green's Formula and Gauss's Formula involved in the teaching of undergraduate partial differential equations，this paper unifies the Green's Formula and Gauss's Formula in integral form into a divergence theorem without spatial dimension requirements through geometric interpretation of complex product.Then，the general integral by parts formula is introduced to enable students to have a preliminary understanding of abstract integral，so as to achieve the goal of highorder learning and exploration in the course of partial differential equations.

Keywords：partial differential equations；mathematical physics equations；highorder learning

一、概述

“偏微分方程”又称为数学物理方程，是大学本科学习的重要课程［12］。经过前半段的学习，学生对基础课程知识（如高等数学、数学分析）进行了全面学习，这时需要一门课程来对已学知识进行应用、巩固与提高，而“偏微分方程”课程正好适合扮演这样一个角色。以后续课程为例，很多微分方程知识学生都已掌握，只是不了解其抽象或高阶的表达方式，这会导致不必要的重复学习［34］。由此可见，在大学阶段的“偏微分方程”课程中进行适当的高阶学习，能够对已学课程知识的进行应用与再理解，为后续课程的学习打下坚实基础。

二、高阶学习探索：格林公式与高斯公式

（一）经典格林公式与高斯公式

“偏微分方程”的課程内容一般包括拉普拉斯方程、热方程、波动方程这三大类方程［5］，课堂教学也主要围绕着这三大类方程来进行，这使得“偏微分方程”课程有很强的物理与应用背景。例如，拉普拉斯方程描述的是一种平衡状态［6］，热方程的建立要依赖热力学第二定律［5］，而波动方程则是以弦振动来引入［5］，从而在“偏微分方程”的课堂教学中，建模是关键一环。这导致必然要用积分公式，这里特别回顾格林公式与高斯公式。

格林公式建立了二重积分与曲线积分之间的联系，即设区域D由光滑曲线L围成，若函数P（x，y）与Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有：

DQx-Pydxdy=L（Pcosα+Qcosβ）ds

其中L是D的取正向的边界曲线，（cosα，cosβ）是与曲线L正向对应的切向量方向余弦［3］。同时，分量形式也成立［7］，如下所示：

D（-Py）dxdy=LPcosαds，DQxdxdy=LQcosβds

高斯公式则建立了三重积分与曲面积分之间的联系，即设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面S所围成，若函数P（x，y，z），Q（x，y，z）与R（x，y，z）在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：

ΩPx+Qy+Rzdxdydz=S（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS

其中S是区域Ω边界曲面的外侧，（cosα，cosβ，cosγ）是曲面S在点（x，y，z）处的外法向量方向余弦［3］。且其分量形式也成立［7］，如下所示：

ΩPxdxdydz=SPcosαdS，ΩQydxdydz=SQcosβdS，

ΩRzdxdydz=SRcosγdS

（二）格林、高斯公式的高阶表达：散度定理

接下来，对经典格林、高斯公式进行高阶学习。首先，统一积分区域。实际上，曲线L与曲面S可以看成D与Ω的边界D与Ω，这样便有：

DQx-Pydxdy=∫D（Pcosα+Qcosβ）ds，（1）

与

ΩQx+Py+Rzdxdydz=Ω（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS（2）

其次，统一方向余弦，将格林公式的切向量方向余弦转化为外法向量方向余弦。本文通过复数乘积的几何作用来实现这一过程。已知，在复平面中复数reiθ乘以复数z=x+iy，x，y∈R，相当于在复平面将向量（x，y）中逆时针旋转角度θ，并将其长度伸长r倍［8］。由此，观察下图：

只需将切向量（cosα，cosβ）顺时针旋转角度π2，便可得到D外法向量，即：

ei-π2cosα+icosβ=-icosα+icosβ=cosβ-icosα.

这样便有h=cosβ，k=-cosα，再将P换作-P，便有：

DPy+Qxdxdy=∫DPk+Qhds.

这样便实现了格林公式与高斯公式在方向余弦使用上的统一。

最后，將格林公式与高斯公式中出现的多元函数统一写成抽象函数形式，即：

f（x），x=（x1，…，xn）∈Rn.

积分符号简记为∫，dxdy与dxdydz简记为dx，用ν表示单位外法向量，忽略空间维数的要求则得到n维欧式空间中的散度定理公式［6］：

∫ΩSymbolQC@

·F→dx=∫ΩF→·νdS，（3）

其中Ω为Rn中的有界光滑区域，F→=（f1（x），…，fn（x）），x∈Rn为一阶连续可导的向量值函数，ν为Rn中的单位外法向量ν=（ν1，…，νn）。同时，以上转化过程完全适用于格林公式与高斯公式的分量形式，故亦可得到散度定理的分量形式：

∫Ωfxidx=∫ΩfνidS，∫ΩSymbolQC@

fdx=∫ΩfνdS（4）

这样，我们便把基础的格林公式与高斯公式统一为高阶表达的散度定理，同时引入抽象积分记号，达到高阶学习的目的。

（三）一般分部积分公式

接下来，我们继续高阶学习。以散度定理为出发点，将一维空间中的经典分部积分公式进行推广，引入一般n维空间中的分部积分公式。回顾黎曼积分中分部积分公式的推导，已知乘积函数的求导公式为：

（uv）′=u′v+uv′

对等式两边在闭区间［a，b］上积分，便可得分部积分公式：

∫bau′vdx=-∫bau'dx+（uv）ba，

其本质是将函数u的导数转移到函数v上去，再加上边界补偿项（uv）ba。而在高维（n2）欧式空间中，由乘积函数的偏导数公式可得：

（uv）xi=uxiv+uvxi，SymbolQC@

uv=vSymbolQC@

u+uSymbolQC@

v

对等式两边在有界光滑区域Ω上积分可得：

∫Ω（uv）xidx=∫Ωuxivdx+∫Ωuvxidx，

∫ΩSymbolQC@

（uv）dx=∫ΩvSymbolQC@

udx+∫ΩuSymbolQC@

vdx

利用散度定理公式（4），取函数f=uv，有：

∫Ω（uv）xidx=∫ΩuvνidS，∫ΩSymbolQC@

（uv）dx=∫ΩuvνdS.

从而可得一般n维欧式空间中的分部积分公式［6］

∫Ωuxivdx=-∫Ωuvxidx+∫ΩuvνidS，

∫ΩvSymbolQC@

udx=-∫ΩuSymbolQC@

vdx+∫ΩuvνdS.（5）

其本质仍然是导数的转移，这便实现了分部积分公式的高阶学习。

（四）高阶学习的优势

最后，我们通过“偏微分方程”课程中经常使用的第一格林公式与第二格林公式，来看下一般分部积分公式（即散度定理）的优势之处。已知第一格林公式为［5］：

ΩuΔvdxdydz=-ΩSymbolQC@

u·SymbolQC@

vdxdydz+ΩuvνdS，

第二格林公式为［5］：

Ω（uΔv-vΔu）dxdydz=Ω（uvν-vuν）dS，

其中由方向导数定义可知，法向导数uν=SymbolQC@

u·ν，vν=SymbolQC@

v·ν。在没有引入一般分部积分公式时，我们只能通过将高斯公式（2）中的被积函数（P，Q，R）取成特殊形式：

P=uvx，Q=uvy，R=uvz，

通过计算来得到第一格林公式与第二格林公式。其过程看起来有一些不可思议，初学者很难想到要把被积函数取成这样的特殊形式。而当我们掌握了抽象积分的记号与分部积分公式（5）之后，再来观察第一格林公式与第二格林公式，其结果则将变得十分显然。因为由梯度算子与散度算子的定义，易知Δv=SymbolQC@

·SymbolQC@

v，则有：

∫ΩuΔvdx=∫Ωu（SymbolQC@

·SymbolQC@

v）dx

=-∫ΩSymbolQC@

u·SymbolQC@

vdx+∫ΩuSymbolQC@

v·νdS，

即第一格林公式。再由：

∫ΩvΔudx=∫Ωv（SymbolQC@

·SymbolQC@

u）dx

=-∫ΩSymbolQC@

u·SymbolQC@

vdx+∫ΩvSymbolQC@

u·νdS，

可得第二格林公式。

结语

本文通过对经典格林公式与高斯公式进行高阶学习，将其统一为高阶表达的散度定理，进而得到一般的分部积分公式，既加深了对已学知識的理解深度，又是对新知识、新领域的探索，为今后的继续深入学习打下坚实基础。

参考文献：

［1］金玲玉，王霞.新工科背景下的偏微分方程教学改革的新思考［J］.教育现代化，2019，6（104）：7172.

［2］李倩.《高等数学》教学中案例教学的应用探讨——以微元法建立微分方程为例［J］.教育现代化，2020，7（40）：148151.

［3］姜德烁.高等数学教学的几点思考与体会［J］.教育现代化，2020，7（49）：101105.

［4］黄利文.一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法［J］.高等数学研究，2021，24（03）：4749.

［5］谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［6］L.C.Evans，Partial Differential Equations，Graduate Studies in Mathematics Volume 19［M］.American Mathematical Society，1998.

［7］同济大学应用数学系.高等数学（下册）［M］.第7版.北京：高等教育出版社，2008.

［8］王绵森.复变函数［M］.第4版.北京：高等教育出版社，2008.

基金项目：本文系“大连海事大学研究生教育教学改革项目”（项目编号：YJG2022805）研究成果

作者简介：于灏（1986— ），男，辽宁大连人，讲师，研究方向：非线性偏微分方程及应用、生物数学；杨云龙（1989— ），男，辽宁大连人，讲师，研究方向：凸几何中的不等式问题、混合式教学模式。