一道中考数学试题的拓展与应用

郑卫强

［摘 要］文章以一道中考数学试题为例，找到其与教材的对接点，引导学生体悟典型试题的发生、发散与发展过程，厘清问题的来龙去脉，寻找相同问题的统一解决方案，以加深学生对数学知识的理解，提升学生的思维水平，促进学生核心素养的发展。

［关键词］中考数学；试题；拓展；应用

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）05-0035-04

中考数学试题是数学试题中的典型试题，通过对中考数学试题的分析与解答可以加深学生对数学知识的理解，提升学生的思维水平，促进学生核心素养的发展。在日常教学中，教师应加强对中考数学试题的研究与拓展，深挖中考数学试题中隐含的数学模型和数学思想方法，总结其中的重要结论，从而让学生能够“学一题，通一片”。下面，笔者以一道中考数学试题为例进行说明。

一、试题再现与拓展

试题 如图1所示，直线[AB]交圆于点[A]、[B]，点[M]在圆上，点[P]在圆外，且点[M]、[P]在[AB]的同侧，[∠AMB=50]°。设[∠APB=x°]，当点[P]移动时，求[x]的变化范围，并说明理由。

分析：设[PB]与圆交于点[C]，连接[AC]（如图2），根据同弧所对的圆周角相等，得[∠AMB=∠ACB=50°]，根据三角形一个外角大于与它不相邻的一个内角，得[∠ACB>∠APB]，因为[∠APB=x°]，所以[50°>x°]，因此[x]的变化范围为[0

拓展 当点[P]在圆的内部时，随着点[P]的移动，求[x]的变化范围，并说明理由。

与上述解法类似，构造圆周角，利用已知的50°角来确定[x]的变化范围。如图3所示，延长[AP]交圆于点[N]，连接[NB]，根据同弧所对的圆周角相等，得[∠AMB=∠ANB=50°]，根据三角形一个外角大于与它不相邻的一个内角，得[∠APB>∠ANB]，因为[∠APB=x°]，所以[x°>50°]，因此[x]的变化范围为[50

根据上述两个问题的分析，我们可以总结出两个数学模型。

模型一 如图4所示，点[A]、[B]、[C]都在圆[O]上，点[M]在圆[O]外，点[N]在圆[O]内，则有结论：[∠BMC<∠BAC<∠BNC]，如果把顶点在圆内，两边与圆相交的角叫作圆内角，把顶点在圆外，两边与圆相交的角叫作圆外角，那么，上面的不等式可用文字语言表达为：圆外角<圆周角<圆内角。

模型二 如图5所示，如果有一条固定长度的线段[AB]，且所对的[∠C]的大小固定，根据圆周角定理，知圆周角等于同弧所对的圆心角的一半，点[C]的运动轨迹是一段圆弧，如图5中的[ACB]，这就是定弦定角有隐圆。

二、数学模型的应用拓展

应用1 已知在相对灯塔[A]、[B]的张角为56°的弓形海域内有一暗礁群，如图6所示，某海监执法大队正在对灯塔[A]、[B]的张角为55°的[C]处巡航维权，试问是否会有触礁的危险。

分析：[BC]与[⊙O]相交于[E]，连接[AE]，如图7所示，根据同弧所对的圆周角相等，得[∠AEB=∠ADB=56°]，因为[∠ACB=55°]，所以[∠ACB<∠AEB]，根据模型一“圆外角<圆周角<圆内角”可得点[C]在弓形海域外，所以没有触礁的危险。

应用2 利用所给图形探究：（1）如图8所示，圆的两弦[AB]、[CD]交于圆内一点[P]，若[AC=120°]，[BD=30°]，求[∠APC]的度数；如图9所示，圆的两弦[AB]、[CD]交于圆外一点[P]，其他条件不变，求[∠APC]的度数。（2）在（1）中，我们把图8和图9中直线[AB]、[CD]的夹角分别叫作圆内角和圆外角。若[AC=m°]，[BD=n°]，请推导出圆内角和圆外角的计算公式。（3）图8中，若[∠DPB=70°]，[AC-DB=20°]，请利用（2）中公式求[AC]和[DB]的度数，并写出求解过程。

此题主要考查圆周角定理、弧长公式、三角形内心的定义、等腰直角三角形的性质，其中重点考查“定弦定角有隐圆”，因为本题的定角是135°，所以定角顶点与隐圆的圆心在定弦的两旁，通过构造等腰直角三角形可获得隐圆圆心。本题的另一个特殊之处是同一个角扮演了双重角色，如[∠ADB]既是圆[D]的圆心角，又是圆[O]的圆周角，[∠GDF]既是圆[D]的圆心角，又是圆[O]的圆周角，应注意角色的转换。

应用6 【发现】如图16所示，[AB]为[⊙O]的一条弦，点[C]在弦[AB]所对的优弧上，[∠ACB]的度数变还是不变？其理由是什么？反过来，如果平面内线段[AB]的长度固定不变，[∠ACB]的大小确定不变，那么点[C]的运动轨迹是不是一个圆的圆弧？

【研究】我们先从一个特殊的例子开始。如图17所示，设[AB=22]，直线[AB]上方一点[C]满足[∠ACB=45°]，为了画出点[C]所在的圆，必须确定点[C]所在圆的圆心，根据圆周角与圆心角的关系，我们应以[AB]为底边构造一个等腰直角三角形[AOB]，再以[O]为圆心，[OA]为半径画圆，则点[C]在[⊙O]上。请根据思路在图17中完成作图。通过作图与推理，我们可以得出一个一般性的结论，即若线段[AB]的长度已知，[∠ACB]的大小確定，则点[C]一定在某一个确定的圆上，这条弦所对圆心角的度数是定角的度数的2倍，这就是“定弦定角”模型。

【应用】（1）如图18所示，[AB=23]，平面内一点[C]满足[∠ACB=60°]，求[△ABC]的最大面积。（2）如图19所示，已知正方形[ABCD]，以[AB]为腰向正方形内部作等腰[△BAE]，其中[BE=BA]，过点[E]作[EF⊥AB]于点[F]，点[P]是[△BEF]的内心。连接[CP]，若正方形[ABCD]的边长为2，求线段[CP]的最小值。

从上面的问题可以看出，当定弦所对的角是锐角时，隐圆圆心与定角顶点在定弦同旁；当定弦所对的角是钝角时，隐圆圆心与定角顶点在定弦两旁。特别是当定角是钝角时，不容易找到圆心，此时先找定角的补角，这个补角是一个锐角，这个锐角的2倍就是圆心角的度数。

三、思考与收获

数学离不开解题。在解题中，要做好解后反思，反思解题思路，反思其中的数学模型，反思结论的拓展，这对于培养学生的数学核心素养尤为重要。中考数学试题是数学试题中的典型试题，教师应充分利用中考数学试题这个巨大的资源，做好试题研究与拓展，找到其与教材的对接点，在教学中引导学生体悟典型试题的发生、发散与发展过程，厘清问题的来龙去脉，寻找相同问题的统一解决方案，做好结论的推广，从而让学生能够“学一题，通一片”。

（责任编辑 黄春香）