课本习题 多维拓展 提升能力

曹猛

［摘 要］电磁感应现象及其综合问题是高考重点考查的内容之一，也是高中学生学习的难点，电磁感应综合问题中不仅蕴含了电磁学的诸多知识，而且包含了许多力学知识。文章主要以课本习题为母题进行多维拓展，提升学生运用牛顿运动定律、功能关系、动量定理、动量守恒定律以及能量守恒定律等物理基本规律解决电磁感应综合问题的能力。

［关键词］课本习题；电磁感应；框架模型；动力学综合

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）05-0053-05

电磁感应是中学物理主干知识之一，也是历年高考的必考内容。在高考物理试题中，电磁感应力电综合题是常考不衰的经典题型，这类题型经常涉及力（安培力动态变化）、运动（速度和加速度的计算）、能量（电能和其他形式能之间的转化）、动量（安培力冲量的计算）、电路（电荷量和电功、电热的计算）等知识。如此庞大的知识体系，学生在处理该题型时往往心有余而力不足。

本文以电磁感应中“导体棒切割”模型的复习为例，以教材习题为母题，进行多维拓展，并进行知识整合，进而提升学生解决电磁感应综合问题的能力。

一、母题呈现

（新人教版高中物理教材选择性必修第二册第46页第6题，已用代数运算替换数据运算）如图1所示，阻值为r的导体棒ab沿固定的光滑导线框向右做匀速运动，线框中接有阻值为R的电阻。线框放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面。导体棒ab的长度为L，运动的速度为v，线框的电阻不计。

（1）电路abcd中哪部分相当于电源？电动势多大？内阻多大？哪个位置相当于电源的正极？哪一部分相当于闭合电路中的外电路？

（2）ab棒向右运动时所受的安培力有多大？

（3）ab棒所受安培力的功率有多大？电阻R的发热功率有多大？导体棒ab的发热功率有多大？从能的转化和守恒角度说一说这三个功率关系的含义。

问题（1）要求学生能将具体问题转化为常见的电路模型，并运用电路的相关知识解决相应问题。根据法拉第电磁感应定律可知，切割磁感线的导体棒ab相当于电源，且电源的电动势为[E=BLv]，其等效电路如图2所示，r为电源内阻；由楞次定律（或右手定则）可知，a端为电源的正极，adcb为闭合电路中的外电路，电阻R为外电阻。

问题（2）以相互作用观念为载体，分析具体的安培力。由闭合电路欧姆定律可知，闭合回路中的电流[I=ER+r=BLvR+r]，方向为逆时针。根据安培力的公式[F安=BIL]得ab棒向右匀速运动时所受的安培力大小为[F安=B2L2vR+r]。

问题（3）以能量观为契机，解决具体的实际问题。ab棒所受安培力的功率[P=F安v=B2L2v2R+r]，电阻R的发热功率[PR=I2R=B2L2v2（R+r）2R]，导体棒ab的发热功率[Pr=I2r=B2L2v2（R+r）2r]，显然三者之间满足[P=PR+Pr]。

《普通高中物理课程标准（2017年版2020修订）》中指出，物理学科核心素养主要包括物理观念、科学思维、科学探究、科学态度与责任四个方面［1］。本题的三个问题全方位地体现了相应的物理观念（包括物质观、运动观、能量观、相互作用观等重要观点、概念、规律），又涵盖了建模思想、理想化方法、分析综合等科学思维。

教材既是考试内容的载体，也是高考命题的依据，是由学科教育教学专家精心编制而成的，具有指导和统领教育教学的功能。教材上的例题、习题也是专家周密设计、精心构思、反复推敲后选定的，具有典型性和示范性。多数题目具有较强的基础性，入口较浅，有利于学生夯实基础知识；同时教材中的例题、习题更是經得起千锤百炼的，是可以挖掘提炼、拓展深化的。高三物理一线教师要把握好复习的方向，对教材习题进行深入挖掘，以拓展演变和联系真实情境为策略，提升学生的综合能力和物理学科核心素养［2］。

二、母题拓展

（一）问题拓展

拓展1.若保持导体棒ab以速度v向右匀速运动，现施加一水平方向的外力，问该外力的大小如何？方向如何？外力F做功跟回路中的能量转化有何联系？

解析：导体棒ab向右匀速运动，则外力F与安培力为一对平衡力，即[F=F安=B2L2vR+r]，方向水平向右。外力F做的功全部转化为内外电路产生的焦耳热。

随着新课标和新高考的实施，动量定理、动量守恒定律由原先的选考知识变为必考知识，使动力学综合问题的考查拓宽了思路，同时也为电磁感应知识的考查注入了新的生机。

拓展2.若已知导体棒ab的质量为m，当导体棒ab的速度为v时，撤去外力F，回路中还能产生多少焦耳热？分析导体棒ab撤去外力F后的运动过程并计算导体棒ab还能滑行的距离。

解析：根据能量转化及守恒定律可知，导体棒ab的动能最终全部转化为回路的焦耳热，即[Q=12mv2]。

撤去外力F后，导体棒ab在安培力的作用下做减速运动直至静止，该过程中任一时刻根据牛顿运动定律有[BiL=ma]，即[B2L2vR+r=ma]，整理得[a=B2L2vm（R+r）]，导体棒在安培力的作用下减速，且加速度逐渐减小。

（二）情境拓展

如图3所示，质量为m、阻值为r的导体棒静止在固定的光滑且足够长的导线框上，线框中接有阻值为R的电阻。线框放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面。导体棒的长度为L，线框的电阻不计。

拓展1.若导体棒在水平向右的恒力F（已知）的作用下开始运动，分析导体棒运动过程中的速度、加速度如何变化。若经过一段时间[t]，导体棒的速度达到v，求该过程中导体棒运动的位移及电阻R产生的焦耳热。

解析：导体棒由静止开始，在恒力F的作用下向右加速运动，根据牛顿运动定律可得[F-F安=ma]，即[F-B2L2R+rv=ma]，速度[v]增加的过程中加速度[a]逐渐减小，最终[a=0]，此时速度达到最大值[vmax]，且[vmax=F（R+r）B2L2]。

经过一段时间[t]，导体棒的速度达到v的过程中导体棒并非匀加速运动，根据动量定理得[IF+I安=mv-0]，其中F为恒力，则[IF=F?t]，而[I安=-B2L2R+rx]，联立得[x=（Ft-mv）（R+r）B2L2]。

根据能量守恒可知，[WF=12mv2+Q]，其中[WF=Fx=F?（Ft-mv）（R+r）B2L2]，[Q]为内外电路产生的总焦耳热，且[QR]∶[Qr]=[R]∶[r]，联立得[QR=RR+rF（Ft-mv）（R+r）B2L2-12mv2]。

拓展2.若导体棒在水平向右的外力F（未知）的作用下以加速度[a]向右做匀加速运动，从施加外力开始计时，分析外力随时间变化的关系，并求出当导体棒的速度达到v的过程中，外力F的冲量。

解析：根据牛顿第二定律可得[F-F安=ma]，即[F-B2L2R+rv=ma]，又因为导体棒向右做匀加速运动，有[v=at]，代入得[F=ma+B2L2R+rat]。

计算外力F的冲量时由于外力F为变力，可以采用动量定理求解。

取导体棒的运动方向为正方向，导体棒m在匀加速运动到速度达到v的过程中，由动量定理可知[IF+I安=mv-0]，又因为[I安=-B2L2R+rx]，且[x=v22a]，联立可得[IF=mv+B2L2v22a（R+r）]。

计算外力F的冲量时，也可根据上述F的表达式，作出F随时间t的函数关系图线，如图4所示，图中[t0=va]，[F0=ma+B2L2R+rat0=ma+B2L2R+rv]，图线与坐标轴之间围成的梯形面积即为外力F的冲量，亦可得[IF=mv+B2L2v22a（R+r）]。

以上拓展是从问题和情境两个方面进行的，其实本题还可以进行更深层次的挖掘。倘若线框不是固定的，也可以在平面上运动？这就衍生出了双棒切割模型。

（三）深度拓展

1.双棒切割

如图5所示，已知导体棒ab、cd的质量分别为m和M，有效电阻分别为r和R，静置于固定在水平面的光滑且足够长的导轨上。导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁场区域足够大。导轨间距为L，电阻不计。

拓展1.若某时刻导体棒ab有向右的速度[v0]，导体棒cd没有初速度，求此时导体棒ab两端的电势差[Uab]，以及回路能够产生的总焦耳热。

拓展2.若某时刻对导体棒ab施加一向右的恒力F，分析此后两根导体棒的运动情况。

解析：在恒力F的作用下，导体棒ab立即向右加速，与此同时导体棒cd则会在安培力的作用下向右加速，设任意时刻ab棒的速度为[v1]，cd棒的速度为[v2]，等效电路仍如图6所示。回路中感应电流为[I=BL（v1-v2）R+r]，可知两者的速度差越大，产生的感应电流越大，由牛顿运动定律可得，ab棒的加速度为[a1=F-BILm]，且[a1]随着感应电流的增大而减小；cd棒的加速度为[a2=BILM]，且随着感应电流的增大而增大。最终两导体棒以共同的加速度[a=FM+m]一起匀加速直线运动，速度差恒定为[v1-v2=MF（R+r）（M+m）B2L2]。

上述拓展在计算电流时可依据闭合电路欧姆定律进行，而含电容器的电路在电容器充、放电过程中电流是不可以用闭合电路欧姆定律列式求解的，只能用电流的定义式求解。

2.含电容器的导体棒切割

如图7所示，已知导体棒ab的质量为m，有效电阻为r，静置于固定在水平面的光滑且足够长的导轨上，导轨的左端连接一电容为C的电容器。导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁场区域足够大。導轨间距为L，电阻不计。

拓展1.电容器原先不带电，某时刻给导体棒ab一向右的初速度[v0]，使其沿导轨向右运动，分析开关S闭合后导体棒ab的运动情况。

解析：给导体棒ab初速度[v0]，导体棒ab相当于电源，电容器瞬间充电，导体棒ab的一部分动能转化为电能，导体棒ab的速度减小为[v1]。由动量定理得[-BIL?Δt=mv1-mv0]，其中[I?Δt]为流过导体棒ab的电量[q]，即电容器所获得的电量，此时电容器两端的电压为[u=BLv1]，电容器所带的电量[q=CBLv1]，联立求解可得[v1=mv0m+CB2L2]，导体棒ab最终做匀速直线运动。

拓展2.原先电容器带电量[Q]，且上极板带正电，导体棒ab静止，分析开关S闭合后导体棒ab的运动情况。

解析：开关S闭合，电容器放电，电容器相当于电源，导体棒ab受安培力的作用向右加速运动，加速度[a=BILm]，同时导体棒产生阻碍放电的反电动势[E=BLv]，导致电流减小，则安培力及加速度均减小，直至为0，此后导体棒ab以最大速度[vm]匀速直线运动。

根据动量定理可得[BIL?Δt=mvm]，其中[I?Δt]为流过导体棒ab的电量，亦为电容器极板电量的变化量，[q=Q-CBLvm]，联立求解可得[vm=BLQm+CB2L2]。

拓展3.若原先电容器不带电，导体棒ab静止，保持开关S闭合，对导体棒ab施加一水平向右的恒力[F]，分析此后导体棒ab的运动情况。

解析：导体棒ab在恒力F的作用下必向右运动，导体棒ab运动必产生感应电动势，对电容器瞬间充电，设任意时刻充电电流为[i]，导体棒ab的速度为[v]，根据楞次定律和左手定则可以判断，导体棒ab受到向左的安培力，由动量定理得[F?t-BiL?t=mv]，其中[i?t]为流过导体棒ab的电量，亦为电容器极板增加的电量，即[i?t=CBLv]，联立求解可得[v=Fm+CB2L2t]，显然导体棒ab做匀加速直线运动，加速度[a=Fm+CB2L2]。

高三物理复习教学要着眼于引导学生从新的视角去审视高中学过的物理知识，要引导学生把不同阶段所学的不同内容进行适当整合，这对学生形成较为全面的物理观念，培养高阶思维品质是非常必要的［3］。上述拓展是在问题、情境上进行有限的拓展衍生，在平时的教学过程中还可以对线框进行拓展，如竖直平面的线框、斜面上的线框；导轨是否平行；线框的电阻是否考虑；磁场区域是否足够大；磁感应强度的大小及方向是否变化；等等。

高三物理复习教学必须重视教材，尤其是理科的解题教学，倘若能将“教材习题”通过层层推进的方式和“高考试题”实施无缝对接，可以激发学生的学习热情，提升教学效果。

三、试题再现

电磁感应综合问题大多会涉及电磁感应、磁场、电路、动力学、能量、动量等知识。在注重对学生基本知識、基本技能进行考查的同时，又注重对学生的物理观念（物质观、运动观、动力学观、动量观与能量观）、科学思维（物理模型建构、分析推理能力）等核心素养的考查。鉴于篇幅限制，试题仅以图片呈现。

2022年全国各地高考相关试题如图8所示。

2021年全国各地高考相关试题如图9所示。

纵观近几年全国各地高考试卷及模拟试卷，电磁感应“导体棒切割”模型类试题的综合性强，物理情境变化空间大。这就要求一线教师在教学中紧跟核心素养的教育理念，尽早转变“题海战”的教学行为，引导学生在思维能力层面拾级而上，使学生的能力不断提升，学生的认识由表及里，不断加深，做好从“教材”到“高考”的跨越［4］，上出有“深度”的高三物理复习课；一线教师应学会从核心素养出发，精准把握复习教学方向，以联系真实情境的拓展为策略，提升学生的综合能力和物理学科核心素养，这也是新时代、新课标、新高考对我们提出的新的要求。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准：2017年版2020修订［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  陈林芳，张新华.把握素养要素 精准复习教学：2021年浙江物理选考21题赏析与教学启示［J］.中学物理教学参考，2021（13）：67-70.

［3］  张红明.高考物理备考中的整合教学实践研究：以势能专题复习为例［J］.物理通报，2020（10）：35-38.

［4］  徐爱勇.如何实现解题教学从“课本”向“高考”的跨越：从教材一道数列习题谈起［J］.中学数学研究，2018（2）：7-9.

（责任编辑 易志毅）