中考数学试题中数学思想的分析及教学建议
2023-05-30沈惠娟
沈惠娟
[摘 要]文章选取近十年南宁市的中考数学试题,针对试题主要体现的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及化归思想四种数学思想的考查情况进行分析,并提出相应的教学建议。
[关键词]中考数学试题;数学思想;分析;教学建议
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058(2023)05-0029-07
一、问题提出
近年来的南宁市中考数学试题千变万化,注重考查学生解决问题的综合能力以及对数学思想方法的应用能力。中考数学试题涵盖了初中数学所涉及的思想方法,其中主要数学思想有用字母表示数的思想、数形结合思想、方程与函数思想、图形运动思想、分类讨论思想、化归思想、整体代换思想等,常用的数学方法有待定系数法、配方法等。本文选取近十年(2013—2022年)南宁市的中考数学试题,针对试题体现的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想四种数学思想的考查情况进行分析,并提出相应的教学建议,为初中数学教学提供参考。
二、近十年南宁市中考数学试题数学思想的考查情况
针对近十年南宁市中考数学试题主要体现的数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、化归思想四种数学思想的考查情况进行分析与整理,具体如表1至表7所示。
(一)近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题量
近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题量如表1所示。
数学思想之间是相互关联的,一道题可能会体现多种数学思想,为了方便研究,表1中列出的是能重点突出四种数学思想的题目。从表1中可以看出,近十年南宁市中考数学试题对以上四种数学思想的考查还是比较均衡的,且趋向于在大题中综合考查多种数学思想。例如,2020年第26题考查数形结合思想、分类讨论思想、化归思想,2021年第24题考查数形结合思想、函数与方程思想,2022年第25题综合考查了数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想。具体到每一种数学思想,各年份中考数学试题考查的程度有所不同。如2014年、2015年、2021年并没有考查分类讨论思想,但数形结合思想、函数与方程思想、化归思想近十年都有考查。
由表1的相关数据可知,近十年南宁市中考数学试题对数形结合思想、函数与方程思想的考查题量相对较多,考查这两种数学思想方法的题目平均每年都有2道以上。近十年南宁市中考数学试题在考查数形结合思想时主要考查学生对数与形的理解、数形转换及应用;对于函数与方程思想则是从数学实际应用的角度来进行考查,通常从实际生活中抽象出问题背景及材料,考查学生能否将其转化为相应的数学问题来解决,体现出数学不能脱离现实,不能脱离生活实际。
(二)近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题型
近十年南宁市中考数学试题中体现四种数学思想的题型如表2所示。
从表2中可以看出,数形结合思想、函数与方程思想、化归思想在各种题型中均有体现,分类讨论思想仅在解答题中出现。
如2019年第17题:《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉。在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图1所示,已知:锯口深为1寸,锯道[AB=1]尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为 寸。
解:如图2所示,设[⊙O]的半径为[r],在[Rt△ADO]中,[AD=5],[OD=r-1],[OA=r],则有[r2=52+(r-1)2], 解得[r=13],所以[⊙O]的直径为26寸。
此题考查学生是否会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型。
(三)近十年南宁市中考数学试题中数学思想方法考查的主要知识点
近十年南宁市中考数学试题中四种数学思想考查的主要知识点如表3所示。
从表3中可以看出,考查数形结合思想的题目涉及的知识点很多,如找规律、函数的综合应用、圆的性质等,且无论是解答题还是选择题、填空题,都可以考查学生对数形结合思想的理解与运用。考查函数与方程思想的题目涉及的知识点主要有一元一次方程、一元二次方程、一次函数、二次函数等,试题通常考查学生能否从实际生活背景中抽象出函数模型,然后通过解方程(组)来获得问题的答案。考查分类讨论思想的题目涉及的知识点也是比较多的,且既可以通过图形的位置变化来考查(如根据直角三角形的直角顶点坐标位置不同进行分类等),也可以通过图形的形状变化来考查,还可以通过应用函数讨论实际问题的最优解来考查。主要考查学生是否有分类讨论的意识,能否具体情况具体分析。而考查化归思想的题且则注重考查学生在遇到不熟悉的问题时能否将其转化为熟悉的问题来求解。在近十年南宁市中考数学试题中,有两年的选择题或填空题考查了求不规则图形的面积。从熟悉的图形面积转化到不熟悉的图形面积,这是考查化归思想的试题的一个突出考点。解答题通过求函数解析式和进行相关证明,考查学生是否能利用化归思想来解题,具体来说是能否运用待定系数法、韦达定理等方法解题。事实上,大部分南宁市中考数学试题都隐含化归思想,学会对问题进行转化是学生正确解答试题的关键。这反映出了将几种数学思想相互渗透,对知识点进行交叉考查甚至学科交叉作为问题的背景材料是中考数学试题的一大特点及趋势。
如2021年第24题(部分节选):如图3是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为[x]轴,过跳台终点[A]作水平线的垂线为[y]轴,建立平面直角坐标系。图中的抛物线[C1:y=-112x2+76x+1]近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点[O]正上方4米处的点[A]滑出,滑出后沿一段抛物线[C2:y=-18x2+bx+c]运动。(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线[C2]的函数解析式(不要求写出自变量[x]的取值范围);(2)在(1)的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,運动员与小山坡的竖直距离为1米?
本题第(1)问考查的是求二次函数的解析式,考生通过观察函数图象,结合题目所给条件得到已知点的坐标,再利用待定系数法,将点的坐标代入便可求出参数;第(2)问考查的是“已知函数的值,求自变量的取值”问题,考生只需将问题化归为“一元二次方程求解”问题即可解决。此题是将实际问题与二次函数模型相结合的典型考题,也是数形结合思想、化归思想、函数与方程思想的综合应用。数形结合思想通常也用在与函数有关的问题上,与函数相关概念相结合进行考查。中考数学试题的背景常设计为学生日常生活场景,引导学生用数学知识解决实际问题。要求学生能用函数与方程的观点去看待问题,从而体现函数与方程思想的应用。从这道题中我们可知,数学思想是相互结合考查的,数学思想之间是密切联系的。
(四)近十年南宁市中考数学试题中数学思想的考查难度及试题数量
为了便于研究中考数学试题中数学思想的考查难度,本文采用统一的标准计算出每道相关试题的难度系數,并统计四种数学思想的各题型相应试题的数量(如表4至表7)。影响试题难度的因素可以大致分为知识点的个数、知识点的深度、题目题型、知识点在学科中的地位、学生对知识点的熟悉程度等。根据这几个因素的影响,计算出相应试题的难度。
由表4中可知,考查数形结合思想的试题总体难度“易”的很少,“较难”的最多。从题型来看,选择题从“易”到“难”均有体现,通常是以形助数、数形结合为主。而填空题难度多为“一般”,解答题总体难度偏大。中考数学中有关数形结合的填空压轴题、解答题通常会涉及图象上的动点、图形的折叠与翻转、求解最值、函数的综合应用等较为抽象的几何问题,解题运用的知识点较多,综合性强,不仅要求数形紧密结合,还要求考生能想象出图形的变化,有较强的想象、猜想、归纳、探索等能力。因此,与数形结合相关的填空压轴题、解答题难度会较大。
由表5可知,函数与方程思想的考查多集中在解答题中。相比之下,选择题与填空题多是考查学生能否根据题目找到等量关系式列出方程或方程组,题目中涉及的知识点多为有关圆的半径问题、求商品价格等,学生较熟悉,理解题意及解答难度相对不大。在解答题中,函数与方程思想的考查知识点有关于二元一次方程、不等式、二次函数等的实际问题,这些题目信息中的等量关系显而易见,因此这类题的难度属于“一般”。而一旦和二次函数的图象与性质、动点问题及证明猜想等联系在一起,此类解答题的难度就会增加。主要考查学生是否会用运动变化的观点看待问题并找出等量关系,有时条件比较隐蔽,因此解题难度较大。
由表6可知,考查分类讨论思想的试题难度多为“一般”与“较难”,考查的内容有根据图形位置进行分类讨论以及对解决实际问题中最优解的分类讨论等。知识点涉及分类计数、方程、图形、函数图象等。