基于生长式的多概念教学实践与反思

何楠 李洪兵

【摘 要】 本文结合实例探讨了生长式多概念教学，在学生的最近发展区寻找满足学生需求的知识体系为突破口，以“起、承、转、合”为教学主线，让概念向关联生长，在课堂中充分展示知识、情感、能力形成和思维生长的过程，以充分发挥数学的魅力，让学生思维素养双生长，从而真正落实数学核心素养.

【关键词】 多概念；核心素养；生长

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）明确指出为实现核心素养导向的目标不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联，重点是对内容进行结构化整合，探索發展学生核心素养的路径.在教学过程中既要重视学科知识前后的整体关联，又要厘清知识产生的源头、结构和价值所在，既要理解数学概念的本质，又要关注把握数学概念的本性，让学生用发展的眼光、思维和语言建立有意义、有价值的知识体系，形成科学严谨的数学思维，发展和拓展数学核心素养的内涵.

1 多概念的内涵及特征

1.1 内涵分析

多个数学概念合成一堂课呈现被称为数学的多概念教学.数学的多概念体现的是数学概念之间的共性和异性，在整个数学概念教学中起到承上启下的作用.数学的多概念合在一起，表明了每个概念之间存在的共同特性和不同概念之间的差异性，与其他数学概念一起成为数学教学中重要的组成部分.以三角形的高、中线、角平分线为例，它们的本质都是为了给三角形的顶点与对边搭建数学知识发现、发生和发展的桥梁.但三角形的顶点与对边之间的搭建方式存在明显的差异.

1.2 特征分析

生长式的多概念教学遵循一般数学概念课堂“从何来？怎样形成的？有何价值？向何去”的发展趋势，也有自身显著的特征.

1.2.1 生长性

基于新课标理念，要实现立德树人的育人目标，必然展示知识的生成、生长和发展的全过程，展现概念发生的背景、概念发展的必要性及概念体现的价值.在知识的生长过程中渗透数学思想方法，使“数学直观、逻辑推理（去异求同）、数学抽象（揭示特质）、数学建模（灵活应用）、提炼思想”贯穿多概念发展的全过程，让数学的多概念教学自然而又深入.

1.2.2 延伸性

本节课内容的多概念教学，在三角形的顶点与对边构造的桥梁中，点与线段之间的构造方式有无数种，但三角形的高、中线和角平分线这三条线段体现了特殊位置关系的研究价值，为三角形的研究提供了基本方向和方法，形成了初中阶段研究平面几何图形的基本思路.

2 多概念的教学实践

2.1 教学分析

笔者认为多概念教学内容多，课堂时间有限，教师在引导学生研究学习时不能做到十全十美，时间分配不能平均“用力”.考虑学生的最近发展区和三角形高的复杂性，本节课确定三角形高的概念为重点研究对象.在三角形高的研究过程中，教会学生研究方法与策略，学生再用学到的思想与方法类比研究三角形的中线和角平分线，完成本节课的教学，体现类比思想和归纳思想.基于生长式的多概念教学的教学探究基本思路，如图1.

大致流程（主线）：起——承——转——合.

2.2 教学片断

下面以《三角形的高、中线、角平分线》为例进行生长式多概念教学的实践探究.三角形是几何研究的基本图形，三角形的顶点、内角和边是构成三角形的基本元素，三角形的内角和三角形的三边都存在探究的意义和研究的价值，那么，三角形的基本元素两两之间有没有同样的探究的意义和研究的价值呢？

环节1 起——开课挑起凌云志

概念的引入是概念课的起始环节，是形成概念的基础，概念的引入过程也是对概念生成原因的解释过程[1].在此过程中，需要创设适合学生学情的情境，以此激发学生的学习兴趣，引发学生的探究欲望，让学生感受到知识的连贯性和整体性，实现新课标明确指出的素养目标.基于学生的学习经验，抓住学生的最近发展区，拉近学生对本节课所学知识的距离.根据学生的生理心理特征，在学生的最近发展区，找准概念的生长点，一开课就让学生生疑，引起他们的学习兴趣，在学生疑惑处展开概念教学.

问题1 如图2，通过小学阶段的学习，你对三角形有哪些认识？

教学分析 组织学生小组合作探究，学生已经探究过三角形中的基本元素：顶点、内角、边，三角形的相关计算（周长和面积）.其中三角形的面积除了研究三角形的基本元素边以外，也探究了三角形的相关元素高.

问题2 三角形的高怎么作？

教学分析 让学生动手操作，边操作边用语言描述高的作法，从哪开始到哪结束，唤醒学生对高的认识，如图3，抓住学生的最近发展区引出课题.

环节2 承——辩课奏响最强音

概念的生成、获得的过程是认知冲突、抽象概括生成的，不仅要有准确的数学语言描述，也需要动手操作，让学生在劳动中感悟知识收获成长.本环节的关键就是寻找第一个概念的生机点——概念易混淆处，给学生时间和空间，对概念特征进行辨析，让不同的思维碰撞，形成真讨论的勃勃生机的课堂氛围.

问题3 你还能做出三角形的哪些高？

教学分析 让学生动手操作，经历、巩固对三角形高的认识，为下一步研究做铺垫.

问题4 三角形的三条高有怎么样的位置关系？

教学分析 在学生动手操作的基础上学生变成了验证三角形三条高交于一点的实践者，教师再借助几何画板展示，验证锐角三角形交于一点的事实，如图4.

问题5 有没有三角形的三条高的交点不在三角形内部的情况？

教学分析 抓住学生的最近发展区，让学生先独立思考动手操作，其后设置小组合作交流，最后让小组展示分享学生的成果，教师利用几何画板展示验证并让学生体会三角形三条高的交点从内到外的变化过程，展现知识的延续性和完整性.师生共同得出结论：如图5，锐角三角形的三条高交于三角形的内部，直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点.钝角三角形的三条高交于三角形的外部.

问题6 为什么三角形的三条高交点存在以上三种情况？

教学分析 解决以上问题都要回归概念的本质，概念是数学的细胞，是知识的源泉.小学阶段高的定义为：过三角形的一个顶点画对边的垂线，顶点与垂足之间的线段是三角形的高.强调的是顶点和对边，随着学生对知识的加深知晓三角形的边是一条线段，但是过一点作线段的垂线存在没有交点的情形，因此本节课的重点是在小学已有的知识经验上明确三角形的高是过三角形顶点作对边所在直线的垂線，从而形成的垂线段是三角形的高.

通过探究三角形高的过程，归纳研究三角形高的方法，从而培养学生提出问题、解决问题和归纳的能力.

环节3 转——柳暗花明又一村

生长式概念不仅是横向推进的过程，也是纵向发展的过程，既要抓住前后知识点的共性，也要抓住前后知识点的异性.本环节要牢牢抓住后续概念的不同点在学生容易忽视的地方巧妙转场，让学生在类比甄别中自然进入后续概念的探究学习活动.

问题7 观察三角形的高使得原来的三角形发生了怎么样的变化？

教材分析 三角形的高把原来的三角形一分为二，得到两个特殊的直角三角形.此外，三角形的内角被分成了两个角，对边被分为了两条线段，为后面的研究埋下伏笔.

问题8 你能大胆地猜想三角形的顶点与对边还能构建哪些桥梁呢？

教材分析 先让学生通过折纸活动发散思维去猜想，去构造，发现线段一分为二的特殊点（中点），内角一分为二的特殊分法（角平分线）.体现特殊位置关系的研究价值.让学生直观的感受到知识的发生、发展的过程.通过折纸的直观展示转化到理性表达，使学生直观感受到研究与三角形有关线段的思路和方法，极大地调动了学生的学习兴趣.从而获得三角形中线和角平分线的定义.

问题9 通过类比探究高的过程，你认为三条中线会交于一点吗？角平分线呢？

教材分析 知识的生长过程需要学生自己动手去实践，通过类比的思想去探究三角形的中线和角平分线，进而解决三角形的中线和角平分线的交点在三角形的内部和为什么会交于内部的问题.

通过类比高的研究方法，学生完成中线和角平分线的定义、作法和性质.让学生经历观察、思考、分析和总结，过渡到三角形的中线和角平分线，它们都是根据顶点与对边的特殊关系构建的桥梁，这是三角形三条线段的共性.但它们的位置不同，这是三角形三条线段的异性.

环节4 合——对比留下满堂香

在生长式概念教学过程中，不仅要厘清学生已有的知识认知结构，而且也要为后续知识的生长提供整体学习的方法和思维发展的方向.既要让学生在数学概念中摸清源头，又要让学生在概念中明确知识的生长趋势，从而减轻学生的学习负担，真正实现“双减”目的，发展学生的核心素养.本环节是总结升华，属于点睛之笔，一定要高屋建瓴对多概念进行对比，提炼出它们之间的共性和异性，并形成此类知识的研究模型和套路，在对比过程中培养学生入脑入心的素养习惯.

本节课从三角形的基本元素出发生长到相关元素：高、中线、角平分线，它们的共性是顶点与对边构建的桥梁，它们的异性是三角形的高表明垂直关系侧重于最短距离、三角形的中线表明线段平分关系侧重于面积相等、三角形的角平分线表明角的平分关系侧重于边的“对称”比例关系，它们的对称性、构成的距离空间和度量特性，也正是几何整个体系研究的基本套路.

通过本节课的学习以三角形的高、中线、角平分线串起相关知识点，形成指向学生未来的几何知识体系，同时让学生掌握相关概念的研究通法.通过对三角形的基本要素和相关要素的理解，以要素为突破点，织起三角形的立体知识体系网，让学生在后续研究四边形、圆的相关知识时能快速嵌入已经习得的几何素养从而真正让数学素养与学生学习过程融为一体.

3 教学反思

三角形是既简单又能充分反映空间本质的基本几何图形，掌握三角形知识就意味着理解了空间几何的大部分基本性质，并且它是研究其他几何图形的基础[2].三角形概念是从概念组成的基本要素和相关要素人手，归纳它们的位置关系和数量关系，明晰三角形的内容结构，有助于学生掌握研究数学对象的基本方法，形成相关的数学思维方式.

3.1 整合素材层级递进，促进学生深度学习

苏霍姆林斯基说过：“如果学生没有学习的愿望，我们所有的计划，所有的探索和理论统统都会落空.”思维的产生来源于认知的冲突，适时的递进追问可以激发学生进一步探究的欲望，让学生的思维活起来.本节课找准学生的认知起点，注重与小学知识的衔接，注重动手能力的培养，从数学知识发展过程中提出问题，整体构建学习内容.从图形性质的研究角度和研究方法，渗透数学思想方法，在学习与三角形有关线段的经验基础上，进一步积累学习几何图形的活动经验.在基础知识和基本技能获得的同时，着力体现几何图形的研究思路，注重数学思想方法的渗透及数学活动经验的积累.通过对现实问题的数学抽象获得研究数学对象，构建研究数学对象的基本路径，从中发现值得研究的数学问题，并探寻解决问题的数学方法，最终获得有价值的数学结论.将学生思维的发展作为教学的着力点与落脚点，让学生思维螺旋上升.

3.2 类比探究动手操作，促使学生深度表达

“予人以鱼，惠其一时，授之以渔，惠其一世.”本节课是多概念教学，如果没有合理安排本节课的重难点，本节课的教学任务难以完成，本节课选取以三角形的高为重点，通过让学生动手操作画三角形的高、观察与猜想、合作与交流、几何画板演示验证，学生得出三角形高的定义与性质，形成研究三角形相关要素的研究方法与策略.再让学生通过类比从定义、性质和特征等方面去研究三角形的中线和角平分线.教师引导学生体验从特殊到一般的研究几何图形的基本思路，引导学生面对抽象的一般几何对象，要从具体、特殊的对象进行探索，这给学生一个由近及远的宏观数学视野，当学生面对一个数学对象时，能迁移、类比地去研究并用数学语言表达出来.学生从本节课中积累数学思维的经验，潜移默化地形成和发展自己的数学核心素养.思维能力的发展还体现在教师用问题不断引发学生思考，启发学生多角度地思考问题，注重学习方法的指导，帮助学生掌握科学的认知方法，培养学习能力，让学生的个人素养全面提升.

3.3 优化探究追问实效，促成素养深度达成

课堂教学是学生积累数学活动经验的主要阵地，在学生思维最近发展区提出问题，以素养为目标形成螺旋上升的问题串，凸显学科特点，培养思维能力，让学生经历知识发生发展的全过程，加深对所学知识的理解，学会探究数学问题的思想和方法，逐步学会学习.教师有效组织学生自主、合作、探究“三线”，引导学生启发、讨论、参与，学生学习主动积极，充分发挥主体作用，形成系统的知识体系.总结数学思想方法，形成研究几何图形的常用技巧，对学生形成良好认知结构和思维品质起到积极的推动作用.深度挖掘教材内涵，创设问题情境，突出过程，把握数学本质，让学生的主体地位得到很好的落实，充分体现新课标“双主”作用.

参考文献

[1]褚水林.生长型核心概念课的建构与实践探索[J].中学数学教学参考（中旬），2022（05）：2-4.

[2]章建跃.研究三角形的数学思维方式[J].数学通报，2019，58（04）：1-10.

[3]金红江.紧抓要素之间关联促进知识体系建构——“三角形相关概念复习”设计与思考[J].中学教研（数学），2020（08）：34-38.

作者简介 何楠（1992—），女，中学一级教师;主要从事初中数学教育教学研究.

李洪兵（1973—），男，中学正高级教师，重庆市特级教师;主要从事初中数学教育教学研究.