数学建模与数学写作：融通机理及实践路径

2023-05-30孙凯金鹏

中学数学杂志(初中版) 2023年1期

孙凯金鹏

【摘要】在数学建模活动的基础上开展数学建模写作是培养学生数学建模能力的有效路径.文章从数学表达的视角阐释数学建模和数学写作的内涵，分析数学建模与数学写作的融通机理，指出数学建模写作是将实际问题数学化，建立数学模型并求解和阐释，最终形成文本性研究成果的过程.基于广义数学模型和狭义数学模型的理解，探索数学建模写作的实践路径.

【关键词】数学建模；数学写作；数学建模写作；数学建模能力

数学建模作为连接数学与外部世界的桥梁，在数学课程实施中应受到广泛关注[1].数学教师作为基础教育数学课程的实施者，应肩负起培养学生数学建模能力的重任，依托数学课程标准，发掘数学建模育人功能，开发数学建模活动，开展数学建模写作，提升学生的数学建模能力.

1 提出问题

从当前初中学生数学建模能力培养路径看，在数学知识的学习和应用的过程中，教师有引导学生经历数学建模活动过程、感悟模型思想的意识，但这种意识仅仅停留于“用××解决问题”的教学中.通过学生数学建模认知问卷调查和数学建模能力测评发现，这样的培养路径对提升初中生数学建模能力成效甚微.

导致效果不佳的原因指向两个方面：一方面，待解决的实际问题往往是单一且封闭的，学生只需将学习过的标准模型代入或建立简单的标准模型即可解决问题，从数学建模能力水平划分看，这种建模侧重于数学建模能力的“再现”水平，缺乏“联系”“反思”等高水平数学建模思维参与，致使数学建模能力的培养效果一般；另一方面，学生在解决实际问题的过程中，只注重问题的分析和求解，而忽视对问题解决过程的反思和表达，从认知心理学视角看，学生对认知过程缺乏有效的反思、梳理和输出，这种深刻反思及有条理和系统的输出，属于元认知思维活动范畴，是一种高阶思维活动.将反思的过程以文字、图表等形式表达出来，是一种更为专业的表达——数学写作.简言之，学生只注重解决问题，而忽视问题解决后的反思、归纳、提炼和专业表达是当前数学建模教学存在的主要问题之一.

2 数学建模与数学写作

数学建模作为连接现实世界与数学世界的桥梁，在培养学生数学核心素养上具有重要意义.“數学语言表达”简称“数学表达”，具体包括“数学建模、数据分析、数学交流”等要素，其中数学交流的书面形式称为数学写作.

2.1 数学建模：内涵、过程和价值

一般情况下，数学建模是指运用数学知识、思想方法解决实际问题的一类综合实践活动[2]，包括对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学知识和方法构建模型解决问题等环节.数学建模的功能在于建构数学模型解决实际问题，价值体现在三个方面：满足学生适应社会所需求的实践能力和数学应用能力；学生思维发展需要抽象、严谨、系统的数学建模活动；数学应用直接创造社会价值.

从数学建模循环过程的阶段性看，数学建模活动一般分为四类：一是基于现实背景的数学研究对象的抽象过程；二是指向实际问题解决的数学化过程，包括数学模型建立（横向数学化）和数学模型求解（纵向数学化）；三是用数学知识解决问题的过程，包括解决数学外部和数学内部问题；四是聚焦实际问题解决的主题类综合实践活动.

从数学表达的视角看，学生在四类数学建模活动中，经历了“发现和提出问题，分析问题，简化、假设、抽象出数学问题，建构数学模型，确定参数、求解验证并解决问题”[3]的学习活动过程，数学建模能力得到有效培养.但在活动中，发现有很多学生不会表达或不善表达问题解决的过程及结论，致使很多有价值的资源未能得以提炼和表达而遗憾流失.

2.2 数学写作：内涵、类型和功能

数学写作是指学生将应用数学知识解决问题的过程记录、反思和提炼而形成的文本性研究成果.与口头表达相比，数学写作是一种规范、严谨、系统的书面表达形式，是完善学生数学认知，提升数学核心素养的重要手段.

从认知学习理论视角看，如果把数学知识、思想方法的学习看成信息输入过程，那么数学写作就是对原有信息梳理、加工的基础上，进行再加工、再输出的过程，属于元认知思维活动范畴.数学写作一般包括阅读感悟类、数学探究类、解题研究类、数学建模类等，其中后三类都指向问题的解决.数学探究类和解题研究类的数学写作侧重于数学内部问题解决，数学建模类侧重于数学外部问题解决.一般情况下，一切有关运用数学知识解决问题的活动都可以作为数学写作的对象，无论是数学外部世界的实际问题，还是数学内部世界的数学问题，都需要建立适切的数学模型并求解.从某种程度上说，指向问题解决的数学写作本质上也是一种数学建模活动.

数学写作作为数学交流表达的重要形式，主要体现的是学生研究了什么问题（明确问题）、是怎样研究的（分析问题、建立和改进模型、求解模型等）、研究的结论如何（验证和解释问题）等方面.从数学写作的结构看，其与数学建模活动过程基本一致，基本涵盖了写什么、为什么写、怎么写、结论是什么（价值性、创造性）等数学写作的基本结构要素.

2.3 数学建模写作：融通机理

数学建模写作是数学建模与数学写作的简称，是指学生对思考、观察、研究的问题进行书面表达的学习形式[4].数学建模写作是在运用数学知识、思想方法解决实际问题的基础上聚焦数学建模活动，突显建立模型解决问题过程而进行的写作类型，如图1.数学建模写作符合数学写作的一般特征，属于数学写作的重要组成部分.图1

2.3.1 聚焦素养，目标一致

数学建模以培养学生数学建模素养为核心，在建模活动过程中培养数学抽象、数学推理等核心素养；数学写作以培养学生数学交流素养为核心，兼顾发展数学抽象、数学表达和数学推理等核心素养.数学建模与数学写作都属于数学语言表达范畴，是两种相似的表达形式，前者侧重用数学语言将实际问题符号化、系统化、模型化表达，获得数学模型并求解，后者侧重用书面表达的方式将分析和解决问题的过程记录下来，以实现交流研讨的目的.2.3.2 交汇融通，互为促进

数学写作属于数学交流范畴.在国外，有学者将其表示为“WTL（Wrting to learn）”，即通过写作来学习.数学建模能改变学生学习方式，表现为通过建模解决问题来促进学生自主学习、跨学科学习.二者在改变学习方式，促进学生主动学习方面高度一致.

数学建模是数学写作的重要基础，为数学写作提供丰富的、有意义的写作素材.建立数学模型解决问题的过程包括问题的提出和发现、问题的分析和解决，其核心内容是“你是怎样想的和怎样做的”.数学写作是将“做数学”的过程通过“说数学”的方式表达出来，将要表达的内容以书面形式规范、严谨、学术地表达出来.数学写作是对数学建模活动的记录、反思和提炼，是比数学建模活动更规范、系统的表现形式.通过数学写作传播数学建模活动成果，便于与其他同学分享交流、共同提高.因此，数学建模写作是将实际问题数学化，建立数学模型，求解模型、验证模型、修正模型，获得结果并解释实际问题，形成文本性研究成果的过程[5].

3 数学建模写作的实践路径

从实际问题中建立数学模型是数学建模的核心环节，也是数学建模写作的关键环节.在初中数学学习中，数学模型分为广义數学模型和狭义数学模型两类.广义数学模型是指一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式以及由公式系列构成的算法系统等[6]；狭义数学模型是指只有那些反映特定问题的数学结构才称为数学模型[7].根据数学建模写作中使用数学模型的属性和特征，我们将数学建模写作分为广义的数学建模写作和狭义的数学建模写作两类，二者在写作结构上有明显的区别，如图2.图2

3.1 广义的数学建模写作

广义的数学建模写作是指学生根据数学概念、公式、定理等广义数学模型知识解决问题而进行的写作.

3.1.1 数学概念模型的应用

数学概念是数学的基本单元，数学概念教学是数学教学的重要内容，其成效直接影响到学生学习数学的效果[8].学生在理解数学概念内涵和外延的基础上，应用概念求解问题，将有价值的思考提炼和表达出来，从而形成数学建模写作作品.

案例1 无用的“增根”.

在苏科版数学八年级上册第10章“分式方程”的学习中，关于“分式方程的增根”的概念，教材上给出概念的描述性定义，学生在教师的引导下对分式方程的增根有了初步的认识，但对于增根产生的根本原因不甚了解.

课后，学生对此问题进行深入的思考和探索，发现增根的产生是因为去分母时乘了一个值为零的公分母，由此根据“分式方程的增根”概念解决一类“含参”分式方程的求解问题，并尝试探索了“无解分式方程”与增根的关系，形成“无用的‘增根”一文，发表于《时代学习报》（数学周刊八年级版）2019年第40期.

3.1.2 数学方法模型的构建

数学方法模型主要是指那些用于求解数学模型的一类算法系统，常见的数学方法模型包括数学公式、法则、定理等.从数学建模过程看，建立数学方法模型是求解数学模型的关键环节，目的是从数学模型中获得数学结果，从而解决数学内部的问题.

案例2 一道代数式求值问题的五种解法.

在苏科版数学七年级上册第3章“代数式”的学习中，一道代数式求值问题的错误率特别高，激发了学生探究的兴趣.题目为“若a+b=3，则a2+ab+3b=.”学生先分析了问题的结构特征，指出找到已知条件与未知代数式之间的关系是求解的关键，并从结构特征“a+b”入手，构建“代入法”模型求代数式值的多种解法，进一步构造“长方形”辅助分析问题，从“形”的视角阐释代入法模型的数学本质.学生将建立模型求解问题的过程梳理、提炼和表达，形成“一道代数式求值问题的五种解法”[9]一文发表于《中学生数学》2021年第1期.

3.1.3 数学结构模型的探究

数学结构模型是指数学问题中蕴含的稳定的数学结构.学生在求解数学问题的过程中，建立数学结构模型解决问题，进一步探究并揭示数学本质，从而形成“创新性”的研究成果.

案例3 奇妙的“数学模型”.

在苏科版数学八年级上册第6章“一次函数”的学习中，学生学习了用待定系数法求一次函数表达式，在求解一道习题时，出现了奇妙的一幕.

题目：已知y=y2－y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例.当x=－1时，y=2；当x=2时，y=10.

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）当x取何值时，y的值为30？

在解决第（1）问时，有学生直接设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，然后运用待定系数法，把“x=－1、y=2”“x=2、y=10”分别代入“y=kx+b”，从而求得函数表达式.事实上，这种解法是不规范的，在解题时没有使用到题目给出的条件“已知y=y2－y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例”，然而结果却是正确的，这激起了学生的探究热情.学生在课后进行了深入探究，通过计算、推理、建模揭示了奇妙现象背后蕴藏的“真理”，从而撰写了“奇妙的‘数学模型”[10]一文发表于《中学生数学》2021年第7期.

3.2 狭义的数学建模写作

数学建模主要聚焦现实世界中实际问题的分析和解决.狭义的数学建模写作是以解决实际问题为基础的数学写作类型，所解决的实际问题是真实的、原生态的、杂乱无序的，甚至有时连要解决的问题都不明确.狭义的数学建模写作是在学生运用数学知识建立数学模型解决实际问题的基础上，将问题发现、提出、分析、建立模型并求解的过程进行学术化表达的活动过程.这种建模写作活动过程有利于培养学生的模型观念、应用意识和创新能力.数学建模写作的文本成果是学生实现有意义数学学习的重要体现，对培养学生数学建模能力和数学表达能力具有重要意义.

案例4 出租车收费问题.

在苏科版数学八年级第6章“一次函数”学习结束后，开展以“出租车收费或停车场收费”为主题的综合实践活动.由学生自主完成调查研究，提出有意义的问题，建立模型并求解问题.整个活动过程一般包括：问题的提出、问题的分析、简化和假设、建立模型、求解模型、模型的分析与优化、解释与评价、撰写研究报告等.

学生在研究出租车收费问题时，从现实生活中选取问题背景，提出两个有意义的问题并解决.具体过程如表1.

4 结束语

开展数学建模写作，能有效驱使学生自主參与数学建模活动.数学写作作为学生数学建模活动的研究成果，彰显了数学建模活动的应用性、过程性、价值性.研究成果在学生间的传播、分享和交流，是学生实现有意义数学学习的重要体现，也是数学教育的应有之义.开展数学建模写作是培养学生数学建模能力和数学表达能力的重要路径，一线数学教师应予以重视，在数学教学中积极践行，指导学生体验数学研究之乐、感悟数学研究之用、收获数学研究之果.

参考文献

[1]孙凯.从问题类属谈初中生数学建模能力的培养[J].数学通报，2020，59（12）：30-33.

[2]章建跃，张艳娇.数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施[J].中学数学教学参考，2020（05）：13-19.

[3]孙凯.初中数学建模活动的内容设计与组织原则[J].教学与管理，2021（08）：46-48.

[4]孙凯.近二十年来中学数学建模研究的回顾与展望[J].中学数学杂志，2021（12）：1-7.

[5]唐安华.开展中学数学建模论文写作活动的认识和实践[J].数学教育学报，2001，10（04）：63-66.

[6]李明振.数学建模认知研究[M].南京：江苏教育出版社，2013：1.

[7]张思明.中学数学建模教学的实践与探索[M].北京：北京教育出版社，1998：3.

[8]潘超.数学概念深度教学须“五理解”[J].数学通报，2021，60（04）：25-29.

[9]王钧浩，陈梓瑜.一道代数式求值问题的五种解法[J].中学生数学，2021（01）：33-34.

[10]王语馨，王钧浩.奇妙的“数学模型”[J].中学生数学，2021（07）：34-36.

[11]张乐天，李沅骏.出租车收费问题[J].中学数学月刊，2022（05）：75，79.