HPM视角下的“公理化思想阅读课”课例生成

刘志峰 胡永强 孙丹丹

【摘 要】文章以“公理化思想阅读课”为载体，从选题与准备、研讨与设计、实施与反馈、整理与写作等环节再现了HPM课例的生成过程。这样一方面反映了HPM课例生成过程中应该注意的问题，以期能够为HPM课例的开发与教学提供参考，另一方面也体现了在教学中渗透数学公理化思想的方法及可能存在的问题，以期为数学公理化思想进课堂提供启示。

【关键词】HPM；公理化思想；数学阅读课；课例生成

【作者简介】刘志峰，华东师范大学HPM网络研修班成员；胡永强，高级教师，华东师范大学HPM网络研修班成员；孙丹丹，山东师范大学数学与统计学院讲师，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】江苏省中小学教学研究第十四期课题“初中数学课程德育内容设计与渗透策略研究”（2021JY14-L47）；江苏省苏州市高新区规划课题“指向学科德育的初中数学教学课例研究”

一、引言

公理化思想是数学体系建构的基本思想方法，是数学研究的重要思考方式，有着重要的教学价值。公理化思想方法所体现的严谨逻辑体系与系统思考方法不仅促进了数学的发展，也深刻地影响了其他自然科学领域，甚至是人文社科领域［1］。作为一种重要的数学思想，公理化思想在培养学生数学抽象、逻辑推理和直观想象等数学核心素养方面具有重要的意义［2-3］。如何更好地开展教学活动以促进学生深入理解数学公理化思想，发挥公理化思想的育人价值？针对这一问题，HPM网络研修班开展了“公理化思想数学阅读课”的课例研究，以期从数学史中汲取养料，将公理化思想渗透到数学课堂教学中。课例研究经历了选题与准备、研讨与设计、实施与反馈、整理与写作四个环节，最终形成了公理化思想阅读课HPM课例［4］。本文分析了课例研究的完整过程，以期为公理化思想的教学以及其他HPM课例研究提供参考。

二、HPM课例研究

（一）选题与准备

1.问题聚焦

根据主题特点及教学进度安排，HPM网络研修班拟订以“等腰三角形的性质”为研讨主题。通过对苏科版教材几何体系的深入分析，研究者发现“等腰三角形的性质”这一内容位于苏科版八年级上册。而教材是在七年级下册就引入了演绎证明的方法，介绍了一些定义、定理、命题等基本概念，并对之前探索过的一些结论进行了严格的说理证明。在学习了严格的说理证明后，学生本应具备初步的演绎推理能力，初步认识公理化思想。但在现实教学中，笔者发现很多学生并不了解几何体系的构建路径，也不理解什么是公理化思想，对于数学证明的信念与态度呈现消极状态。因此，本研究以“等边对等角”的证明为载体，设计一节阅读课，以渗透公理化的数学思想。

2.历史研究

（1）《几何原本》第一卷命题I.5

等腰三角形的性质“等边对等角”的证明方法，除了作顶角的角平分线、底边上的中线和高构造全等三角形的证明，还可以从腰所在直线上构造全等，例如作两腰的中线、高和底角平分线的证法、普罗克拉斯的两腰任截等长线段构造全等的证法、帕普斯的将等腰三角形想象成兩个三角形的证法以及欧几里得在《几何原本》中给出的两腰延长线上任截等长线段构造全等的证法［5］。在此用现代符号语言详细介绍欧几里得在《几何原本》中命题I.5的证法。

命题I.5 如图1，在△ABC中，已知AB=AC，求证：∠ABC=∠ACB。［6］

（2）公理化思想方法

公理化思想最初是由亚里士多德提出的，他从哲学的角度构建了论证的模式，阐述了两个关键问题：一是论证开始的前提是不需要论证的；二是论证过程要遵循三段论的推理形式［7］。欧几里得把亚里士多德初步总结出来的形式逻辑的演绎推理方法应用到几何学中，把几何学知识按照公理化的方式组织安排，系统化为一个合乎逻辑的有机整体，完成了数学史上的重要著作《几何原本》［8］。

《几何原本》被誉为是朴素公理化思想的代表作，其中给出了原始概念的描述性定义，并以5条公理、5条公设为基础，用逻辑演绎的方法来展开推理，得到465个命题。随着数学研究的不断深入，人们发现虽然公理的选取方式不止一种，但从不同的公理系统出发推导出的理论都是自洽的。

在初中几何教学中，我们仍然以《几何原本》的逻辑体系为主要依据，根据朴素公理化思想，引导学生从原始概念出发，利用几条不加证明的基本命题，通过严格的逻辑推理，运用演绎推理的方法得到整个几何体系。

（二）研讨与设计

1.初步设计

通过对教材与史料的分析，笔者发现教材用简单的方法就证明了“等边对等角”，但《几何原本》却选用了非常复杂的证法。教材将全等三角形的SAS、ASA、SSS判定都认定为基本事实。但在《几何原本》中，这些都是作为须证的定理而存在的。基于此，笔者就考虑引导学生通过分析《几何原本》和教材几何体系之间的异同来渗透公理化思想。根据对教材和相关历史素材的分析，结合实践经验，课例研究者拟订了以下初步教学设计。

（1）教学目标

①初步理解数学证明的严密性，发展学生的初步演绎推理能力。

②通过分析《几何原本》中命题I.5证法的复杂成因，感悟公理化思想。

（2）教学重难点

①教学重点：分析《几何原本》中命题I.5证法的复杂成因

②教学难点：公理化思想的渗透

（3）教学过程

教师在课前印发阅读材料，材料包括两部分内容：一是欧几里得和《几何原本》的简介。二是《几何原本》第一卷的定义、公理、公设、命题1～4及命题5的证法。为方便阅读，所有命题和证明过程均转换成现代数学符号。

2.研讨交流

为了进一步发挥研究共同体的力量，HPM网络研修班专门组织了教学研讨会。首先由课例研究者简要介绍初步的教学设计、历史素材的应用以及困惑，随后大家针对教学目标、教学重难点、教学过程的设计进行讨论。经过充分研讨，大家达成以下共识：①《几何原本》作为朴素公理化思想的经典代表，其教育价值十分丰富，如何让学生深刻体会这种思想值得大家思考。②《几何原本》命题I.5证法复杂正是其“极致”严谨所致，而这也正是《几何原本》最经典之处。因此，“为什么命题I.5证法如此复杂？”这个问题应该贯穿探究始终。③《几何原本》逻辑体系严谨、严密的表现是多方面的，可以引导学生从多角度进行探究。

3.改进设计

根据HPM研修班的交流与讨论，公理化思想应强化问题的引领和注重多角度逐渐渗透。改进后的教学设计如下。

（1）教学目标（同教学设计I）

（2）教学重难点（同教学设计I）

（3）教学过程

课前印发的阅读材料中，增添了３条命题及其证法：角平分线作法（命题I.9）、中点作法（命题I.10）、高的作法（命题I.12）。同时，还加入了一个思考问题：欧几里得《几何原本》命题I.5为何采用这种复杂的证法？

（三）實施与反馈

课例原定由研究者在初二进行教学，但受新冠肺炎疫情（2022年12月26日，国家卫生健康委员会发布公告，将新型冠状病毒肺炎更名为新型冠状病毒感染）影响错过了教学进度。因此，研究者尝试在初三复习课中实施该课例。该课例的实施共进行了两轮，第一轮教学后发现，课堂上主要都是教师在讲解，留给学生思考交流的机会较少。根据第一轮试教中发现的问题，研究者重新调整了课堂节奏并进行了第二轮试教，收到了较好的教学效果。

课后，研究者对全班学生进行了问卷调查。调查显示，92%的学生能认识到基本事实的基础性地位，98%的学生能理解演绎逻辑的论证方法，78%的学生能认识到几何大厦就是以基本事实为根基，逐步完善，并形成体系的。此外，学生对几何学的兴趣变得更加浓厚，迫不及待地想了解几何学的发展历程。

（四）整理与写作

教学实施之后，授课教师和研究者共同撰写了课例论文。课例论文一共分为六个部分：一是引言，说明了公理化思想方法的重要性；二是历史素材的选取，介绍了与公理化思想息息相关的历史材料；三是教学设计与实施，呈现教学设计的实施情况；四是学生反馈，展示学生对公理化思想的理解；五是课例评析，从数学史的运用方式、数学史的价值两个维度对本节课进行评析；六是结语，说明本节课的不足以及学生的收获。

三、教学反思

“公理化思想数学阅读课”经历了选题与准备、研讨与设计、实施与反馈、整理与写作四个环节，最终形成了一份HPM课例。通过对HPM课例生成过程的研究，笔者对以下方面进行了反思。

（一）活化数学历史材料

数学史蕴含了丰富的教学资源，展示出了知识发生发展的历程，但是如何将沉寂千年的数学史融入数学课堂并促进课堂教学，这是一个值得深入探讨的问题。在这节课例中，教师尝试将数学史材料及核心问题整理成材料发给学生阅读，学生先初步阅读思考，课堂上围绕公理化思想设置探究性问题串，深入讨论几何体系的构建根基与构建过程。这避免了简单照搬历史然后草草收尾的情况，使数学史在课堂中焕发了新的生命力。

（二）充分延展数学课堂

公理化思想有着深刻的内涵，要想让学生理解领悟绝非一朝一夕之事。因此，在本节课中，教师尝试整理部分阅读材料，让学生阅读思考，但也只是起到一个引导作用而已。要深刻理解公理化思想，教师最好能够带领学生读一读《几何原本》部分内容，让学生身临其境地感受公理化思想的严谨性。教师还可以给学生布置数学写作任务，用任务驱动法阅读《几何原本》，延展数学课堂，让课堂的45分钟变成碰撞思想的起点。

（三）探索最佳教学时机

学生的思维发展具有一定的阶段性，把握思维发展的最佳阶段，尊重认知发展的规律，才能够达成课堂教学效益的最大化。这节课例最初的设计想法是在初二实施，此时刚刚引入演绎证明，学生也初步积累了一些证明经验，但此时学生的逻辑推理能力相对较弱。最后该课例选择在初三复习课实施，此时的学生已经形成了较为完善的知识体系，积累了丰富的几何证明经验。从课后问卷调查来看，初三复习课进行实施或许也是一个不错的选择。至于这节阅读课是选择在学生刚刚接触演绎证明，还是学生已经积累丰富的证明经验后再实施，或许还值得深入探讨。

参考文献：

［1］周春荔.数学观与方法论［M］.北京：首都师范大学出版社，1996.

［2］房得阳，杨宇琼.公理化方法及其对中小学数学教学的启示［J］.数学教学研究，2016（9）：16-22.

［3］温建红，刘晓静.公理化方法对培养学生数学核心素养的意义及启示［J］.数学教学研究，2020（1）：2-5，29.

［4］胡永强，刘志峰，孙丹丹.古今对照，发展学生数学公理化思想：以等腰三角形两底角相等为例［J］.数学通报，2021（3）：38-42.

［5］汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学：理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2019.

［6］欧几里得.几何原本［M］.燕晓东，译.北京：人民日报出版社，2005.

［7］史宁中.数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016.

［8］徐利治.数学方法论选讲［M］.武汉：华中科技大学出版社，2000.

（责任编辑：陆顺演）