等腰三角形模型构建及其应用

孙卫

等腰三角形是最常见的几何图形，有着许多特殊性质，在中考试题中应用比较广泛. 有些问题中即使并不存在明显的等腰三角形，我们经过运用角平分线、垂线、平行线、倍角等知识构建等腰三角形，都可顺利求得相关结论.

模型构建

模型一  角平分线 +  平行线

如图1①，若AD平分∠BAC，AD[⫽]EC，则△ACE是等腰三角形；如图1②，AD平分∠BAC，DE[⫽]AC，则△ADE是等腰三角形；如图1③，AD平分∠BAC，CE[⫽]AB，则△ACE是等腰三角形；如图1④，AD平分∠BAC，EF[⫽]AD，则△AGE是等腰三角形.

模型二  角平分线 +  垂线

如图2，若AD平分∠BAC，AD⊥DC于点D，则△AEC是等腰三角形.

这种构造模型的本质是以角平分线为对称轴进行翻折，其原理是轴对称性质.

模型三  倍角型

如圖3①，若∠ABC = 2∠C，作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；如图3②，若∠ABC = 2∠C，延长CB到D，使BD = BA，连接AD，则△ADC是等腰三角形；如图3③，若∠B = 2∠ACB，以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD = ∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形；如图3④，若∠B = 2∠ACB，作AD⊥BC于点D，在DC上截取DE = BD，连接AE，则△ABE和△ACE都是等腰三角形.

模型应用

例1 如图4，在△ABC中，∠BAC = 90°，∠ABC的平分线交AC于点E，交BC边上的高AG于点D，过点D作BC的平行线交AC于点F. 求证：AE = FC.

解析：由∠BAC = 90°，BE平分∠ABC，AG⊥BC，可得∠BAG = ∠C，∠AEB = 90° - ∠ABE = 90° - ∠CBE = ∠BDG = ∠ADE，所以AE = AD，要证明AE = CF，只要证明AD = CF即可.

过点B作BN[⫽]AC，交FD的延长线于点N，FN交AB于点M，则∠NBA = ∠BAC = 90°. 因为FN[⫽]BC，连接BF，可证△BFN ≌ △FBC，进而得到BN = FC，因此只要证明BN = AD即可.

事实上，由BD平分∠MBG，DM[⫽]BG，根据模型一可知BM = DM，由∠AMD = ∠NMB，∠NBM = ∠ADM，根据“ASA”证得Rt△ADM ≌ Rt△NBM，则BN = AD，从而可得AE = CF.

例2 如图5，已知等腰直角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF的延长线于D. 求证：BF = 2CD.

解析：由BF平分∠ABC，CD⊥BD，对照模型二可联想到等腰三角形. 于是分别延长BA，CD交于点E，则△BCE是等腰三角形，并有ED = CD，只需再证明BF = CE即可. 事实上，由∠BAC = 90°，CD⊥BD，∠AFB = ∠DFC，得∠ABF = ∠DCF，而AB = AC，所以△ABF ≌△ACE，则BF = CE，从而问题获解.

显然，先构造等腰三角形，再运用其性质来解决问题是一种常用的解题策略，掌握上述常见模型有助于同学们巧构等腰三角形，妙解数学题.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：5分钟

在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC = 2∠C. 求证：CD = AB + BD.

（辅助线引法见第25页）

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）