回到定义，魅力无穷

文／孙晋芳

“一元”到“二元”，“二元”至“三元”，量变质不变，建立了新的数学模型；“三元”回到“二元”，再到“一元”，运用了转化的数学思想。“回到定义”是一项很重要的思维活动，有助于我们突破重难点。我们可以借助定义中的关键词，找到解题的突破口。我们通过以下几个例子一起感受这种方法的魅力。

一、根据题设中的概念，回到定义

同学们能类比一元一次方程的概念，给二元一次方程下个定义吗？（核心词是：含两个未知数，且未知项的最高次数为1。）

例1若方程（k2-4）x2+（2k-4）x+（k+3）y+3k=0是关于x、y的二元一次方程，则k的值为________。

【解析】由二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知项的次数是1 的整式方程）可知，k2-4=0，2k-4≠0，k+3≠0，从而解得k=-2。

【点评】题设中出现与解题有关的概念，无疑是“回到定义”最好的提示。抓住二元一次方程概念中的“二元”和“二次项次数”“整式方程”等关键词是解题的关键。

二、由“式结构”特征，回到定义

大道至简，将复杂、陌生的问题转换为简单、熟悉的问题是解决问题的有效策略。解二元一次方程组，主要利用消元思想：先将未知数的个数由两个转化为一个，再利用解一元一次方程的方法，求得未知数的值。消元法主要有代入消元法和加减消元法。

例2解方程组：

【解析】如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错。如果我们把方程组中的（2x+3y）看作一个整体，把（2x-3y）看作另一个整体，通过换元，也可以解决问题。

解：令m=2x+3y，n=2x-3y。原方程组化为：

【点评】解决此类问题，如果按照常规解题思路，很麻烦。同学们在下笔前要先仔细观察“式结构”，对方程组中的“式结构”特征加以识别，再回到“消元法”，选择恰当的方法解决问题。

三、理清相等关系，回到定义

众所周知，在解决问题时，审题是关键。二元一次方程组是刻画现实生活的重要数学模型，它为现实生活中涉及多个未知数的问题提供了数学模型和解题策略。

例3甲、乙两个工程队共同修建150km 的公路，原计划30 个月完工。实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%；乙队施工效率不变，结果提前5个月完工。甲、乙两个工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？

【解析】本题有两组相等关系：（甲工程队原来的工作效率+乙工程队的工作效率）×30=150，（甲工程队现在的工作效率+乙工程队的工作效率）×（30-5）=150。根据等量关系，列出二元一次方程组即可。

解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，甲队技术创新后两队平均每月修建［（1+50%）x+y］km，根据等量关系可列出方程组

答：甲工程队原计划平均每月修建2km，乙工程队原计划平均每月修建3km。

【点评】列方程组解决实际问题，要从复杂的语境中提炼出描述数量关系的关键句，其本质与列一元一次方程一样，要根据“已知”“未知”之间的数量关系列出方程。一般有几个未知数，就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等。