基于贝叶斯推断的卫星螺栓连接结构动力学参数识别

2023-05-26路森浩,顾乃建,武文华*,3

大连理工大学学报 2023年3期

路森浩, 顾乃建, 武文华*,3

(1.大连理工大学工程力学系, 辽宁大连 116024;2.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室, 辽宁大连 116024;3.大连理工大学宁波研究院, 浙江宁波 315000)

0 引言

目前,卫星等航天器结构逐渐趋向于大型化、复杂化、多功能化.大型卫星常由多个单元组合而成,各单元间通过连接结构相连.连接结构的存在导致卫星结构刚度损失、固有频率变化,并同时伴随着能量耗散[1-2].据不完全统计,连接结构造成卫星结构刚度损失达20%～45%,引起固有频率下降10%～20%.在卫星连接结构中,螺栓连接结构占比最大.运行过程中,卫星会受到如太阳热辐射引起的周期荷载、卫星结构内部的微振动等多种动荷载长期作用,一旦发生螺栓连接结构松动或连接失效,将直接影响卫星结构的服役性能.因此,建立精确的表征连接刚度和动力耗散行为的卫星螺栓连接结构动力学模型,开展螺栓连接结构动力学特性分析和参数辨识十分必要.

在动荷载的长期作用下,螺栓连接的接触表面会产生滑移、黏着等行为[3-4],表现出不确定性和强非线性特征.目前,许多学者针对结构动力学分析开展了考虑结构阻尼、接触刚度、滞回特性等的宏观数学模型研究,建立出如Iwan模型[5-6]、Valanis模型[7]、Bouc-Wen模型[8-9]及双线性模型[10]等描述结构不确定性行为的模型.其中,Bouc-Wen模型是最受认可且描述最为准确的模型,该模型描述了系统的恢复力和位移的滞回关系,通过改变其参数可以得到不同的滞回曲线,因而该模型可以描述实际工程中的各种非线性行为.基于Bouc-Wen模型,王维锐等[11]开展了磁流变减振器动力学试验研究,获取了减振器固有频率、阻尼比等动力学参数,完成了对减振器的滞回特性分析.曾思霖等[12]通过Bouc-Wen模型有效描述了音圈电机的滞回现象,并分析了不同参数对模型的影响.Wang等[13]基于Bouc-Wen模型以线性化的方式描述了压电陶瓷驱动器的滞回行为.鉴于Bouc-Wen模型参数较多,对特定的结构选用合理的参数识别方法获得高可信度的模型参数尤为重要.目前,许多学者通过蚁群算法、神经网络等智能方法对参数进行识别[14-16],但上述研究均未考虑Bouc-Wen模型参数的先验信息及不确定性,导致模型的准确性及泛化能力不足.而贝叶斯推断模型根据有关参数的实际经验赋予其先验分布,基于严格的公式推导给定结构的似然函数,结合先验分布与似然函数得到参数的后验分布,这样就使参数辨识结果更加准确及可靠.

由于贝叶斯理论在处理数据与解决不确定性问题上的独特优势,其在国内外参数辨识方面得到了广泛应用.刘佩等[17]基于贝叶斯理论对密肋复合墙体在低周往复荷载下形成的滞回曲线进行了参数辨识,将根据概率最大参数得到的滞回曲线与实测曲线进行了比较,表明贝叶斯理论对于恢复力模型参数辨识具有较好的效果.高艳滨[18]基于贝叶斯理论对某3层RC框架结构在多次振动作用下的物理参数进行了识别,并与基于模态参数的识别方法进行了比较分析,验证了贝叶斯理论的可靠性.Teloli等[19]利用一种随机Bouc-Wen模型描述螺栓连接结构的振动数据,并提出一种贝叶斯框架进行模型参数识别,用以考虑整个过程中参数的数据波动与不确定性,通过试验数据表明贝叶斯理论可以很好地识别模型参数,但其未对结构进行分析,未对待识别参数进行分类,导致部分参数重复识别.

本文基于Bouc-Wen模型结合贝叶斯定理和相关试验开展某卫星螺栓连接结构动力学建模和模型参数反演识别研究.首先,建立螺栓连接结构的Bouc-Wen模型,结合Bouc-Wen模型的滞回曲线,推导出模型方程新的等效形式,明确待识别的参数;然后,设计螺栓连接结构的两种模态试验(力锤激励冲击与激振器周期加载),通过采集试验过程中结构所受荷载与响应数据,构建结构的频响函数,计算结构的固有频率与阻尼比;最后,基于试验数据,结合贝叶斯定理完成Bouc-Wen模型参数识别,建立表征卫星螺栓连接结构的动力学模型,绘制结构在周期荷载下的滞回曲线,对比卫星螺栓连接结构在不同周期荷载下的实测与模型计算值,验证本文所提出的贝叶斯参数识别方法对于螺栓连接结构含滞回效应动力学参数辨识的可行性.

1 卫星螺栓连接结构含滞回效应Bouc-Wen动力学模型

1.1 卫星螺栓连接结构的滞回效应

螺栓连接结构具有构造简单、易操作和可靠性强等优点,已被广泛应用于卫星不同结构间的连接.与传统意义上的单搭接螺栓连接结构不同的是,卫星螺栓连接结构两板之间呈一定角度,由五棱柱体配合两螺栓进行连接.图1给出了某卫星及其螺栓连接结构.这使得结构具有螺栓数量多、接触面积小和连接部分间隙多等特性.当卫星螺栓连接结构遭受外在周期荷载作用时,板与连接结构之间相互接触、分离,较小的接触面积及较多的连接间隙使得相互作用更加明显,从而造成强烈的能量耗散与滞回效应.图2和图3分别展示了某卫星螺栓连接结构受到的周期荷载P及其在此周期荷载下的恢复力Fr与位移曲线(滞回效应曲线).

(a)卫星模型

图2 卫星螺栓连接结构承受的周期荷载

图3 卫星螺栓连接结构的滞回效应

滞回效应是卫星螺栓连接结构的重要特性之一,其反映了结构在反复受力过程中的变形特征、刚度退化及能量耗散,因此建立卫星螺栓连接结构含滞回效应动力学方程对研究结构动力学行为至关重要.目前国内外已有学者对结构的滞回效应进行研究,其中Bouc-Wen模型具有特殊的结构形式,可直观地描述结构滞回效应.

图4给出了典型的Bouc-Wen模型结构示意图.可以看出,Bouc-Wen模型是一种用于描述结构滞回性能的微分模型,该模型除包含弹簧-阻尼系统外,还含有滞回部分.通过滞回参数的变化可得到不同的滞回圈,因此基于Bouc-Wen模型可以直观有效地建立卫星螺栓连接结构含滞回效应的动力学方程.

图4 Bouc-Wen模型结构示意图

1.2 卫星螺栓连接结构含滞回效应Bouc-Wen模型动力学方程及其等效形式

Bouc-Wen模型动力学方程如下:

(1)

(2)

当结构受到简谐力|F(t)|=Acos(ωt)时(如图5所示),会产生滞回效应,由Bouc-Wen模型可以绘出滞回曲线(图6).

图5 螺栓连接结构受简谐力示意图

图6 基于Bouc-Wen模型的螺栓连接结构滞回曲线

由图6可知,螺栓连接结构的滞回曲线可以分为4条不同的路径,通过求解上述的微分方程结合泰勒展开可以得到滞回曲线不同路径的具体表达式.

(1)ba段(加载段)

dZ1/dy=α-γZ1-δZ1

(3)

(4)

(2)ac段(卸载段)

dZ2/dy=α+γZ2-δZ2

(5)

(6)

(3)cd段(反向加载段)

dZ3/dy=α+γZ3+δZ3

(7)

(8)

(4)db段(反向卸载段)

dZ4/dy=α-γZ4+δZ4

(9)

(10)

泰勒展开虽能很好地拟合结构在加卸载时产生的滞回效应,但其形式复杂,难以直接应用于工程实际计算中,因此,本文基于Weierstrass逼近定理[20],使用有界函数F↑[y(t)]与F↓[y(t)]来描述结构的加卸载状态.

(11)

(12)

式中:λ0、λ1、λ2、λ3为有界函数的系数,N/kg.

为确保有界函数能准确描述结构的滞回效应,需建立误差函数,并使其最小,由于滞回曲线具有对称性,因此对加载或者卸载过程建立误差函数时结果是一致的,本文通过建立卸载过程中的误差函数来构建有界函数参数与Bouc-Wen模型参数之间的联系,误差函数如下式所示:

(13)

为确保等效方程能准确描述结构的滞回效应,应使误差函数最小.即对于i=0,1,2,3,使∂E/∂λi=0,求得各参数表达式如下:

(14)

λ1=α

(15)

8γy0-15δy0)

(16)

(17)

式中:Y=|ymin|=|ymax|,y0为阈值位移.基于上述求解方程,可以将式(1)等效为如下形式:

σ|y(t)|2+λ3|y(t)|3=F(t)

(18)

当螺栓连接结构处于卸载或加载时,σ分别取为λ2、-λ2.

通过上述公式的推导可以建立适用于卫星螺栓连接结构含滞回效应的动力学方程,但该方程包含两部分未知参数:结构参数(固有频率ωn、阻尼比ξ)、滞回参数(α、γ、δ).结构在设计、加工、装配、试验过程中的多种因素会造成待识别参数具有不确定性,采用参数识别方法中推导过程最严格、应用最广泛的贝叶斯推断方法进行未知参数的识别能较好地评估参数的不确定性.

2 基于贝叶斯推断的Bouc-Wen模型参数识别

2.1 贝叶斯推断方法

基于贝叶斯定理的参数识别与分析流程如下:

(1)将待识别的参数θ视为随机变量,将系统观测值D也视为随机变量;

(2)根据工程实际与经验给出θ的先验概率密度函数;

(3)构建含待识别参数θ的模型M,给定一系列θ,计算模型预测数据DM(θ);

(4)根据DM(θ)与D之差为某一正态分布的假设构建参数的似然函数;

(5)根据一组实测数据,将参数的先验分布转换为后验分布.

根据贝叶斯定理可以给定参数的后验分布:

(19)

式中:π(θ|D)是给定系统观测值D的更新后验概率密度函数;π(D|θ)是似然函数;π(θ)是先验概率密度函数;π(D)是一个归一化常数,确保π(θ|D)是一个积分值为1的概率密度函数.

系统观测值D可以表示为

D=DM(θ)+ε

(20)

(21)

待识别参数θ的取值为最大后验概率(MAP):

θ=arg maxπ(θ|D)

(22)

式(19)～(22)统称为贝叶斯推断模型.

2.2 基于贝叶斯推断的卫星螺栓连接结构Bouc-Wen模型参数识别流程

由上述已知,待识别参数分为结构参数与滞回参数.由于同时识别两部分参数较为困难,且滞回效应是结构在周期荷载反复作用下产生的,因此本文分别设计了冲击荷载作用下的螺栓连接结构参数试验系统和周期荷载下螺栓连接结构的滞回参数试验系统,参数识别流程分为如下3步.

(1)数据采集

本文采用DHADS系统进行加速度信号的采集,在动力学试验过程中,施加了以下的输入信号:力锤敲击的冲击信号,用以模拟卫星结构在运行过程中受到的冲击荷载;激振器施加的正弦荷载,用以模拟卫星结构在运行过程中受到的周期荷载.

(2)基于冲击荷载试验的结构参数识别

首先忽略冲击荷载作用下,螺栓连接结构的滞回效应.采用冲击荷载试验识别螺栓的结构参数ωn和ξ.在识别过程中,最重要的是确定贝叶斯推断模型M.推断模型M选取应遵循以下原则:推断模型应包含待识别参数;除待识别参数外,其余参数均为已知量或可测量.在此运动状态下,可选取一阶频响函数作为推断模型M,其表达式如下式所示:

(23)

因此,此时参数的似然函数如下式所示:

π(D|(ωnξ)T)∝exp(-‖H1((ωnξ)T;ω)-

(24)

(25)

(3)基于周期荷载试验的滞回参数识别

在周期荷载持续作用下,螺栓连接结构处于往复的非线性运动状态,接触面的相互作用使螺栓连接结构呈现出明显的滞回效应和能量耗散,因此在结构参数已被识别的基础上,分析结构在周期荷载下的响应可识别结构的滞回参数.在滞回曲线接近闭合(y0≈0)时,与滞回环路开关相关的系数为0,λ0=λ2=0.此时剩下的参数为

λ1=α

(26)

(27)

此时结构的等效方程式(18)可简化为

λ3|y(t)|3=F(t)

(28)

由于式(28)中的非线性系统有三次方项,选取三阶频响函数作为推断模型,其表达式如下式所示:

H3(ω1,ω2,ω3)=-H1(ω1)H1(ω2)H1(ω3)H1(ω1+

ω2+ω3)λ3

(29)

为简化三阶频响函数的代数复杂性,只分析三阶频响函数的主对角线,使得ω1=ω2=ω3,式(29)可简化为

H3(ω,ω,ω)=-H1(ω)H1(ω)H1(ω)H1(ω+

ω+ω)λ3⟺

H3(ω,ω,ω)≡H3(ω)=

(30)

(31)

式中:A为施加荷载的振幅.

因此,关于参数α、δ的似然函数如下:

π(D|(αδ)T)∝exp(-‖H3((αδ)T;ω)-

(32)

对另一参数γ的识别,本文基于螺栓连接结构在非线性运行下的试验结果与Bouc-Wen模型的数值积分输出进行,其似然函数如下式所示:

(33)

3 卫星螺栓连接结构含滞回效应动力学参数识别实例

3.1 试验装备与试验过程

卫星螺栓连接结构由一块五棱柱连接结构及两块铝蜂窝板组合而成,长板的尺寸为300 mm×60 mm×20 mm,短板的尺寸为220 mm×60 mm×20 mm,两板的材料属性一致,均为铝合金,其中蒙皮厚度为0.5 mm,蜂窝芯子厚度为19 mm,蜂窝芯子长度为4 mm,铝合金的弹性模量为72 GPa,密度为2 700 kg/m3.在试验件上等间距布置了14个点,各点间距为30 mm.其中3～11号为测点,如图7所示.该卫星螺栓连接结构的含参含滞回效应的动力学方程可由式(28)表示.

图7 卫星螺栓连接结构试验件及测点布置

3.2 基于冲击荷载试验的结构参数辨识结果

利用力锤敲击模拟冲击荷载,对式(28)中的结构参数进行识别,识别过程如下:

(1)试验设备的布置

将卫星螺栓连接结构上测点14及其左侧进行固支,加速度传感器布置于2号及7号测点处.

(2)试验阶段

利用力锤依次迅速敲击3～11号测点(7号测点除外),每一测点敲击3次,采集敲击各测点时的激励数据及响应数据.

(3)数据处理

对(2)中采集到的数据进行傅里叶变换,图8、9为敲击3号测点时激励与响应的傅里叶变换图像.响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比为一阶频响函数,如图10所示.基于图10可以计算得到结构的固有频率和阻尼比,一阶频响函数的峰值处即为固有频率,利用半功率带宽法(式(34))可以求得阻尼比.

图8 激励的傅里叶变换

图9 响应的傅里叶变换

图10 一阶频响函数

(34)

其中ω1、ω2为ωn曲线上峰值处的频率值.

基于频响函数计算各测点的固有频率和阻尼比,结果如表1所示,其均值分别为254.9 Hz、2.91%,标准差分别为1.885 Hz、0.64%,变异系数分别为0.74%、22%,变异系数的定义为标准差除以均值,反映了试验数据的离散程度.

表1 依次敲击各测点时的固有频率和阻尼比

(4)参数识别

固有频率ωn的变异系数很小,即固有频率的离散程度较小,因此在后续的参数识别中,将不再识别固有频率.而阻尼比ξ的变异系数较大,因此后续进行阻尼比的参数识别.基于表1,设定π(ξ)=N(2.91%,0.64%)作为阻尼比的先验分布.根据式(23)与式(24)结合贝叶斯推断模型可以得到阻尼比的后验分布,如图11所示.