韩信点兵

陈丹阳

韩信是汉初名将，民间流传一句歇后语：韩信点兵——多多益善，用来形容韩信的军事才能。有意思的是，“韩信点兵”也是一个流传很广的数学问题。据说韩信在点兵的时候，会先让士兵3人站成一排，记下最后多出的人数；再让士兵5人站成一排，又记下最后多出的人数；最后让士兵7人站成一排，同样记下最后多出的人数。这样他就能算出自己部队的总人数了。

在我国，“韩信点兵”问题最早出现在南北朝时期的数学著作《孙子算经》中，叫作“物不知数”问题：“一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。”这个问题因此也被称为“孙子问题”。此类问题在现代数学中叫作“一次同余问题”，其解法称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。

宋代数学家秦九韶在《数书九章》中对这个问题做出了完整系统的解答，称为“大衍求一术”。明代数学家程大位则在《算法统宗》中将它的解法编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支。七子团圆正半月，除百零五使得知。”它的意思是：将除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是最后的答案。按照这个方法，《孙子算经》中“物不知数”问题的最小答案是23。

（安 歌摘自中华书局《中国人应知的古代科技常识》一书）