“巧”作辅助线，“多”解几何题

杜高俊

【摘要】中考数学试题中，图形与几何是重点考查的内容之一，其中与圆有关的几何知识更是历年中考考查的重点.在求解与圆有关的几何证明题时，可以“巧”作辅助线，通过构造直径所对的圆周角是直角、构造两条平行线、构造三角形全等或相似、构造圆的半径等方法来找到相等的角或相等的弧，从而从不同的角度解决问题.本文以2021年贵阳市中考数学试题第23题为例，通过不同方式辅助线的“巧”作，探讨与圆有关几何问题的求解方法多样性，从而提供在圆的综合问题求解过程中构造辅助线的思路与通法.

【关键词】圆；辅助线；解题方法

1试题呈现

（2021年贵阳市中考数学试题第23题）如图1，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.

（1）EM与BE的数量关系是；

（2）求证：EB=CN；

2背景分析

本题是一道综合运用圆的有关知识解决问题的解答题.知识层面考查了对圆周角的性质定理、圆心角及其所对应的弧或弦之间的关系、扇形的面积公式、特殊角的三角函数、三角形全等及三角形相似判定、等腰直角三角形的性质及正三角形的面积计算等内容的掌握情况，能力层面考查对数学运算、几何直观、逻辑推理等学科素养的掌握情况.

试题以图形与几何→图形的性质→圆→圆的综合知识作为命题主线，以圆的对称性、圆心角与圆周角之间的关系、圆的有关运算作为考查核心，与初中所学知识融会贯通，较好地考查对图形与几何部分知识的掌握情况.

本题第一问为填空，主要考查常见几何模型的掌握情况；第二问为几何证明，考查逻辑推理能力.试题形式丰富、梯度合理、考查全面、难易适中，具有较好的难度与区分度.可通过对本试题的求解，总结掌握与圆有关几何问题的求解通法.

3解法探究

（1）解：如圖2，连接EO，

则∠AOE＝90°，∠ABE＝12∠AOE＝45°.

所以Rt△BME是等腰直角三角形.

所以BE=2EM.

（2）思路1利用直径所对的圆周角是直角

解法1如图3，连接EC，AE.

因为AC为⊙O的直径，

所以∠AEC＝90°.

所以∠1＋∠2＝90° .

因为EN⊥AB，

所以在Rt△AEM中，∠1＋∠3＝90° .

所以∠3＝∠2.

所以EB=CN.

解法2如图4，连接BN，AN.

因为EN⊥AB，

所以在Rt△BMN中，∠1＋∠3＝90°.

因为∠ANC ＝ 90°，

所以∠2+∠4＝ 90°.

因为∠1＝∠2，

所以∠3＝∠4.

所以BE=NC.

解法3如图5，连接AN.

因为∠ANC ＝ 90°，

所以∠1+∠2＝ 90°.

因为 EN⊥AB，

所以∠1+∠BAN＝ 90°.

所以∠2＝∠BAN.

所以EC=BN.

所以EC－BC=BN－BC.

即BE=CN.

解法4如图6，连接AE，AN.

因为∠ANC＝90°，

所以∠3＋∠4＝90°.

因为在Rt△AEM中，∠AME＝90°，

所以∠1＋∠2＝90°.

因为∠1＝∠4，

所以∠2＝∠3.

所以BE=NC.

解法5如图7，连接BC，BN.

因为∠ABC＝90°，

所以∠1＋∠3＝90°.

在Rt△BMN中，∠2＋∠3＝90°，

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

思路评析根据“直径所对的圆周角是直角”这一定理，得到在圆的综合应用题中作辅助线的一个思路，即构造直径所对的圆周角.其次，当图中不止一个直角时，可以联想同角或等角的余角相等，来找到两个相等的角.

思路2利用两平行线的判定和性质

解法6如图7，连接BC，BN，

则∠ABC＝90°.

因为∠EMB＝90°，

所以∠ABC＝∠EMB，

所以BC∥EN.

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

解法7如图8，连接EC，BC，

则∠EMB＝∠ABC＝90°.

所以BC∥EN.

所以∠1＝∠2.

所以BE=NC.

思路评析平行线的判定和性质也可以应用到圆的综合应用问题中.在解决圆的综合问题时，可以思考是否可以构造两条平行线，从而利用平行的位置关系找到角的相等关系.

思路3利用三角形全等或相似

解法8如图6，连接AE，AN.

因为∠1＝∠4，∠ANC＝∠AME＝90°，

所以△AME∽△ANC，

所以∠2＝∠3，

所以BE=NC.

解法9如图9，连接EO并延长，交AB于P，交圆O于F.

因为E是AC的中点，

所以EF⊥AC.

所以EC=FC，∠EOA＝90°.

所以△EPM∽△APO.

所以∠1＝∠2，

所以FN=BC.

所以FC－FN=EC－BC.

即BE=CN.

解法10如图10，连接BC，过C作CF⊥EN，垂足为F，则四边形BMFC为矩形.

所以BM＝CF，∠EMB＝∠CFN＝90°.

因为E是AC的中点，

所以AE=EC，

所以∠2＝∠3.

又由（1）得∠1＝∠2，

所以∠1＝∠3.

所以△EMB≌△NFC，

所以EB＝CN.

所以BE=CN.

思路评析相似三角形和全等三角形的对应角相等.在解决圆的综合问题时，可以构造三角形相似或全等，来找到角的相等关系.

思路4构造半径

解法11如图11，连接EO，AE，AN.

因为E是AC的中点，

所以∠AOE＝90°.

所以∠4＝12∠AOE＝45° .

所以在Rt△AMN中，∠MAN＝45°.

所以∠EAO＝∠MAN＝45°.

所以∠1+∠2＝∠2+∠3，

所以∠1＝∠3.

所以BE=NC.

解法12如图12，连接EO，BO，NO.

由（1）知∠3＝45°，

所以∠BON＝2∠3＝90°，

所以∠EOC＝∠BON＝90°，

所以∠EOC－∠BOC＝∠BON－∠BOC，

即∠1＝∠2，

所以BE=NC.

解法13如图13，连接EO，AE.

则由（1）得∠1＝∠2＝45°.

因为在Rt△AEO中，AO＝EO，

所以∠EAO＝45°.所以∠1＝∠EAO.

所以BN=EC.所以BN－BC=EC－BC.

所以EB=CN.

思路评析在圆的综合问题中，可以通过构造半径找到圆心角，并利用圆周角与圆心角的关系与垂径定理等知识，从而得到角相等或是弧相等.

4解后反思

本题第（2）问解法很多，有的简单，有的较为复杂，主要是由于辅助线的作法不同导致的.可以通过这道题的求解，总结出圆中辅助线的作法主要有构造直径所对的圆周角、构造半径、构造两条直线平行、构造三角形全等或相似等方法，并通过“巧”作辅助线来找到角相等或者弧相等，从而总结掌握与圆有关几何问题的解法.

平时的学习过程中要善于总结和反思，找到一种解题的方法后，不妨静下心来再想一想，还有没有更高明的解法，更高明的解法可能会用到更多的知识来说明其中的奥妙，这时可以再进一步想一想，能不能用更少、更基本的知识来说明那些原本以为要用较多的知识才能解决的问题[1].最后，可以将不同的解法进行总结和反思，优化解答问题的方法，寻找解决问题的通法，并迁移到其他问题中，这对提高数学解题能力有一定的促进作用.

参考文献：

[1]张景中.新概念幾何[M].北京：中国少年儿童出版社，2016.