圆的内接四边形与外切四边形问题的常见题型解析

2023-05-25台占青

数理天地(初中版) 2023年9期

台占青

【摘要】在初中数学的学习内容中，圆与四边形特殊的位置关系可分为两种：一种是四边形内接于圆，它的一条重要性质定理是内接四边形的对角互补；另一种是四边形外切于圆，它的一条常用性质定理是外切四边形的对边长度之和相等.在考查圆与四边形的综合问题时，通常围绕着这两个性质进行出题.本文列举4道利用“圆的内接四边形对角互补”和“圆的外切四边形对边长度之和相等”性质进行解题的例题，针对这些常见题型给出详细的分析思路和解题过程，希望可以使学生对圆与四边形的综合问题了解更全面，思路更清晰.

【关键词】圆；四边形；题型解析

1圆的内接四边形题型解析

例1如图1，已知线段AE是△ABC的外角∠CAD的角平分线，AE与△ABC的外接圆相交于点E，求证：EC＝EB.

分析采用倒推法进行分析：若想要证明EC＝EB，只需要先证明∠ECB=∠EBC即可，而证明这两个角相等，则要用到以下两个性质：①=1＼*GB3圆内接四边形对角互补的性质定理；②=2＼*GB3在同圆中，公共弦所对的圆周角相等.二者结合使用，这道问题便可迎刃而解.

证明因为AE是∠CAD的角平分线，

所以∠EAC＝∠EAD，

因为∠EAD是圆内接四边形ABCE的外角，根据圆的内接四边形对角互补定理，

有∠EAD=∠ECB.

又因为∠EAC与∠EBC所对的弦同为CE，

所以∠EAC=∠EBC，

所以∠EBC=∠ECB，

△EBC为等腰三角形，即证得EC＝EB.

例2如图2，点A、B两圆O1与圆O2的交点，P是圆O1上的任意一点，连接PA、PB并延长，与圆O2交于C、D两点，连接CD，过圆O1的圆心作PN交CD于点N，交圆O1于M，求证：PN⊥CD.

分析想要证明PN⊥CD，应先证明∠CDP+∠DPN=90°，连接MB及AB，根据圆的内接四边形对角互补，有∠CDP=∠PAB；又由圆的直径对应的圆周角为90°，再结合圆周角与弦的关系，找到∠PBM、∠PMB、∠DPN、∠CDP这些角之间的数量关系，即可求证.

证明连接MB、AB，

在圆O1中，∠PMB=∠PAB，

在四边形ABCD和圆O2中，根据圆的内接四边形对角互补，

有∠CDP=∠PAB，

即∠CDP=∠PMB，

又因为圆O1的直径是PM，

所以∠PBM=90°，

所以∠PMB+∠DPN=90°，

即∠CDP+∠DPN=90°，

所以∠DNP=90°，

即PN⊥CD.

2圆的外切四边形题型解析

例3如图3，直角梯形ABCD是圆O的外切四边形，切点分别为E、F、G、H，已知直角梯形ABCD的周长为18，其中CD长为5，求圆O的半径.

分析本题是对圆的外切四边形对边之和相等的性质的利用，首先作辅助线连接圆心与四边形的4个顶点和4个切点，再根据全等三角形的知识证得四边形ABCD的对边之和相等，再根据已知条件求得直角腰的长，最后找到圆O半径与直角腰的关系，求得最终答案.

解连接OA、OB、OC、OD、OE、OF、OG、OH，

因为四边形ABCD圆O的外切四边形，

所以OE=OF=OG=OH，

∠AEO=∠AGO=90°，

又OA为公共边，

所以△AEO≌△AGO，

所以AE=AG，

同理可证得BE=BF、CH=CF、DH=DG，

AE+BE+CH+DH=AG+BF+CF+DG，

AB+CD=AD+BC，

又因为已知直角梯形ABCD的周长为18，

所以AB+CD=9，

而其中CD长为5，则AB=4，

又因为∠ABC=90°，

OE=OF，BE=BF，

所以四边形BEOF为正方形，

即OE=BE=12AB=2，

所以圆O的半径为2.

例4如图4，四边形ABCD是圆O的外切四边形，切点分别为E、F、G、H，已知∠A=∠B=120°，∠D=90°，BC的長为10，求AD的长.

分析将圆心与切点相连，可以发现四边形OGDH为正方形，又易证∠A与∠OBA互补，OB∥AH，即可证得B、O、G三点共线，而题目中已经给出BC的长，所以可以根据勾股定理求出BG、CG的长；再根据例3中的证明，当设AH=x时，有AE=BE=BF=x，再次利用勾股定理可求得OE=3x，也就是圆的半径为3x，最后根据这些线段之间的数量关系求出AH、OG的长，即可得到AD的长.

解连接OF、OB、OE、OD、OG、OH，

因为∠D=90°，OH⊥AD，OG⊥CD，

所以四边形OGDH为正方形，即OG∥HD，

又因为∠B=120°，则∠OBA=60°，

即∠A与∠OBA互补，所以OB∥AH，

所以点B、O、G三点共线，

因为∠OBF=60°，∠BOE=30°，BC=10，

根据勾股定理可求得BG=5，

设AH=x，根据例3中的证明，

有AE=BE=BF=AH=x，

因为∠OBE=60°，∠BOE=30°，

根据勾股定理有OB=2x，OE=3x，