飞行器总体不确定性建模与优化设计方法

张海瑞，王 浩，王 尧，洪东跑

(中国运载火箭技术研究院，北京 100076)

0 引 言

飞行器总体设计涉及多学科交叉、融合、综合和优化,不仅决定了飞行器的整体性能,而且直接决定了效费比,是飞行器研制最基础、最重要的关键技术。鉴于飞行器多学科集成的复杂性,其飞行性能与总体参数、动力性能、飞行轨迹等密切相关,要想获得总体最佳方案必须结合轨迹规划、推进、质量等学科进行一体化优化设计,从而最大程度地挖掘飞行器的设计潜能[1]。

随着高新技术水平的不断提升,飞行器不断向着高速度、高性能的方向发展,其使用环境更为恶劣,设计约束条件更为严格,不确定性影响更为凸显。在追求飞行器高性能的同时,也对系统可靠性和稳健性提出了越来越高的要求。为了更加有效地解决飞行器设计过程中存在的不确定性问题,飞行器总体不确定性优化设计技术应运而生,其目的是在飞行器总体设计中考虑设计模型、制造以及环境等因素的不确定性,在追求飞行器高性能的同时,降低不确定性的影响程度,提升总体设计方案的可靠性和稳健性。文献[2]针对飞行器总体设计中不确定性因素精细化管理需求,研究提出了面向飞行器总体设计的不确定性多学科设计优化(Uncertainty-based multidisciplinary design optimization,UMDO)应用模式。文献[3]研究建立了复合材料机翼气动弹性裁剪问题的数学模型,考虑模型中存在随机/认知不确定性混合的情况开展了优化求解,并获得了满足可靠性/可信性要求的最优方案。文献[4]针对飞行器非线性动力学系统中的不确定性因素,研究了高超声速飞行器的飞行控制系统设计问题。文献[5-7]考虑级间分离过程中各种不确定性因素对分离可靠性的影响,研究了考虑不确定性影响的飞行器分离可靠性建模与分析方法。

由于引入了不确定性因素,传统方法采用双层嵌套的不确定性优化方法,将不确定性分析嵌套在外层的优化算法中,每一次优化迭代都需要在当前设计点开展不确定性分析,因此其计算成本及复杂度极高,难以实现飞行器总体不确定性优化设计。

针对这一问题,国内外学者提出了许多基于解耦策略的序贯优化方法,包括序贯优化和可靠性分析(SORA)[8-10]、增量平移向量(ISV)[11-13]等解耦策略。目前,相关理论方法在飞行器总体设计中的应用尚处于探索阶段。文献[14]基于SORA方法有效分析处理了飞航导弹方案设计中不确定性对设计结果的影响,给出了飞航导弹优化设计结果。文献[15]基于SORA解耦策略进一步提出了MUMDF-CSSO多学科优化方法,开展了基于不确定性的小卫星总体方案优化设计。

上述基于解耦策略的不确定性优化设计方法,往往需要在不确定性参数上附加其他项,以此重构不确定性约束,同时需要通过优化算法与仿真分析软件工具的交互,实现不确定性优化问题的求解,这种嵌入式算法增加了工程应用的难度和复杂度,无法充分利用飞行器总体设计中各学科仿真分析软件现有成熟的“黑箱”优化算法,如ANSYS优化工具箱等。此外,传统方法大都无法直观识别设计方案与不确定性约束之间的关系,不利于设计人员掌握设计方案的全面信息。

针对上述问题,本文提出了基于裕度量化解耦策略的飞行器总体不确定性优化设计方法,采用主动学习策略开展基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析,实现了不确定性裕度问题的高效求解,能够给出满足概率约束的可信阈值。进而利用裕度量化解耦策略,实现了不确定性优化问题的重构,将确定性优化与不确定性分析过程顺序执行,高效给出满足概率约束的优化设计方案。

1 基于裕度量化解耦策略的不确定性优化设计方法

1.1 不确定性优化模型

考虑设计变量及参数的不确定性,不确定性优化模型可以表述为

(1)

式中:X和P分别为不确定性设计变量向量和不确定性参数变量向量;μX为设计变量均值向量;μP为不确定性参数均值向量;失效域为Dj={(X,P)|gj(X,P)>0}; Pr{·}表示某一区域的概率;Pfj是第j个概率约束(或称为可靠性约束)的目标失效概率;要求每个约束函数gj(j=1,2,…,Ng)的失效概率小于目标失效概率Pfj;Ng表示约束函数的总数。

1.2 基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析方法

不确定性裕度问题(或称为可靠性分析逆问题)的数学模型可以抽象为如下形式:

(2)

式中:Pr{·}为某一区域的概率;失效域为功能函数小于某一阈值的区域,即D={x|g(x)<ε};Pj为对应的目标失效概率。这一数学模型的物理意义在于高效寻找阈值V,使得功能函数小于该阈值的概率等于给定的目标失效概率。

根据识别的不确定性因素分布类型及其分布参数,在整个随机概率空间选取一定数量的蒙特卡洛样本点集XMC,由于目标失效概率为给定值Pf,在保证样本点集XMC的变异系数不大于0.05的条件下,蒙特卡洛样本点数量Nc满足如下条件:

(3)

(4)

(5)

(6)

综上所述,任意点的分类失效概率可以表述为如下形式

(7)

图1 基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析流程Fig.1 Flow chart of the Kriging-bsed threshold uncertainty analysis

1.3 裕度量化解耦策略

裕度量化解耦策略的关键在于如何根据当次不确定性分析结果指导更新下一次确定性优化问题,实现序列执行,迭代收敛。这里不确定性分析采用基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析方法,高效快速给出满足目标失效概率的阈值增量Δε,从而实现裕度的量化评估。进而,将约束函数向可行域方向平移一定的裕度,将概率约束问题转化为确定性约束问题,直至收敛。裕度量化解耦策略下的约束函数平移如图2所示。

图2 裕度量化解耦策略约束函数平移示意图Fig.2 Schematic diagram of constraint function translation of margin quantification and decoupling strategy

(8)

进而,重构第k次确定性优化如下:

(9)

然而,在某些情况下上述方法与SORA及ISV方法相比,需要较多次循环才能满足收敛条件,尤其在收敛后期,对于模型非线性程度较高的问题,当次循环的阈值向量假设与实际不符,其收敛速度较慢。为加快收敛速度,本文进一步提出以下阈值求解策略。

(10)

(11)

基于裕度量化解耦策略的不确定性优化流程如图3所示。

1.4 数值案例

本节采用文献[16]中的标准数值案例,通过与SORA方法和ISV方法进行对比,验证基于裕度量化解耦的不确定性优化方法的精确性和高效率。优化求解器统一采用二次序列优化方法(SQP)。

图3 基于裕度量化解耦的不确定性优化流程Fig.3 Uncertainty optimization process based on margin quantification and decoupling strategy

不确定性优化数值案例的优化模型如下:

式中:x1和x2为服从独立正态分布的随机变量,优化设计变量为随机变量x1,x2的均值μx1,μx2,定义约束函数gi(x1,x2)的失效域为Di={(x1,x2)|gi(x1x1)>0},目标失效概率Pf=0.001,概率约束要求为约束失效概率小于目标失效概率。

图4 第1次循环确定性优化结果Fig.4 Deterministic optimization results of the 1st cycle

采用基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析方法,给出第1次循环最优设计的不确定性因素影响下,满足目标失效概率Pf的阈值增量为

(13)

本文所提方法共计需要4次循环满足式(11)的收敛条件。图5给出了2～4次循环的确定性优化结果图,同时给出了所有循环最优点的变化轨迹,如图5(d)所示。图6给出了所提出方法的优化收敛过程。

图5 采用基于裕度量化解耦的不确定性优化方法的数值案例优化过程Fig.5 Iteration process of the margin quantification and decoupling strategy

图6 采用基于裕度量化解耦的不确定性优化方法的数值案例收敛过程Fig.6 Optimization convergence process of the margin quantification and decoupling strategy

采用经典的SORA及ISV方法求解该数值算例问题作为对比,三种方法的优化结果如表1所示。为充分考虑约束非线性的影响,采用蒙特卡洛方法计算不同方法优化结果对应的概率约束满足情况,以此作为参考真值。通过表1可知,SORA和ISV方法由于采用一次可靠度方法(FORM)开展不确定性分析,其处理非线性问题会产生一定的误差,因此其最优点的概率分析结果均在目标失效概率Pf=0.001附近,且概率约束1略偏失效,概率约束2略偏保守。本文所提方法的计算效率较高,仅需4次循环即可收敛,该优化结果均满足目标失效概率需求,概率约束1和2均偏保守,满足工程应用要求,优化效率相比SORA和ISV方法更高。

表1 数值算例优化结果对比Table 1 Comparison of the numerical example optimization results

2 飞行器总体不确定性优化设计

2.1 飞行器总体不确定性优化模型

以滑翔飞行器为典型应用,开展飞行器总体不确定性优化设计。滑翔飞行器采用美国洛克希德-马丁公司设计的CAV-H构型。以起飞质量最小为优化目标,建立飞行器不确定性优化数学模型如下所示:

(14)

定义可信射程为飞行器在不确定性因素影响下满足给定概率的航程阈值。因此,满足0.95概率约束的可信射程RBel可表示为Pr{Lrange≥RBel}=0.95。

滑翔飞行器CAV-H构型数据来源于文献[17]。质量为907.18 kg,气动参考面积为0.483 87 m2。推进方案采用单室双推力固体火箭发动机,发动机数据来源于文献[18]。质量模型中的安全系数取值来源于文献[19]。飞行器不确定性因素分布类型及参数如表2所示。

表2 不确定性因素清单Table 2 Uncertainty factors

2.2 飞行器确定性一体化分层优化

飞行器设计中航程模型本身为轨迹优化问题,若直接采用轨迹优化仿真,则飞行器总体方案确定性优化将构成双层嵌套优化问题,其对初始方案依赖性较大,而对于新型飞行器,在方案初始设计阶段往往缺少先验信息,无法给出可行基线方案,因而如何合理有效选取初始方案是总体设计的难点之一。

针对这一问题,采用了基于多岛遗传算法和序列二次规划方法的一体化分层优化策略。由于hp自适应伪谱法开展轨迹优化耗时较长,无法实现复杂系统长时间大规模寻优,进而推导了基于平衡滑翔假设的航程估算公式。基于一体化分层优化策略,第一阶段采用多岛遗传算法和航程估算公式,开展基线方案的大规模寻优,进而以该基线方案为初始方案,采用序列二次规划方法和hp自适应伪谱法开展第二阶段的飞行器总体方案确定性优化设计。

基于平衡滑翔假设推导的航程估算公式如下:

(15)

式中:R0为地球平均半径;h为滑翔高度;K为滑翔飞行器升阻比;V为滑翔速度;V0为滑翔初始速度;g0为重力加速度的标准值。

首先忽略式(14)不确定性因素影响,不确定性参数取为均值或中间值,开展飞行器总体方案确定性优化设计。利用多岛遗传算法开展总体方案优化,轨迹规划模型采用基于平衡滑翔假设的航程估算模型,经过982次优化迭代给出第一阶段的最优基线方案。以最优基线方案为初始方案,利用序列二次规划方法和hp自适应伪谱法开展第二阶段总体方案优化,经过294次优化迭代给出飞行器总体优化设计方案。

此时,飞行器确定性优化的最优设计方案起飞质量为6.38 t,推进剂质量比为0.765 2。该结果未考虑各种不确定性因素影响,有可能因性能指标有较大可能性不满足要求而导致设计方案不可行,为此,进一步开展飞行器总体方案的不确定性分析与优化设计。

2.3 不确定性分析——可信航程评估

在飞行器确定性一体化分层优化的基础上,开展确定性优化方案的不确定性分析,即开展方案满足概率95%的可信航程评估。针对可信航程评估问题,采用2.1节中基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析方法开展可信航程评估。

由于飞行器总体方案模型的复杂性及非线性,阈值不确定性分析方法往往无法满足常用的收敛条件,即U函数不小于2。求解精确的可信航程需要调用更多的航程评估模型。而对于工程问题而言,并不需要精确的可信航程,其相对误差只需保持在1 km量级即满足工程需求。针对这一问题,提出了一种广义的收敛条件,即连续相邻N个近似阈值之差的绝对值之和小于给定阈值,如下:

(16)

选取N=30,给定阈值νmax=60°,即连续相邻30个近似阈值之差的绝对值之和小于5 km,此时,近似阈值趋于收敛,满足收敛条件。利用阈值不确定性分析方法,给出一体化分层优化设计方案的近似阈值迭代历程如图7所示,收敛条件迭代历程如图8所示。

图7 近似阈值迭代历程Fig.7 Approximate threshold iteration history

图8 收敛条件迭代历程Fig.8 Convergence condition iteration history

经过21次初始样本点集及245次序列加点,满足收敛条件。图7及图8表明随着迭代次数的增加,近似阈值快速趋于收敛,在一定范围内波动,近似阈值之差的绝对值之和趋于收敛,直至满足收敛条件。

为验证上述方法的正确性,采用蒙特卡洛方法针对相同样本池进行仿真,计算结果如表3所示。表3表明基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析方法具有很高效率和精度,相对误差仅为2.92×10-3,在保证计算精度的同时,显著提升了计算效率,缩短了计算时间。

表3 两种方法计算结果对比Table 3 Comparison of results of the two methods

2.4 飞行器不确定性优化设计

采用基于裕度量化解耦的不确定性优化方法实现飞行器不确定性优化设计,将不确定性优化问题解耦为确定性优化和不确定性分析两个子问题,序列执行,直至收敛。

针对第二次确定性优化方案,采用阈值不确定性分析方法开展可信航程评估,给出可信航程收敛阈值,此时依然不满足收敛条件。进而,利用式(9)再次重构确定性优化问题,以第二次确定性优化方案为基线方案,直接基于hp自适应伪谱法开展轨迹优化,利用序列二次规划方法开展第三次循环的确定性优化。

针对第三次确定性优化方案,开展可信航程评估,给出可信航程收敛阈值,满足收敛条件,即第三次确定性优化方案为飞行器不确定性优化问题(式(14))的优化解。为验证不确定性分析的准确性和有效性,采用蒙特卡洛方法针对相同样本池进行打靶仿真,计算结果如表4所示,验证了不确定性优化

表4 第三次确定性优化方案可信航程结果对比Table 4 Comparison of credible range results of the third deterministic optimization

方案满足可信航程需求。综上所述,考虑不确定性的飞行器优化设计方案的起飞质量为7 285.25 kg,满足概率约束要求。

3 结 论

本文考虑不确定性因素影响,提出了基于裕度量化解耦的不确定性建模与优化设计方法,建立了飞行器总体不确定性优化模型,提出了基于优化加点Kriging的阈值不确定性分析方法,为实现裕度量化解耦提供了高效的阈值求解方法。在此基础上,提出裕度量化解耦策略,将双层嵌套不确定性优化问题解耦为确定性优化和不确定性分析两个子问题,数值案例应用结果验证了该方法能够在保证精度的前提下,提高不确定性优化的效率。

为给飞行器总体不确定性优化设计提供可行的初始方案,提出了一体化分层优化方法,第一阶段采用多岛遗传算法和航程估算公式,开展基线方案的大规模寻优,进而以该基线方案为初始方案,采用序列二次规划方法和hp自适应伪谱法开展第二阶段的飞行器总体方案确定性优化设计。

以上述确定性优化设计结果为初始方案,开展基于裕度量化解耦的不确定性优化设计,通过迭代优化求解,直至满足飞行器可信航程约束,最终给出飞行器不确定性优化设计方案。

以滑翔飞行器为典型应用,结果表明该方法适用于飞行器总体不确定性优化设计问题,能够高效给出考虑不确定性的优化设计方案。通过在方案阶段考虑不确定性因素影响,实现了飞行器总体方案的精细化设计,具有很好的工程实用价值。