二次函数最值问题的思路探析

代 宁

(淮北市体育中学,安徽 淮北 235000)

初中数学中二次函数涵盖的知识点较多,二次函数性质不仅需要学生深入理解,牢固掌握,而且还需灵活应用,尤其在解答二次函数最值问题时需具备灵活的头脑,结合题目创设的情境,联系所学数学知识,寻找解题切入点.

1 借助基本性质解题

为更好地应用二次函数基本性质解答最值问题,切实打牢基础尤为关键[1],解题时常用的知识点有:二次函数开口方向与a的关系、二次函数对称轴、二次函数图象等.教学实践中既要做好合理的教学安排,帮助学生更好地突破相关基础知识,使学生真正地理解与掌握二次函数函数基本性质,又要引导学生做好函数基本性质知识点的系统归纳,以点带面,在头脑中形成系统清晰的知识网络,分析问题时能够迅速应用.

例1知抛物线y=ax2-3ax+a2+1(a≠0)图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2).当x1

A.-1 B.-5 C.1或-5 D.-1或-5

思路剖析根据给出的抛物线表达式,确定抛物线的对称轴.结合自变量与对应函数值的大小关系描述,确定函数的开口方向.同时结合自变量与对称轴确定函数取得最小值时的自变量,代入求解即可.

2 结合图象平移规律解题

二次函数的图象平移是初中数学的重要知识点.为提高学生运用图象平移解答最值问题的正确率以及灵活性,教学实践中应运用多媒体技术为学生动态地展示二次函数图象平移过程,要求学生积极思考,认真讨论,总结出二次函数图象平移规律,理清平移前后二次函数表达式对应参数的关系,知其然更知其所以然,而非死记硬背平移结论[2].同时,为学生展示如何运用图象平移解答二次函数最值问题,尤其要求学生认真揣摩解题过程,把握运用图象平移解题的相关细节.

例2已知二次函数y=ax2+bx-1(a,b为常数,a≠0)的图象过A(2,1),B(4,3),C(4,-1)中的其中两点,平移该函数图象,使其顶点始终落在直线y=x-1上,则平移后所得抛物线和y轴交点纵坐标为( ).

A.最大值为-1 B.最小值为-1

思路剖析结合平面直角坐标系以及二次函数图象特点,判断二次函数所经过的两点,求解出二次函数的具体表达式.结合顶点的平移运用平移规律,表示出平移后二次函数表达式,求出与y轴的交点,借助二次函数性质求出其最值.

3 通过构造转化解题

部分二次函数最值问题难度较大,需要学生充分挖掘题干中的隐含条件,通过针对性转化与处理,构造二次函数,化陌生为熟悉[3].教学实践中为使学生掌握运用构造法解答二次函数最值问题的解题思路,增加其解题自信,应结合自身教学经验做好相关技巧的讲解,使学生掌握不同习题类型的构造、转化方法,把握相关细节.同时,为更好地加深学生印象,讲解相关例题时应注重在课堂上与学生互动,使学生在问题的驱使下主动思考,积极探寻解题的正确思路,尤其当学生找到正确解题思路时应给予肯定与鼓励,使其感受到积极思考的成就感,更好地挖掘其运用构造转化法解答二次函数最值问题的潜力.

A.0 B.-1 C.-2 D.-3

思路剖析通过对方程组的处理,减少方程参数个数,寻找y与x之间的内在联系.同时,将其代入到其中一个方程中表示出m,构造出新的二次函数,结合给出的自变量范围以及二次函数性质进行解答.

4 借助图形关系解题

初中数学二次函数最值问题创设的情境灵活多变,解题的思路灵活多样[4].其中对于部分习题而言,不仅需要应用二次函数基本性质,而且需要结合具体图形做出正确的判断,以降低解题难度,提高解题效率.教学实践中应引导学生从几何角度重新认识二次函数图象,以及图象与其他几何图形之间可能存在的联系,进一步拓展学生视野,寻找与总结一些潜在的知识.同时,结合教学经验以及学生实际情况,做好课堂练习的认真筛选,尤其在讲解例题的过程中灵活运用多媒体技术,通过直观的图形关系,帮助学生更好地把握参数之间的联系,为使学生更好地理解与掌握解题思路奠定坚实基础.

例4已知二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交于A、B两点,其中A点在B点左侧,顶点在△MNR上移动,MN、NR分别和y轴,x轴平行.M点坐标为(-6,-2),MN=2,NR=7.如图1所示,若在抛物线移动过程中,点B横坐标的最大值为3,则a-b+c的最大值是( ).

图1 二次函数图象

A.15 B.18 C.23 D.32

思路剖析根据给出的已知条件求出N、R两点的坐标,结合抛物线开口大小之间的关系计算出a的值.由△MNR可确定当顶点在M点时,x=-1,即此时y=a-b+c的值最大.得出二次函数表达式,将x=-1代入即可.

由M点坐标为(-6,-2),MN=2,NR=7,可得N(-6,-4),R(1,-4).当B点横坐标的最大值为3时,抛物线的顶点刚好为R点,对应二次函数可设为y=a(x-1)2-4,此时B点的坐标为(3,0),代入得到:a=1.抛物线顶点移动过程中开口的大小未发生改变,即对应的a的值保持不变.y=a-b+c时对应的x=-1.由图象可知当抛物线的顶点在M点时,a-b+c的值最大,此时抛物线为y=(x+6)2-2,将x=-1代入得到:y=25-2=23,选择C项.

5 通过分类讨论解题

解答二次函数最值问题常需要进行分类讨论.结合教学经验可知产生分类讨论的情境主要有:函数的对称轴的确定,自变量范围不确定;函数的自变量范围确定,对称轴不确定[5].

思路剖析根据给出的二次函数解析式确定其对称轴.容易判断对称轴为b,其与所给区间的关系不确定,需要进行分类讨论,但需要注意的是讨论时需满足b≤1.

综上所述,解答初中数学二次函数最值问题时应具体问题具体分析,结合给出的已知条件采用针对性的解决思路.教学实践中应做好基础知识的讲解,还要注重例题的精挑细选,在课堂上与学生一起剖析经典例题的解题思路,展示解题步骤.