图形与坐标的教学探索——反比例函数中面积那点儿事

北京师范大学昌平附属学校(102206)秦虹柳

初中阶段学习三种函数:一次函数、反比例函数和二次函数.我们知道,每种函数的“系数”对函数图象都有不同意义,其中反比例函数的反比例系数更有其独特的几何意义,在反比例函数中,反比例系数k=xy,在其图象上任意点向坐标轴作垂线后两垂线与坐标轴围城的矩形面积S矩形都与k密切相关,即S矩形=|k|,感性地接受这个结论对学生来说并不困难,但是深入了解其形成过程,其中有一些学困点值得关注.(1)k确定后,点的位置可以是变化的,矩形的形状随之改变,但是矩形的面积始终不变; (2)k ＞0 时,点在一、三象限求面积的过程不同,学生对第一象限的理解比较容易,因为其中不涉及符号的转化问题,但是第三象限的坐标和线段之间要进行符号的转化;(3)k ＜0 时,二、四象限的结论相同,计算过程也可以类比所得,但是由于S矩形=-k,部分学生对负号的理解可能存在疑虑,仍存在难点；(4)如果给出图象,对学生而言相对比较容易,但是难在学生探索时不容易想到分不同象限进行讨论;(5)线段长度与坐标之间的相互转化,尤其是符号的转化问题.

下面图形的面积研究为起点,借助反比例函数的相关知识探索图形与坐标之间的关联.

例1已知点P(a,-3)在函数的图象上,过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为M,N,请根据题意补全图形,四边形PMON的面积是_____.

例1

变式1

变式2

变式1已知点P(a,b)在函数的图象上,过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为M,N,请根据题意补全图形,四边形PMON的面积是____.

变式2已知点P(a,b)在函数的图象上,过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为M,N,请根据题意补全图形,四边形PMON的面积是____.

本环节的三个问题中解析式都是确定的,便于学生进行初步探索,设计意图如下:1.点的设计从特殊到一般,从具体到抽象,从固定到变化;2.反比例系数的设计从正数到负数,从简单到复杂;3.每个问题都要求学生动手作图,提升学生作图的能力,学生经历作图、观察、分析、总结的过程后,教师引导学生总结一般性的结论,当k ＞0 时,S矩形=k; 当k ＜0 时,S矩形=-k;进一步总结得到S矩形=|k|.在此过程中,学生深刻体会到线段与点的坐标之间的转化,点的坐标可以是负数,但是线段的长度不能是负数.在此过程中,教师要借助几何画板让学生真正感受到点运动的过程,如图1 和图2,随着点的位置的改变,四边形PMON的形状会发生变化,但是矩形面积的计算方法不变.

图1

图2

学生对这个问题的理解取决对于线段长度与点的坐标之间的转化,点的位置决定了坐标的符号,而线段的长度不能是负数.任何知识的学习都应该经过辨析的过程,通过以下几个练习,能够帮助学生对所学知识有更深刻的认识.

练习1已知:如图,点P(a,b)在函数的图象上,过点P分别作x,y轴的垂线,当点P的横坐标逐渐增大时,这两条垂线与坐标轴围成的四边形面积的变化规律是( ).

A.先变大,后变小;B.变小;

C.不变;D.先变小,后变大.

练习1

练习2

练习3

练习2已知点P(a,b)在函数第二象限的图象上,过点P作x轴的垂线,垂足为M,请根据题意补全图形,ΔPMO的面积是____.

练习3已知:如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点P是双曲线上的一个动点,当点P的横坐标逐渐增大时,ΔOAP的面积的变化规律是().

A.先变大,后变小;B.变小;

C.不变;D.先变小,后变大.

练习1 能够帮助学生对反比例系数的几何意义有更进一步的认识;练习2 是对这一知识的辨析,学生需要通过观察得到本题中三角形的面积是“矩形”面积的一半,从而得出相应结论.练习3 是对所学知识更加进一步的辨析,在反比例函数的图象中,三角形面积都是反比例系数绝对值的一半吗? 答案是否定的.练习3 在练习2 之后设置,对学生具有很大的迷惑性,能够有效地帮助学生深刻认识到自身问题,学生对反比例系数的几何意义有更进一步的理解,本题的设计还考察学生对问题的观察和分析能力,当三角形底边固定时,借助函数图象,容易观察到高逐渐减小的结论,因此,面积一定是逐渐减小的.

在练习3 中,三角形面积的问题涉及底边、高、面积这三个量,当其中两个量已知时,必然可求第三个量,因此引出如下问题.

例2在平面直角坐标系中,点A坐标为(3,0),点P是双曲线图象上的一点,当ΔOAP的面积为6 时,请根据题意补全图形,并直接写出点P的坐标.

例2

本题的设计是对所学知识的进一步考察,需要学生有分类讨论意识,还要求学生在点的坐标不确定的情况下敢于作图,同时,本题对线段长度与点的坐标之间的关系有更深入的考察,需要通过点的坐标求出线段的长度,在确定线段长度后,再将其转化成点的坐标,学生需要灵活应用已学知识解决问题,如图3.

图3

直观的图形有助于学生理解问题,学生之所以不敢作图,是源于不确定:不确定高的位置,不确定高与点P的坐标之间的关系,不确定点P的位置,此时,需要学生先任意画出点P,借助直观的图形帮助理解问题,从而得出高为4 的结论,然后再找到点P的准确位置.第一象限的问题相对是简单的,学生往往会忽略第三象限的情况,而这恰恰是反比例函数中必须要解决的问题,反比例函数的图象特征决定了在不确定点P的情况下需要进行分类讨论研究问题.在此过程中,尤其对线长度和点的坐标之间的关系要进行细致的讲解.在本题后设计了如下问题.

练习4已知点P是双曲线上的点,在y轴上有两点M(0,-1)和N(0,2),当ΔMNP的面积为3 时,请根据题意补全图形,并直接写出点P的坐标.

练习4

本题和例2 题型类似,需要正确理解图形与坐标之间的关系并进行分类讨论,和例2 不同之处是本题涉及点M(0,-1)和N(0,2)之间的距离问题,学生可以通过观察图形得出,也可以通过计算得出.由于图象在二、四象限,对点的坐标和线段长度之间的转化有所考察,如图4.

图4

学生作图水平的提升需要经过训练,本课重点关注了学生的作图,设计了大量作图问题.图形与坐标之间的关系对学生而言理解起来比较困难,尤其是点的坐标与线段长度之间的转化,通过本课的学习,学生的认识能够进一步加强.任何知识都是载体,学生能力的提升依托于课堂教学,本课以图形的面积为切入点,从反比例系数的几何意义入手,从“矩形面积”过渡到“三角形面积”,从具体到抽象,从特殊到一般,调动学生学习的积极性,帮助学生提升学习数学的能力.