二阶锥约束变分不等式的最优性条件

孙艺宁，王莉，孙菊贺，王彬，袁艳红

（1. 沈阳航空航天大学 理学院，沈阳 110136；2. 太原理工大学 经济管理学院， 太原 030024）

考虑二阶锥约束变分不等式问题：找到x*∈Ω满足

式中：y∈Ω，是欧式内积；F：Rn→Rn，g：Rn→Rm是连续可微的，Ω⊂Rn为非空闭凸集，K如下定义

式中：mi≥1，且m1+m2+…mp=m；Kmi是在Rmi(i=1，2，…，p)中的二阶锥（SOC）；相应的g(y)=(gmi(y)，…，gmp(y))。

变分不等式问题是数学规划的一个重要分支［1］，它被广泛应用于交通、优化理论［2］、力学［3］、金融等［4-5］方面，可见文献［1-5］。近年来，二阶锥约束变分不等式问题受到越来越多的关注。Sun等［6］利用变分不等式的KKT条件构造了神经网络，运用度量投影映射的光滑函数将二阶锥约束变分不等式问题重新定义为方程组形式。Nazemi等［7］将变分不等式问题简化为凸二阶锥规划问题，通过使用梯度神经网络模型求解凸二阶锥约束变分不等式问题。二阶锥约束变分不等式在一定条件下可以转化为优化问题，找到其最优解是解决该优化问题的重中之重。因此，对最优性条件进行研究是非常关键的。许多学者运用不同技术对不同类型优化问题的最优性条件进行研究。Liu等［8］利用投影算子对半正定锥互补的二阶方向导数以及半正定锥互补集的二阶切集进行讨论，得到了半正定互补约束的规划问题的二阶充分条件。Toan等［9］建立了数学规划问题的二阶最优性条件，从而得到了最优性控制问题的二阶最优性条件。齐爽［10］用内点法的原始对偶分解算法，求解两阶段随机规划问题，探讨了两阶段随机二阶锥规划问题的最优性条件。Tadeusz［11］将非光滑模糊优化问题构造成双目标优化问题，建立并证明了KKT点的最优性条件。

在此基础上，本文研究二阶锥约束变分不等式问题的最优性条件。在第1节，介绍二阶锥相关的定义和性质以及最优性条件分析需要用到的定义和性质。第2节将二阶锥约束变分不等式转化为一个特殊的极小值问题，通过等价形式得到一阶最优性条件。最后，证明满足Robinson约束规范的二阶充分条件。

1 预备知识

定义1［12］二阶锥也叫做Lorentz锥或冰激凌锥，在Rn中的二阶锥Kn表示为

令φ(x)=-x0，则二阶锥Kn又可表示为

根据Fukushima［13］，对于任意x，y∈Rn，Jor‐dan乘法定义如下

对于x=(x0；)∈R×Rn-1有相应的谱分解

式中：λ1、λ2为x的特征值；ω(1)，ω(2)为x对应特征值的特征向量，其定义形式如下

和

式中：w∈Rn-1，且=1。

定义2［14］对于闭集S及x∈S，则闭集S在x处的切锥TS(x)和正则法锥̂S(x)分别如下

定义

和

定义3［12］集合极限

和

分别称为S在点x沿方向h的内二阶切集与外二阶切集。

命题1［15］令x∈Kn，则

证明：当x∈intKn和x=0时，根据切锥的定义可以直接得出。当x∈bdryKn{0}时，即-x0是连续可微函数。因为φ(x)是Lipschtiz连续的，由于φ′=φ↓，有

则φ′(x)(x；d)=∇φ(x)Τd=，所以当x∈bdryKn{0}时，结论成立。

命题2［10］假设x∈Kn，d∈TKn(x)，则

证明：当d∈intTKn(x)和x=0时，由外二阶切集的定义可以直接得到。

当x∈bdryKn{0}，且d∈bdryTKn(x)时，由于φ是二阶连续可微的，且φ(x)是Lipschitz连续的，φ″=φ↓↓，则

式中

继续计算可以得到

2 一阶最优性条件

将二阶锥约束变分不等式（SOCCVI）问题转化成如下的极小化问题

式中：K=Km1×Km2×…×Kmp由式（2）定义，且f(y)≥0。

定义问题式（6）的Lagrange函数

式中：μ=(μm1，μm2，…，μmp)；μmi∈Rmi，(i=1，2，…，p)。y是原始变量；μ是对偶变量；在一定的正则条件下，原问题的解x*和Lagrange乘子μ*是La‐grange函数的鞍点，则(x*，μ*)满足下列KKT条件

则称x*是问题式（1）的稳定点，用Λ(x*)表示满足KKT条件的Lagrange乘子的集合。

因此，x*是二阶锥约束变分不等式问题的局部极小点，满足Robinson约束规范

且Lagrange乘子集合Λ(x*)是非空紧致的。

至此，式（7）和式（8）都是二阶锥约束变分不等式（SOCCVI）问题的一阶最优性条件。

3 二阶充分性条件

定义4x*是式（1）的一个稳定点，则在x*处的临界锥为

定义支撑函数

式中

(i=1，2，…，p)，式中

定理1假设x*是二阶锥约束变分不等式问题的一个稳定点，且满足Robinson约束规范

则在x*处二阶增长条件成立当且仅当下述二阶条件成立

其中，H(x*，μ)由式（9）定义。

证明：如果结论成立，由于集合K在-g(x*)处沿-Jg(x*)h是二阶正则的，则下述条件成立

当且仅当二阶增长条件在x*处成立。其中表示在-g(x*)处沿着-Jg(x*)h的二阶切集，且σ(·；T2)为T2的支撑函数，二阶切集为

因为h∈C(x*)，从而-Jgmi(x*)h∈TKmi(-gmi(x*))。当-μmi∈NKmi(-gmi(x*))，且-gmi(x*)∈Kmi时，根据二阶切集的定义，则

接下来，当-gmi(x*)∈bdryKmi{0}，且的情况时，令

根据式（13），当mi∈α时，有

根据KKT条件式（7）的μmi◦(-gmi(x*))=0，可以得到=-，从而有

则当mi∈α时，

因为σ(-μ；T2)=，从而有

因此，式（11）和式（12）是相互等价的，证毕。

4 结论

本文通过将二阶锥约束变分不等式转化成特殊的极小值问题，得到了二阶锥约束变分不等式问题的等价形式。通过等价形式得到了二阶锥约束变分不等式问题的解的一阶最优性条件，最后证明了二阶锥约束变分不等式问题的二阶充分条件。