基于“三个理解”培养学生的运算素养

赵素敏

[摘  要] 运算素养是数学六大核心素养的要素之一，对学生的可持续发展具有重要影响. 如何基于“三个理解”培养学生的运算素养呢？文章从“理解数学，将运算融入知识结构”“理解学生，让学生亲历运算过程”“理解教学，养成良好的运算习惯”三个方面展开分析，与同行交流.

[关键词] 三个理解;理解数学;理解学生;理解教学

章建跃博士在“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”中提出：改进课堂教学需基于理解数学、理解学生、理解教学（简称“三个理解”）实施[1]. 这个理念为如今的课程改革提供了明确的方向，对课堂教学具有指导意义. 笔者在培养学生运算素养的过程中，践行“三个理解”理念，获得了不错的成效.

理解数学，将运算融入知识结构

理解数学是指师生对数学知识的理解程度，这种理解并非单纯理解数学知识本身或具备解题能力，更重要的是对数学知识的产生背景、形成过程与方法等有一个全方位的认识，尤其对于知识的结构、本质、内涵与外延等都一清二楚.

教师一旦理解了数学，就能明确教学方向、教学重点与难点，设计出科学、适切的教学方案;学生一旦理解了数学，就能用合理的方法去探索、研究学习内容，为完善认知体系奠定基础. 实践发现，将运算规律与法则等融入知识结构是发展学生运算素养的前提.

案例1 “对数的运算性质”的教学.

不少学生对“对数的运算性质”的掌握不够牢固，对其适用范围与运算法则的应用模糊，甚至有学生解题时自创出类似于“log（M+N）=logaM+logaN”与“logaM·logaN=log（M·N）”的运算公式.

想让学生明晰对数的运算性质，让学生对其算法与算理有深入的理解以及应用能力，第一步需要带领学生了解“对数”的来龙去脉. 学生已有的认知结构中有加减乘除、乘方、开方等运算法则，那么学习对数的运算性质又是用来干什么的呢？这是进入本节课的开篇思考，教师可以有意识地带领学生探索这个问题，学生只要弄清楚其“前世今生”，就能对它产生生动、形象的认识.

对数的产生与自然学科有着密不可分的联系，尤其与天文学的发展相关，对数的出现简化了这些领域中冗长烦琐的运算. 那么，对数的运算究竟是什么样的呢？基于学生对对数“前世”的初步认识，遇到对数的“今生”用指数运算推导其运算性质便水到渠成.

有些教师受传统教学观念的影响，在对数运算性质的教学中出现了“轻证明，重实操”的现象，这部分教师试图通过大量重复的运算训练灵活学生的思维，以便更好地达成教学目标. 殊不知，这种短时间内高强度的运算训练是引发学生“懂而不会”的根源——学生在课堂上听懂了，做题也没有问题，但在课后作业与小练中则漏洞百出.

究其主要原因，在于学生对公式的推理过程不甚了了，短期高强度的训练只是提高了短期内的运算速度，显然这并不是长久之计. 学生没有从源头上理解知识本质，更没有亲历知识的形成与发展过程，那就谈不上知识的自主建构、内化与升华，在后续需要应用时，只能凭借“熟能生巧”的功夫进行模仿，而“依葫芦画瓢”所呈现的结论只能是个“样子”，无法达到真正意义上的理解与掌握，更无法长时记忆.

例1 若函数f（x）=（x≠1且x>0）.

（1）写出该函数的单调区间;

（2）如果2>xa对任意x∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是什么？

解析 问题（1）比较简单，学生都能顺利解答，此处略;不少学生看到问题（2）时，感觉难度较大，无从下手. 其实，若将问题（1）和问题（2）联系在一起进行分析，再结合指数与对数的关系进行思考，可将幂函数与指数函数化归成对数函数，也就是根据ln2>lnxa这个条件，推导出ln2>alnx，再根据f（x）=分析化简不等式ln2>alnx，从而设计出合理的运算方式解题.

此过程对学生的思维能力与运算素养提出了较高的要求，这需要教师在日常教学中有意识地引导学生注重对知识本质的探索，当遇到实际问题时才能从知识的内部联系出发，实现融会贯通.

值得注意的是，探索知识本质的过程并不是完全忽略课堂上的强化训练与记忆，这两者并不冲突. 想让两者很好地融合在一起，可从课堂授课出发，引導学生尽可能地自主探索并建构概念，通过思考、推理，自主抽象出公式、法则等.

学生一旦对知识的来龙去脉有了明确的认识，就能在大脑中建构清晰的脉络，那么在后续学习中才能成功地以旧引新，形成知识的正迁移，建构完整的知识网络. 遇到运算时，也能灵活利用化归转化等思想，为发展数学核心素养奠定基础.

理解学生，让学生亲历运算过程

理解学生是指教师对学生的知识基础、学习需求、潜能以及个体差异等都有一个明确的认识，理解学生已有的认知结构与规律，明晰学生学习过程中潜在的一些困难. 俗话说“知己知彼，才能百战不殆”，学生是课堂教学主要的服务对象，是教学设计的依据. 教师只有在充分了解学生的基础上，做好教学诊断才能设计出符合学情的教学方案，让学生在适切的教学中提高运算素养.

发现学生的最近发展区是理解学生的关键步骤，想让有限的课堂最大化地发挥教学成效，需要在充分尊重学生的基础上与学生沟通、交流，通过师生、生生共同协作提高学生的学习能力与运算素养[2].

案例2 “解析几何”的教学.

解析几何是高中阶段的教学重点与难点问题，不少教师花费了不少时间与精力与学生一起研究、探讨，但学生总是呈现出“思路没毛病，却计算不出结果”的状态. 为了更好地掌握问题的根源，教师需要从学生的思维习惯与知识特点出发进行剖析，了解学生的真实想法才能做好引导工作，让学生有所突破，而不是一味地将运算过程演示给学生看.

例2 如图1所示，已知曲线C是由“部分椭圆C：+=1（a>b>0，同时y≥0）”与“部分抛物线C：y=-x2+1（y≤0）”连接而来，点A，B分别为C与C的公共点，为椭圆C的离心率.

（1）a，b的值分别是多少？

（2）已知过点B的直线l和C，C分别相交于点P，Q，且P，Q，A，B四点中的任意两点都不重合，AP⊥AQ，写出直线l的方程.

解析 （1）略.

（2）联系问题（1）不难求出位于横轴上方的椭圆方程为y2+2x2=2（y≥0）. 结合题意可知过点B的直线l的斜率不为零且存在，因此可设直线l的方程为x=my+1（m≠0），将该式代入椭圆C的方程，可得（2m2+1）y2+4my=0，获得点P

，，很明显m<0.

同样，把x=my+1（m≠0）代入抛物线C的方程，获得点Q

，-

. 因为AP⊥AQ，所以·=

+1·

+1-·=0，即8m2+2m=0，解得m=-，满足m<0，由此可以确定直线l的方程为4x+y-4=0.

本题的直线l的方程存在两种设法，除了上述设x=my+1（m≠0），还能设y=k（x-1）. 设y=k（x-1），是学生优先选择的一种方法，因为讲授关于直线方程的几种形式时，学生最开始接触的就是这种方程，日常解题应用中使用频率也比较高.当学生提出这种设法时，教师应静下心来与学生一起探讨运算过程，而非一口否定学生的想法.

方程联立，利用韦达定理求解，大部分学生经常听到“设而不求”这个词，至于这个词所表达的实际意义却不得而知. 结合本题来分析，已知直线l与椭圆C1的交点B，还有一个交点P虽然未知，却能轻易地计算出来，因此设x=my+1（m≠0）不仅能减少运算量，还能帮助学生理清解题思路，体会数学学习的乐趣.

综上分析后，笔者要求学生再次回顾本题的解答过程，通过类比分析拔高数学思维，为后续科学合理地择取运算方法奠定基础，同时能有效强化学生的运算素养. 因此，理解学生是教学设计与实施教学的重中之重，教师应与每一个学生建立良好的关系，促使每一个学生都能在学习中获得不同程度的发展.

理解教学，养成良好的运算习惯

理解教学是指教师本身对教学方法与教学艺术有着较高的造诣. 教师对数学教学的本质和功能、学生的认知发展规律以及教学原则等都有明确的认识，可将“教”与“学”有机地融合在一起进行思考、应用，且能站到宏观的角度来分析与处理课堂中存在或突发的一些问题.

虽说教师在课前会精心备课，做好充足的预设，但教学是一个动态的过程，并不是简单地执行预设那么简单，课堂会随着教学活动的推进与深入不断重新生成，因此课堂也是学生不断发现与提升的过程[3]. 究竟该如何培养学生的运算能力，让学生在课堂中形成良好的运算习惯呢？

教师若以课件直接演示运算过程与结论，造成的后果就是“懂而不会”，想要培养学生的运算素养，最重要的就是理解教学，带领学生掌握运算规则与方法，切忌越俎代庖，让学生在心算、笔算的过程中激活自己的思维，清晰解题思路. 同时，整洁的草稿也是提高运算能力的关键，草稿纸上运算完全正确，却因字迹潦草导致誊写错误的现象常有发生.

值得注意的是，学生的心理状态也是培养运算习惯的关键. 面对同一个问题，有学生打心眼里就畏惧它，那么解题必然困难重重;有学生相信自己一定能找出解题方法，能静下心来耐心钻研.

案例3 “平面向量”的单元教学.

平面向量章節的运算比较丰富，学生一不小心就容易出现各种运算错误. 数学学科中的向量知识与物理学科中的矢量有一定的关系，将向量与速度、位移、力、加速度等的运算进行类比，能提高向量运算效率.

如向量概念的抽象过程，教师可以引导学生思考“距离与位移之间的异同点”，让“数量”概念进行重现，再将数量与向量进行类比分析;向量加法运算的研究，教师可以带领学生将向量加法运算与实数运算的交换律、结合律等进行类比;至于向量的数乘运算，可与质点做匀速直线运动的位移进行类比，当抽象出数乘的运算律后，要求学生思考：向量数乘与实数乘法的异同点.

以上类比过程为建构向量的线性运算体系奠定了一定的基础，但还远远不够，线性运算体系的建构还要以平面向量的基本定理来统领，其本质为：平面上的任何向量都可以由两个不共线的向量线性表示. 一旦认识到这一点，学生对向量定理的理解、证明就有了较深刻的认识.

从向量定理本身来说，其内容与证明过程难度并不大. 问题主要在于定理的应用，学生遇到实际问题时难以灵活应用该定理来解决问题，同时对于向量定理具体能解决什么问题也没有一个明确的认识. 因此，教师应注意例题的选择，经典例题往往是培育学生运算能力的关键.

例3 如图2所示，平行四边形ABCD中的AB=8，AD=5，=3，·=2，求·的值.

解析 这是一道经典例题，着重考查学生的运算基本功. 从题设条件与待求结论来看，大部分信息都是围绕向量与的，因此可以将这两个向量视为一组基底，从平面向量的基本定理出发，将条件中的与都转化成基底向量与，在此基础上再稍作化简，本题就能圆满解决.

解题前期循循善诱的引导以及对向量知识的类比分析，能有效夯实学生的知识基础. 当学生遇到实际问题时，则能从认知结构中快速抽象出问题的本质，稍作处理即可轻松完成解题任务. 由此可以看出，理解教学是促进运算素养发展的根本.

总之，“三个理解”指导下的数学运算素养培养可谓“仁者见仁，智者见智”，只有从多角度进行思考与实践，才能拨开云雾见天日. 作为一线数学教师，应不断提升自身的业务水平与教学理念，为培养学生的数学核心素养提供肥沃的土壤.

参考文献：

[1] 章建跃. “第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”总结暨大会报告 发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J]. 中国数学教育，2013（Z2）：3-6+9.

[2] 罗增儒. 从数学知识的传授到数学素养的生成[J]. 中学数学教学参考，2016（19）：2-7.

[3] 威廉·卡尔文. 大脑如何思维：智力演化的今昔[M]. 杨雄里，粱培基，译.上海：上海科学技术出版社，2007.