高中数学立体几何综合问题解题策略

李春霞

摘   要：党的教育方针是把立德树人作为教育的根本任务，要全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模是高中数学的核心素养。立体几何综合问题的解决，全面体现了高中数学的核心素养，让学生具备创新意识，培养学生的创新能力，对于发散学生思维、开拓学生视野、提高学生解决问题的能力等方面有很大的帮助。

关键词：传统方法；空间向量；逻辑推理；直观想象

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2023）05-0034-06

从近几年的高考试题来看，立体几何是历年高考考查的重点，约占整个试卷的15%，通常以中、低档难度为主，以一大两小的模式命题。考查的重点内容是简单几何体的表面积与体积，点、线、面位置关系的判定与证明，空间角和空间距离的计算，前者命题多以客观题形式出现，后者主要以解答题的形式出现，注重对推理论证能力和空间想象能力的考查。

一、立体几何知识体系和常用解题方法

（一）利用传统方法解决立体几何解答题的知识体系和常用方法

1.证明线线平行和线线垂直的常用方法

（1）证明线线平行：①利用平行线的传递性；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形、梯形的中位线定理；④利用线面平行、面面平行的性质定理等。

（2）证明线线垂直：①利用等腰三角形三线合一的性质；②利用勾股定理和逆定理；③利用线面垂直、面面垂直的性质等。

2.证明线面平行和线面垂直的常用方法

（1）证明线面平行：①利用线面平行的判定定理；②利用面面平行的性质。

（2）证明线面垂直：①利用线面垂直的判定定理；②利用面面垂直的性质定理。

3.证明面面平行和面面垂直的常用方法

（1）证明面面平行最常用的方法是利用面面平行的判定定理。

（2）证明面面垂直最常用的方法是利用面面垂直的判定定理。

4.求几何体的表面积或体积

（1）对于规则几何体，可利用公式直接计算。

（2）不规则几何体，可采用割补法求解。

（3）求解旋转体的表面积和体积时，要注意应用轴截面。

（4）对于三棱锥，可采用等体积转换法求解。

（二）利用空间向量解决立体几何解答题的知识体系和常用方法

1.利用空间向量证明平行与垂直

2.利用空间向量求空间角

3.利用传统方法和空间向量求距离

（三）利用空间向量解决立体几何解答题的步骤

向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取。

1.建：建立空间直角坐标系（尽可能使得较多的关键点落在坐标轴或者坐标平面内）；

2.设：设出所需的点的坐标，得出所需要的向量坐标；

3.求：求出所需直线的方向向量和平面的法向量；

4.算：运用公式计算所求的量；

5.取：根据题意确定取值范围得出答案。

二、立体几何解答题常见题型的解题策略

（一）空间位置关系的证明

例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB=1，AD=DC=PA=2，AB∥DC，E为PC的中点。

求证：（1）BE⊥PD

（2）BE∥平面PAD

（3）平面PCD⊥平面PAD

证明： （方法一）

（1）如图，取PD的中点F，

连接AF、EF，因为E为

PC的中点，所以FE∥DC，且FE=1/2DC，又因为DC=2AB，AB∥DC，所以FE∥AB，且FE=AB，所以四边形ABEF是平行四边形，所以BE∥AF.

又因为PA=AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD，所以BE⊥PD.

（2）由（1）知BE∥AF，AF    平面PAD，BE   平面PAD，所以BE∥平面PAD.

（3）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.

又因为AD⊥AB，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD.

又因为AB∥DC，所以DC⊥平面PAD.

又因为DC   平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.

（方法二）因为PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，所以AP、AB、AD两两互相垂直。

以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示

方法总结：证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。

利用空间向量证明平行、垂直关系的方法：

（1）证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可。

（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明平面内存在一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明平面内存在两个不共线向量来线性表示直线的方向向量。

（3）证明面面平行的方法：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行、线线平行的问题。

（4）证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直。

（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②转化为线线垂直问题。

（6）证明面面垂直的方法：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题。

（二）利用空间向量求线面角

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，  DC=2，AA1=3，AB=BC=AD=1，AB∥CD，点E、F分别在侧棱AA1、CC1上，且A1E=CF=1.

（1）求证：BC∥平面D1EF

（2）求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值

名师点析：利用向量法确定二面角平面角大小的常用方法。

（1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，结合实际图形通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小。

（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角等于二面角的平面角。

确定二面角的平面角的大小，方法有：①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角；②依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；③在二面角的一个半平面内取一点P，过点P做另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角。

（四）应用空间向量求空间距离

三、解决立体几何解答题注意的问题

立体几何中常用解题方法有传统几何法、空间向量基底法、空間向量坐标法。

证明空间中的平行、垂直关系，均可利用两种方法：一是几何法，二是向量法。在实际应用中可灵活处理，如果题目给出的空间图形适合建立空间直角坐标系，那么可建系后利用坐标运算来证明位置关系。如果不适合建立空间直角坐标系，可用传统几何法或者向量基底法。

通过对以上内容的总结和分析，可以看出学生在立体几何的学习中，能够不断提高自己的空间想象能力、数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力等数学核心素养，在提高学生的分析问题、解决问题的能力的同时让学生体会数学的美，体会数学和生活的联系。